貝葉斯推斷與頻率學派推斷在生物模型中的比較：準確性、不確定性與可識別性的對比分析

貝葉斯推斷與頻率學派推斷在生物模型中的比較：準確性、不確定性與可識別性的對比分析

https://arxiv.org/pdf/2511.15839

Comparing Bayesian and Frequentist Inference in Biological Models: A Comparative Analysis of Accuracy, Uncertainty, and Identifiability

摘 要
數學模型在生態學和流行病學中的推斷與預測中發揮著重要作用，但結果依賴于所采用的估計框架。本文在三個生物模型和四個數據集上比較了貝葉斯方法與頻率學派方法：洛特卡–沃爾泰拉（Lotka–Volterra）捕食者–獵物動力學模型（哈德遜灣數據）、廣義邏輯模型（肺損傷數據和2022年美國猴痘疫情數據），以及SEIUR流行病模型（西班牙的COVID-19疫情數據）。為確保公平比較，兩種方法均采用正態誤差結構。我們首先評估了結構可識別性（structural identifiability），以確定哪些參數理論上可從數據中恢復。隨后，我們使用四個指標評估了實際可識別性（practical identifiability）和預測性能：平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）、95%預測區間（PI）覆蓋率，以及加權區間評分（WIS）。對于同時擁有獵物和捕食者數據的Lotka–Volterra模型，我們分析了三種觀測情景：僅觀測獵物、僅觀測捕食者，以及兩者同時觀測。頻率學派工作流通過MATLAB中的QuantDiffForecast（QDF）實現，該方法利用非線性最小二乘法擬合常微分方程（ODE）模型，并通過參數化自助法（parametric bootstrap）量化不確定性。貝葉斯工作流則通過BayesianFitForecast（BFF）實現，該方法利用Stan平臺進行哈密頓蒙特卡洛（Hamiltonian Monte Carlo）采樣，生成后驗分布，并提供諸如Gelman–Rubin ?R統計量等診斷指標。結果表明，在數據豐富、觀測充分的情境下（例如肺損傷和猴痘的廣義邏輯模型，或Lotka–Volterra模型中同時觀測到兩個物種時），頻率學派推斷表現最佳；相比之下，當潛變量不確定性高、數據稀疏或部分觀測時（如西班牙COVID-19的SEIUR模型），貝葉斯推斷更具優勢。結構可識別性分析進一步闡明了這些模式：完全可觀測性可提升兩種框架的性能，而觀測受限則無論采用何種方法都會限制參數的可恢復性。本比較分析為根據數據豐富度、可觀測性以及不確定性量化需求選擇合適的推斷框架提供了實用指導。

1 引言

基于常微分方程（ODE）的數學模型是理解和預測生態學與流行病學動態的重要工具[1, 2, 3]。在過去十年中，基于模型的預測在應對重大公共衛生危機中發揮了關鍵作用。在COVID-19大流行期間，預測結果指導了資源分配和社會隔離政策的制定[4, 5, 6, 7, 8, 9, 3]。美國疾控中心（CDC）的FluSight挑戰賽利用模型優化流感疫苗分發和公共衛生信息傳播[10, 11, 12]。在西非和剛果民主共和國（DRC）的埃博拉疫情中，模型用于預測傳播模式并評估干預措施的有效性[13, 14, 15, 16, 17, 18]。最近，針對猴痘（mpox）的預測模型被用于預測其傳播趨勢并評估防控措施[19, 20, 21, 22]。在生態學領域，捕食者–獵物模型有助于預測種群動態并為保護策略提供依據[23]。這些應用表明，可靠的預測依賴于準確的參數估計[24, 25, 26]。

然而，從數據中恢復有意義參數的能力關鍵取決于可識別性（identifiability）——即模型參數是否能從現有觀測數據中唯一確定[27, 28, 29]。當數據稀疏、模型過度參數化或參數間存在強相關性時，可識別性可能失效，從而導致誤導性的推斷和不可靠的預測。近期研究表明，諸如疫苗接種行為、免疫持續時間以及數據完整性等因素，既塑造了疫情的發展軌跡，也影響了參數估計的可靠性[30]。理解可識別性如何與估計框架相互作用，對于確保基于模型的預測具有可解釋性和可重復性至關重要。結構可識別性（structural identifiability）或實際可識別性（practical identifiability）的限制，即使在模型和數據完全相同的情況下，也可能導致兩種推斷框架產生不同的結果。

目前，該領域主要采用兩種估計范式：貝葉斯方法與頻率學派方法。頻率學派方法通常通過優化似然函數或最小化目標函數（如觀測值與預測值之間平方差之和）來校準ODE模型[31, 32, 33, 34]。這些方法使用梯度下降或Levenberg-Marquardt等算法，假設測量誤差服從特定分布（如高斯分布或泊松分布），并通過自助法（bootstrapping）技術量化不確定性[35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]。當數據豐富且質量較高時，頻率學派方法計算效率高，通常表現良好[43, 25]。QuantDiffForecast（QDF）工具箱實現了這一工作流，用于擬合模型并生成帶有不確定性量化的預測[44]。

相比之下，貝葉斯方法應用貝葉斯定理，將參數的先驗分布與觀測數據的似然函數相結合，生成后驗分布，從而顯式地納入不確定性[45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52]。這類方法通常使用馬爾可夫鏈蒙特卡洛（MCMC）算法近似后驗分布，提供全面的參數不確定性度量和可信區間[53, 54, 55, 56, 57, 58]。貝葉斯方法能更好地探索復雜的參數空間，避免陷入局部最優，并有效處理不完整或噪聲較大的數據[59, 60, 61]。Stan等工具促進了貝葉斯估計與預測，支持嚴格的不確定性量化和模型驗證[62, 63, 64, 26, 65, 66]。BayesianFitForecast（BFF）工具箱實現了該工作流，并包含Gelman–Rubin ?R統計量等診斷指標。

盡管兩種范式已被廣泛使用，但以往的比較研究常常在模型、似然函數或預處理步驟上存在差異，使得難以將觀察到的性能差異歸因于估計框架本身[67]。為填補這一空白，我們在標準化條件下對貝葉斯與頻率學派推斷進行受控比較：使用相同的模型、相同的正態誤差結構，以及統一的數據預處理流程。我們分析了三個系統和四個數據集，代表了不同復雜度和可觀測性水平：洛特卡–沃爾泰拉（Lotka–Volterra, LV）捕食者–獵物模型（哈德遜灣猞猁–野兔數據）、用于肺損傷和2022年美國猴痘暴發的廣義邏輯模型（GLM），以及用于西班牙第一波COVID-19疫情的SEIUR流行病模型[23, 68, 69, 70]。對于LV模型，我們分析了三種觀測情景（僅獵物、僅捕食者、兩者同時觀測），以評估部分可觀測性對參數恢復的影響。

我們整合了結構可識別性分析，以確定哪些參數理論上可從數據中恢復，從而將數據本身的固有限制與算法限制區分開來[71, 72, 73]。隨后，我們使用四個指標評估實際可識別性與預測性能：平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）、95%預測區間（PI）覆蓋率，以及加權區間評分（WIS）[74, 75, 76, 25, 26, 77]。

本研究的目標是：(i) 比較貝葉斯與頻率學派推斷在預測精度上的差異；(ii) 評估不確定性校準效果與診斷性能；(iii) 將觀測到的性能差異與結構可識別性及實際可識別性在完全觀測與部分觀測條件下的表現聯系起來。這為根據數據豐富度、可觀測性以及不確定性量化需求選擇合適范式提供了實用指導[26, 25]。

本文其余部分組織如下：第2節描述本研究分析的四個數據集，包括哈德遜灣猞猁–野兔數據、肺損傷暴發數據、猴痘疫情數據以及西班牙的COVID-19數據。第3節介紹所采用的三個數學模型：Lotka–Volterra捕食者–獵物模型、廣義邏輯模型和SEIUR流行病模型。第4節詳述貝葉斯與頻率學派的推斷方法，包括似然設定、先驗分布、不確定性量化流程和性能評估指標。第5節對所有模型在不同觀測情景下進行結構可識別性分析，確立參數恢復的理論邊界。第6節報告實證結果，包括參數估計、性能指標以及所有模型和數據集的收斂診斷。第7節討論部分綜合研究發現，闡釋結構可識別性在解釋性能差異中的作用，并為方法選擇提供實踐建議。第8節結論部分總結主要貢獻及其對生物建模實踐的意義。

2 數 據

2.1 哈德遜灣猞猁–野兔數據
哈德遜灣猞猁–野兔數據集包含1900年至1920年間加拿大猞猁（Lynx canadensis）和雪鞋兔（Lepus americanus）的年度種群數量記錄，這些數據源自哈德遜灣公司（Hudson’s Bay Company）的毛皮回收記錄[78, 79]。這些記錄被用作種群豐度的代理指標，毛皮數量反映了相對種群規模。該數據集包含N = 21個年度觀測值，分別對應獵物（野兔）和捕食者（猞猁）的種群數量。由于該數據集在多個種群周期內同時提供了兩個相互作用物種的觀測數據，因此特別適用于評估捕食者–獵物動態中的參數可識別性。該數據集已被廣泛用作生態模型和參數估計方法的基準測試數據。原始數據未進行任何平滑、插值或填補處理。

2.2 肺損傷數據（EVALI）
該數據集包含2019年美國報告的電子煙或 vaping 產品使用相關肺損傷（EVALI）的周新增病例數[80, 81, 82]。此次疫情于2019年6月中旬首次被發現，病例數在夏季和秋季迅速上升，并于2019年11月前開始下降。我們分析了從2019年6月中旬至11月初約N ≈ 21周的數據，這些數據來自美國疾病控制與預防中心（CDC）《發病率與死亡率周報》（MMWR）監測系統。病例定義遵循CDC對確診和疑似EVALI病例的標準。數據按流行病學周（MMWR周）匯總，除官方CDC報告中已包含的回填修正外，未進行額外的回填校正。該數據集代表了一次持續時間較短、具有明確峰值的疫情暴發，適合用于在清晰界定的流行病動態下測試現象學增長模型。

2.3 猴痘數據（美國，2022年）
我們分析了2022–2023年猴痘疫情暴發期間美國每周報告的新增確診或疑似猴痘病例數，數據來源見[83, 84]。此次疫情始于2022年5月，于2022年8月達到高峰，隨后在2023年初逐步下降。數據由CDC國家監測報告按MMWR周匯總而成。病例定義遵循CDC指南：確診病例指經實驗室確認為正痘病毒且樣本分型為猴痘病毒的病例；疑似病例指與確診病例有流行病學關聯但未經實驗室確認的病例。所分析的時間窗口對應于CDC監測儀表板中公開報告的時期（具體訪問日期參見參考文獻）。該數據集代表了一種在強化監測和公共衛生響應下出現的新發傳染病疫情，可用于評估模型在快速演變的流行病情境中的表現。

2.4 COVID-19數據（西班牙，第一波疫情）
該數據集包含2020年2月至5月西班牙第一波疫情暴發期間每日報告的實驗室確診COVID-19新增病例數[85, 86]。數據由西班牙衛生部（Ministerio de Sanidad）官方報告匯編而成，由于疫情早期響應階段數據可得性的限制，病例日期基于報告日期而非癥狀 onset 日期。西班牙第一波疫情呈現快速指數增長，于2020年3月底達到峰值，隨后因實施嚴格的非藥物干預措施（包括全國封鎖）而下降。為避免后期疫情中因監測方案變更、干預政策調整及新變異株出現所帶來的復雜性，我們將分析限定在第一波疫情期內。官方數據發布中明確標注的已知報告異常（reporting artifacts）已被排除。該數據集代表了一次大規模疫情，存在顯著的漏報問題以及潛伏狀態（暴露者和未報告的感染者），因此非常適合用于在部分可觀測性和模型復雜性條件下評估不同推斷方法的性能。

2.5 預處理總結

所有數據集均采用標準化流程進行處理，以確保不同推斷方法之間的可比性。預處理步驟如下：

時間聚合：哈德遜灣猞猁–野兔數據按原始發表形式使用，未進行任何聚合。肺損傷和猴痘數據按周（CDC MMWR流行病學周）進行聚合，與官方監測報告一致。西班牙的COVID-19數據則按西班牙衛生部發布的每日數據進行分析。

數據類型：哈德遜灣數據集代表種群豐度（毛皮數量），而所有流行病數據集（肺損傷、猴痘、COVID-19）均表示每個報告周期內的新增病例數。對于廣義邏輯模型（GLM），通過累加新增病例數得到累計病例數；模型預測通過累計病例對時間的導數與新增病例數據進行比較。

缺失值：用于模型擬合的最終時間窗口內不存在缺失值，未進行任何插補處理。

平滑處理：在參數估計或預測中未對數據應用任何平滑處理。圖示中可能出于可視化目的疊加了平滑曲線，但這些平滑曲線未用于模型擬合。

時間窗口：校準與預測所用的時間窗口根據疫情階段和數據可得性選定。各數據集的具體時間窗口在結果部分予以說明。

數據質量控制：對于COVID-19數據，明確在西班牙衛生部官方發布中標注的已知報告異常（如數據修正或延遲上報）已被排除。其他所有數據集均直接采用官方監測報告中的原始發布數據，未進行額外修正。

3 模 型

本研究采用了三種隔室型生物與流行病學模型，以全面評估兩種推斷方法（貝葉斯與頻率學派）在參數可識別性方面的表現：(i) LV模型，用于描述捕食者–獵物相互作用及種群反饋機制；(ii) 廣義邏輯模型（Generalized Logistic Model, GLM），通過非線性病例動態刻畫靈活的疫情增長模式；(iii) SEIUR模型，顯式追蹤易感者（Susceptible）、潛伏者（Exposed）、感染者（包括已報告和未報告的 Infectious）以及康復者（Recovered）人群，以同時考慮觀測到的和隱藏的傳播過程。這些模型的選擇旨在體現模型復雜度與數據可觀測性的遞進關系：從完全可觀測的生態系統（LV），到結構簡潔的單方程疫情模型（GLM），再到具有部分可觀測性的多隔室潛變量模型（SEIUR）。這一遞進結構使得我們能夠系統地比較貝葉斯與頻率學派推斷方法在模型結構復雜性和潛變量不確定性逐步增加條件下的性能表現。

LV模型：LV方程（Lotka, 1925；Volterra, 1926, 1927）由一對一階常微分方程（ODE）組成，用于描述兩個相互作用物種的種群動態：一個捕食者和一個獵物。令 x 表示時刻 t 的獵物種群數量， y 表示捕食者種群數量。Volterra 將這兩個種群的時間動態建模如下：

該模型代表了一種更為真實的流行病過程，同時包含可觀測狀態和隱藏狀態，因此非常適合用于檢驗貝葉斯方法與頻率學派方法在處理潛變量、參數耦合以及部分可識別性問題時的表現。

4 方法

4.1 貝葉斯推斷

貝葉斯推斷將先驗知識與觀測數據相結合，以獲得模型參數的后驗分布[89]。當存在先驗信息，或數據稀疏、含噪或部分可觀測時，這一概率框架尤為有效，因為它通過后驗分布提供全面的不確定性量化[51, 49]。

4.1.1 貝葉斯定理

根據貝葉斯定理，給定數據的參數后驗分布正比于先驗分布與似然函數的乘積：

其中， p ( θ )
是先驗分布，用于編碼在觀測數據之前關于參數的已有知識； p ( Y ∣ θ ) 是似然函數，表示在給定參數值下觀測到數據的概率； p ( θ ∣ Y )
是在結合觀測數據后得到的參數后驗分布。

4.1.2 似然函數

我們假設觀測誤差獨立同分布（i.i.d.），服從方差恒定的正態分布。對于同時觀測到獵物和捕食者種群數量的LV模型，其似然函數為：

后驗摘要以中位數及95%可信區間（CrIs）報告，這些區間代表后驗分布的中心95%部分。在預測時，我們從后驗分布中抽取參數值，針對每個樣本求解常微分方程（ODE），并匯總所得預測分布，最終以中位數和95%預測區間（PIs）呈現結果。

4.1.5 計算實現

貝葉斯推斷通過 BayesianFitForecast（BFF）工具箱[26]進行，該工具箱是一個專為擬合和預測基于常微分方程（ODE）的流行病模型而設計的R語言軟件包。BFF工具箱提供了一套自動化工作流：根據用戶指定的模型結構、先驗分布和數據輸入自動生成Stan代碼，無需用戶直接編寫Stan程序。工具箱輸出包括參數的后驗分布、收斂診斷指標（如 R ^ R^、有效樣本量ESS）、軌跡圖、后驗密度圖，以及帶有不確定性量化的預測結果。模型擬合與預測精度的性能指標（包括平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）、加權區間評分（WIS）和95%預測區間覆蓋率）均自動計算。

4.2 頻率學派推斷

頻率學派估計將模型參數視為固定但未知的量，僅基于觀測數據、不引入先驗信息，通過優化目標函數來估計參數[92, 93]。其不確定性量化通過自助法（bootstrap）重采樣程序實現。

4.2.1 參數估計

在假設觀測誤差服從方差恒定的正態分布（與貝葉斯方法保持一致）的前提下，參數估計通過最小化觀測數據與模型預測值之間的殘差平方和獲得。這對應于非線性最小二乘（Nonlinear Least Squares, NLS）估計：

4.2.2 通過參數化自助法進行不確定性量化
為量化參數不確定性并構建置信區間，我們采用參數化自助法（parametric bootstrap）[92, 94]。該方法通過從擬合模型中生成合成數據集，并對每個合成數據集重新估計參數。自助法所得參數估計值的分布用于刻畫抽樣變異性。具體步驟如下：

4.2.3 計算實現
頻率學派推斷通過 QuantDiffForecast（QDF）MATLAB 工具箱實現[25]，該工具箱為常微分方程（ODE）模型提供了完整的參數估計、不確定性量化和預測框架。QDF 工具箱支持多種優化算法、靈活的誤差結構（正態、泊松、負二項分布）、用戶自定義的 ODE 系統，以及基于自助法的自動化不確定性量化。工具箱輸出包括帶置信區間的參數估計值、擬合的模型軌跡、預測分布以及性能指標（MAE、MSE、WIS、95% PI 覆蓋率）。

4.3 性能評估指標

4.3.1 平均絕對誤差（MAE）

MAE 衡量模型預測值與觀測數據之間的平均絕對偏差：

MAE 在原始數據尺度上直接衡量預測準確性。MAE 值越低，表示點預測性能越好。與 MSE 相比，MAE 對異常值的敏感性較低。

4.3.2 均方誤差（MSE）
MSE 衡量模型預測值與觀測數據之間的平均平方偏差：

由于平方運算，MSE 對較大誤差的懲罰比 MAE 更重，因此對異常值更為敏感。MSE 值越低，表示擬合效果越好。有時會報告 MSE 的平方根（即均方根誤差，RMSE），以將該指標恢復到原始數據的尺度。

4.3.3 95% 預測區間的覆蓋率
95% 預測區間（PI）覆蓋率用于量化落在 95% 預測區間內的觀測數據點所占的比例，從而衡量不確定性校準的程度：

4.3.4 加權區間評分（WIS）
WIS 是一種合適的評分規則，通過結合“銳度”（即區間寬度）和“校準性”（對落在區間外觀測值的懲罰）來評估整個預測分布的質量[77, 96]。在置信水平 α α 下，單個預測區間的區間評分（IS）定義為：

4.3.5 指標解釋
MAE、MSE 和 WIS 的值越低，表明模型性能越好。對于 95% 預測區間覆蓋率，其值越接近 95%，說明不確定性估計的校準效果越好。綜合來看，這些指標全面評估了點預測的準確性（MAE、MSE）、分布預測的質量（WIS）以及不確定性校準程度（95% PI 覆蓋率）。我們分別報告校準期（樣本內擬合）和預測期（樣本外預測）的這些指標，以區分模型擬合能力與預測性能。

5 結構可識別性
結構可識別性（Structural Identifiability, SI）分析用于判斷在給定模型結構和觀測方案的前提下，模型參數原則上是否能從理想、無噪聲的系統輸出觀測中被唯一恢復[97, 27, 72]。若一個參數的值可通過模型方程所定義的輸入–輸出關系及可觀測變量集合被唯一確定，則該參數是結構可識別的；反之，若多個不同的參數值產生完全相同的模型輸出，則該參數是結構不可識別的——無論數據質量或數量如何，都無法唯一恢復其真實值。

結構可識別性是有意義參數估計的前提：如果一個參數在結構上不可識別，那么無論擁有多少數據或采用多么復雜的推斷方法，都無法恢復其真實值[28, 98]。在隔室模型中，當僅有部分狀態變量被觀測時，SI 分析尤為重要，因為部分可觀測性常常導致可識別性缺陷[73]。理解在不同觀測情景下哪些參數是可識別的，有助于指導實驗設計、為貝葉斯推斷中的先驗設定提供依據，并幫助解釋參數估計結果。

5.1 方法
我們使用 StructuralIdentifiability.jl [72] 進行符號化的結構可識別性分析。這是一個基于 Julia 語言的軟件包，采用微分代數方法來判定 ODE 模型中參數的可識別性。針對每個模型，我們分析了兩種情景：(1) 初始條件（ICs）已知，即假設所有狀態變量的初始值精確已知；(2) 初始條件未知，即將初始條件視為需額外估計的未知參數。區分初始條件是否已知至關重要，因為可識別性結論會因是否需要從數據中推斷初始條件而顯著不同[71]。

對于 Lotka–Volterra（LV）模型，我們考察了三種觀測方案，以評估部分可觀測性對可識別性的影響：

• LV-1（獵物和捕食者均被觀測）：同時觀測獵物種群 x ( t ) 和捕食者種群 y ( t ) 。

5.2 結果

表2 總結了所有模型在不同觀測方案和初始條件假設下的結構可識別性結果。

5.3 解釋

Lotka–Volterra 模型：當捕食者與獵物的時間序列均被觀測（LV-1）時，所有模型參數（α, β, γ, δ）在結構上均可識別，無論初始條件是否已知。兩個物種的耦合動力學提供了足夠的信息，可唯一確定所有相互作用參數。

在部分觀測情況下，若初始條件未知，則會出現可識別性損失。當僅觀測捕食者（LV-2）時，獵物由消耗產生的增長參數 δ 以及獵物種群軌跡 x(t) 變得不可識別。這是因為觀測到的捕食者動力學僅能約束乘積項 δx(t)，而無法單獨區分 δ 和 x(t)，從而導致結構性非唯一性。類似地，當僅觀測獵物（LV-3）時，捕食率 β 和捕食者種群 y(t) 不可識別，因為獵物動力學僅能約束乘積項 βy(t)。

重要的是，當初始條件已知時，即使在部分觀測情景下（LV-2 和 LV-3），所有參數均可識別。對初始獵物和捕食者種群數量的了解打破了系統對稱性，使所有參數得以唯一恢復。這凸顯了在生態野外研究中準確估計初始條件的價值。

廣義邏輯模型：對于 GLM，觀測累計病例數 C(t) 和新增病例數 dC/dt 可在初始條件已知或未知的情況下，確保所有參數（r, p, K）完全結構可識別。GLM 的單方程結構結合對狀態變量及其導數的直接觀測，保證了所有增長參數均可被唯一確定。這種穩健的可識別性使得 GLM 在完整病例軌跡可觀測時，成為現象學疫情建模的可靠選擇。

SEIUR 模型：SEIUR 模型因其多隔室結構和部分可觀測性而面臨顯著的可識別性挑戰。即使所有隔室（S, E, I, U, R, C）理論上均可觀測，當初始條件未知時，僅有累計報告病例數 C、潛伏期速率 κ 和康復率 γ? 在結構上可識別。其余狀態變量（S, E, I, U, R）及關鍵參數——包括總人口規模 N 和報告比例 ρ——在結構上均不可識別。

這種可識別性缺陷源于觀測到的發病率數據（每日新增報告病例數）依賴于乘積項 κρE(t)，而非 κ、ρ 和 E(t) 各自獨立影響。多個不同的報告比例 ρ、暴露人群 E(t) 和總人口 N 的組合可能產生相同的觀測病例數。未觀測的未報告感染隔室 U(t) 進一步加劇了可識別性問題，因為報告與未報告感染之間的劃分并未被數據直接約束。

當初始條件已知時，所有 SEIUR 參數均可識別。這強調了在存在漏報現象的流行病模型中，準確估計初始易感人群和暴露人群（例如，通過血清流行病學調查或接觸者追蹤數據）對于實現可靠的參數推斷至關重要。

5.4 對推斷的啟示結構可識別性分析為解讀結果部分所呈現的經驗參數估計和預測結果提供了關鍵背景。對于 LV 模型，我們預期當兩個物種均被觀測時（LV-1），貝葉斯和頻率學派方法均能成功恢復所有參數；但在部分觀測情景下（LV-2、LV-3），由于結構可識別性受損，參數估計可能不可靠或表現出高度不確定性。

對于應用于肺損傷和猴痘數據的廣義邏輯模型（GLM），其穩健的結構可識別性表明，只要數據質量足夠，兩種推斷方法都應能產生約束良好的參數估計和可靠的預測。

對于應用于西班牙 COVID-19 數據的 SEIUR 模型，有限的結構可識別性表明，僅憑病例發病率數據無法唯一確定多個模型參數。我們預期報告比例 ρ ρ、總人口規模 N N 以及潛伏隔室的參數估計將表現出顯著的不確定性，甚至非唯一性。在此情境下，貝葉斯推斷可能具有優勢：通過引入先驗信息對原本病態（ill-posed）的反問題進行正則化；而頻率學派方法在缺乏額外約束或補充數據源的情況下可能難以有效應對。

這些預測將在結果部分通過實證進行檢驗，我們將系統比較不同模型和觀測情景下的參數估計準確性、不確定性量化效果以及預測性能。

模型、應用領域、數據來源與觀測情景匯總如表3所示，本研究中所使用的模型、應用領域、數據來源及觀測情景匯總如下。

6 結果

本節呈現了本研究中所有模型與數據集的參數估計結果、性能指標及收斂診斷。我們按模型組織結果，每個子章節包含貝葉斯（BFF）和頻率學派（QDF）推斷方法下的參數估計、預測表現及不確定性量化。結構可識別性分析（第5節）為解讀這些實證結果提供了理論背景。

6.1 Lotka–Volterra 模型

我們將LV模型擬合于哈德遜灣猞猁–野兔數據，共考察三種觀測情景：(1) 同時觀測獵物與捕食者（LV-1）；(2) 僅觀測捕食者（LV-2）；(3) 僅觀測獵物（LV-3）。這些情景使我們能夠結合第5節所展示的結構可識別性結果，評估部分可觀測性如何影響參數恢復與預測性能。為增強分析深度，我們分別考察這三個獨立情景：首先呈現同時擬合獵物與捕食者數據的結果；其次聚焦僅用捕食者數據擬合模型的情形；最后提供僅使用獵物數據進行擬合的結果。

6.1.1 獵物與捕食者均被觀測

本節重點展示同時擬合獵物與捕食者數據的結果。

圖5顯示，BFF方法在捕捉數據動態方面更為有效。特別是，在應用BFF時，獵物種群的不確定性范圍更合理，覆蓋了所有觀測數據點。此外，該方法在捕捉捕食者種群峰值方面表現出色，尤其對捕食者種群的第一個峰值實現了近乎完美的擬合。

表4顯示，盡管兩種方法均同時使用了兩組數據，但其參數估計值存在顯著差異。特別是，參數 β 在BFF中的估計值遠低于QDF，甚至趨近于零。此外，參數 δ 是唯一一個在兩種方法中估計值大致相同的參數。

表5證實了BFF的表現明顯優于QDF這一結論。

圖5展示了在同時假設獵物與捕食者數據的前提下，將哈德遜灣數據集擬合至LV模型的結果。第一行顯示使用BFF方法獲得的結果，第二行顯示QDF方法的結果。第一列代表捕食者種群，第二列對應獵物種群。

在接下來的章節中，我們將比較兩種不同擬合方法（BFF 和 QDF）的性能。由于我們在僅擬合數據集中的單一成分（捕食者或獵物）時分別應用這兩種方法，因此我們預期會生成兩張圖，每張圖分別展示一種方法的擬合結果。

6.1.2 僅使用捕食者數據

下文將呈現僅考慮捕食者數據時，將哈德遜灣數據集擬合至LV模型的結果。

下圖6展示了在僅假設捕食者數據的條件下，將哈德遜灣數據集擬合到Lotka–Volterra模型的結果。第一列顯示使用BFF方法獲得的結果，第二列顯示QDF方法的結果。

結果表明，QDF 在僅使用捕食者數據時擬合效果更好，比 BFF 更有效地捕捉了種群的關鍵趨勢。

6.1.3 僅使用獵物數據

下文將呈現僅考慮獵物種群時，將哈德遜灣數據集擬合至 LV 模型的結果。

下圖7展示了在僅使用獵物數據的假設下，將哈德遜灣數據集擬合到Lotka–Volterra模型的結果。第一列顯示僅使用獵物數據時BFF方法所得結果，第二列顯示僅使用獵物數據時QDF方法所得結果。

這些結果表明，QDF 在獵物種群動態建模方面更為穩健和準確，在誤差指標和參數估計方面均優于 BFF。

6.1.4 不同觀測情景下（僅獵物、僅捕食者、獵物與捕食者）LV 捕食者–獵物模型參數估計（α, β, δ, γ）的比較分析

下圖8展示了對 LV 捕食者–獵物模型參數（α, β, δ, γ）估計值的比較分析。估計結果涵蓋三種觀測情景：僅獵物、僅捕食者以及獵物與捕食者同時觀測。圖中每個點表示參數估計的均值，水平線段表示相應的不確定性區間。為更清晰地展示小量級參數范圍內的變化，橫軸采用對數尺度。該比較突顯了數據可得性如何影響參數的可識別性，以及不同預測方法之間估計結果的一致性。

6.1.5 LV模型中僅捕食者數據與捕食者–獵物聯合數據在MAE、MSE、WIS和95% PI等性能指標上的比較

下圖9評估了BFF與QDF框架在兩種數據可用情景下的預測性能：(1) 僅觀測到捕食者數據；(2) 同時獲得捕食者與獵物數據。預測準確性通過四個指標進行評估：平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）、加權區間評分（WIS）和95%預測區間（95% PI）。在所有指標上，使用完整的捕食者–獵物聯合數據相比僅依賴捕食者數據均顯著提升了模型性能，凸顯了在動態生態系統中聯合觀測的價值。

6.1.6 LV模型中僅獵物數據與捕食者–獵物聯合數據在MAE、MSE、WIS和95% PI等性能指標上的比較

下圖10評估了BFF與QDF框架在兩種數據可用情景下的預測性能：(1) 僅觀測到獵物數據；(2) 同時獲得捕食者與獵物數據。預測準確性通過四個指標進行評估：平均絕對誤差（MAE）、均方誤差（MSE）、加權區間評分（WIS）和95%預測區間（95% PI）。在所有指標上，使用完整的捕食者–獵物聯合數據相比僅依賴獵物數據均顯著提升了模型性能，再次凸顯了在動態生態系統中聯合觀測的重要性。

6.1.7 不同數據情景下LV模型參數（α, β, δ, γ）的后驗直方圖
LV模型參數（α, β, δ, γ）的后驗直方圖如圖S1–S6所示。這些圖比較了在BFF和QDF方法下，捕食者–獵物聯合觀測、僅捕食者觀測以及僅獵物觀測三種情景的結果。每幅直方圖均以均值、中位數和95%置信區間（CI）概括參數不確定性，從而揭示不同數據情景下參數的可識別性與估計精度。

具體而言，圖S1–S3展示BFF方法的結果，而圖S4–S6呈現QDF方法的估計結果。綜合來看，這些圖突顯了兩種方法在參數估計上的差異，同時也驗證了模型能夠恢復具有生物學意義的參數值。窄而尖銳的直方圖（例如圖S1中 α ≈ 0.4 ± 0.04）表明參數具有強可識別性且后驗不確定性較低；而寬或平坦的直方圖（例如圖S2中僅捕食者情景下的 β 或 γ）則反映出弱可識別性——這些參數可在較大范圍內變化，同時仍能擬合觀測數據。

對比BFF與QDF的對應圖版可見，兩種方法均能恢復生物學上合理的參數值，但在數據覆蓋更充分的情景下，QDF傾向于產生略窄的不確定性區間。

6.1.8 使用正態分布作為誤差結構時LV模型參數的比較（BFF方法）

6.1.9 使用正態分布作為誤差結構時LV模型參數的比較（QDF方法）

6.2 肺損傷的廣義邏輯模型（GLM）
本節總結了將廣義邏輯模型（GLM）擬合到肺損傷時間序列的結果。我們比較了模型擬合效果、參數估計、預測精度（MAE、MSE、WIS）以及95%預測區間的覆蓋率。圖11顯示，兩種方法均能很好地捕捉受影響人群的上升與下降趨勢，并在峰值和下降階段與觀測數據高度吻合。在拐點附近，預測區間較窄，且兩種方法之間的差異很小。

6.2.1 使用肺損傷數據對GLM模型參數估計的比較
圖12展示了兩種方法在參數 r 、 p 和 K 上的估計結果對比，顯示出相似的點估計值和略有差異的不確定性區間寬度。圖中每個點代表后驗均值，水平線表示95%預測區間（PI）。該比較突顯了不同方法在參數估計上的一致性，同時也揭示了其在不確定性范圍上的細微差別。

6.2.2 使用肺損傷數據對GLM模型的MAE、MSE、WIS和95% PI性能指標比較
圖13展示了MAE、MSE、WIS和預測區間（PI）的對比結果。結果顯示，QDF在各項誤差指標上 consistently（始終）取得更低的誤差值，同時保持與BFF相當的PI覆蓋率，表明其預測更為準確且可靠。

6.2.3 不同數據情景下GLM參數（r, K, p）的后驗直方圖
GLM參數（r, K, p）的后驗（或抽樣）直方圖如圖S7–S8所示。每組圖匯總了BFF和QDF方法下各參數的不確定性，并報告了每個參數的均值、中位數和95%置信區間（CI）。這些圖版共同支持對兩種估計框架在不同數據情景下如何探索參數空間（r, K, p）進行并排比較。BFF和QDF均得到了集中的后驗分布，例如 p ≈ 1.0 ± 0.02，表明這些參數具有良好的可識別性。

6.2.4 使用正態誤差結構時GLM參數設定的比較（BFF方法）

6.2.5 使用正態誤差結構時GLM參數設定的比較（QDF方法）

6.3 美國猴痘疫情的廣義邏輯模型（GLM）
本節展示將廣義邏輯模型（GLM）擬合于2022年美國猴痘疫情的結果。

圖14展示了GLM對美國猴痘發病率的擬合情況：頻率學派方法（QDF）和貝葉斯方法（BFF）均能捕捉到疫情的快速上升與下降趨勢。第一列顯示使用QDF方法得到的結果，第二列顯示BFF方法的結果。

表21比較了MAE、MSE、WIS和95% PI；QDF在誤差指標上更低，同時保持了相當的覆蓋率。

6.3.1 使用猴痘數據對GLM模型參數估計的比較
圖15比較了兩種方法在參數 r r、 p p 和 k k 上的估計結果，顯示出高度一致的點估計值以及略有差異的不確定性區間寬度。圖中每個點代表后驗均值，水平線表示95%預測區間（PI）。該比較突顯了不同方法在參數估計上的一致性，同時也揭示了其在不確定性范圍上的細微差別。

6.3.2 使用猴痘數據對GLM模型的MAE、MSE、WIS和95% PI性能指標比較
圖16展示了誤差與覆蓋率指標。兩種方法在全部四項評估指標（MAE、MSE、WIS和95% PI）上表現相似。MAE值幾乎完全相同，表明點預測精度相當；QDF的MSE略低，說明其對較大誤差的處理略優；WIS值非常接近，反映出兩者預測區間的質量相近。兩種方法的95%預測區間覆蓋率也幾乎一致，表明其不確定性量化具有同等良好的校準性。總體而言，在GLM模型應用于猴痘數據時，兩種方法表現相當。

6.3.3 猴痘數據下GLM參數（r, K, p）的后驗直方圖
針對猴痘發病率數據，GLM參數（r, K, p）的后驗直方圖（BFF）和抽樣直方圖（QDF）如圖S9–S10所示。每個圖版均以均值、中位數和95%置信區間（CI）概括參數不確定性，便于在同一數據集上對BFF與QDF進行并排比較。

6.4 西班牙第一波COVID-19疫情的SEIUR模型

本節展示了將西班牙第一波COVID-19疫情數據擬合至隔室型SEIUR模型（易感者–暴露者–感染者–康復者模型）所得到的參數估計、性能指標及收斂性分析結果。

圖17展示了兩種框架對西班牙第一波疫情的SEIUR擬合結果；兩者均能較好地追蹤發病率的上升與下降趨勢。

6.4.3 SEIUR參數（β?, β?, q?, ρ, κ, γ?, N）的后驗直方圖

圖S11–S12展示了在BFF和QDF方法下SEIUR參數的分布情況。每個圖版均以均值、中位數和95%置信區間（CI）概括不確定性，便于進行方法間的對比。

圖S11（BFF）：多個參數的后驗分布相對寬泛，表明僅憑觀測數據無法完全識別這些參數，存在部分可識別性。圖中標注的示例包括：β? 中位數為2.18（95% CI [1.60, 3.09]）；β? 中位數為1.69（[1.14, 2.48]）；q 中位數為0.88（[0.64, 1.41]）；ρ 中位數為0.60（[0.28, 0.92]）；κ 中位數為2.39（[1.23, 3.73]）；γ 中位數為1.78（[1.22, 2.59]）。這些較寬的區間突顯了參數之間的耦合關系以及觀測輸出所包含的信息有限。

圖S12（QDF）：多個參數的分布更為集中（x軸支持范圍更窄，呈單峰形態），與QDF方法下更緊致的點估計結果一致。建議將本圖與圖S11結合使用，以對比BFF不確定性區間最寬的位置。BFF直方圖在多個參數上相對較寬，反映出部分可識別性；而QDF直方圖則顯示出更尖銳的集中趨勢，表明其估計更為穩定。這一對比凸顯了補充數據或重新參數化可能改善模型可識別性的潛力。

7 討論

本研究對貝葉斯與頻率學派推斷方法在生態、臨床和流行病系統中的比較分析揭示了一個清晰的實踐性區分：貝葉斯方法（BFF）在不確定性量化和診斷透明度方面表現更優，而頻率學派方法（QDF）通常在點預測誤差指標上更低，且計算效率更高。兩種框架的相對性能高度依賴于數據的豐富程度、模型的復雜性以及結構可識別性的程度。我們的研究結果表明，沒有任何一種方法在所有情況下都占絕對優勢；相反，最優選擇取決于具體建模問題的特性。

7.1 模型特異性表現

Lotka–Volterra 模型：在 LV 模型中，三種觀測情景下的表現差異顯著。當同時觀測獵物與捕食者種群（LV-1）時，兩種方法均成功恢復了參數值：QDF 在捕食者動態上的點誤差略低（MAE 2.87 vs. 4.95）（表5），而 BFF 在獵物預測區間覆蓋率上達到完美（100% vs. 90.48%）（表5）。在僅觀測獵物的情景下（LV-3），QDF 給出了更銳利的點預測，將 MAE 從 4.60（BFF）降至 3.30，MSE 從 27.34 降至 15.83，WIS 從 2.80 降至 2.10（表11）。然而，BFF 仍保持更優的校準性能，其預測區間覆蓋率為 100%，而 QDF 為 90.48%。收斂診斷確認 BFF 的 MCMC 采樣穩定，所有 LV 參數的 （表6），表明即使在部分可觀測條件下，后驗推斷依然可靠。

結構可識別性分析（第5節）解釋了上述模式：當兩個物種均被觀測時，參數可被唯一恢復；而在部分觀測下，若初始條件未知，則會出現可識別性缺陷，這是任何推斷框架都無法克服的。實證結果與 SI 預測一致，表明無論采用何種統計方法，可觀測性從根本上限制了推斷質量。

廣義邏輯模型（肺損傷與猴痘）：在應用于肺損傷和猴痘疫情的 GLM 中，QDF 在點預測準確性上始終優于 BFF，同時保持相當甚至更優的不確定性校準。在猴痘疫情中，QDF 的 MAE 更低（9.45 vs. 11.74）、MSE 更小（150.47 vs. 399.43）、WIS 更優（5.8 vs. 7.18），且預測區間覆蓋率達到完美（100% vs. 97.8%）（表21）。BFF 展現出優異的收斂性（表17 和 表22），所有參數（r, p, K）的后驗均被充分采樣，盡管其性能指標略遜一籌。肺損傷的結果也呈現相同的定性模式：QDF 點誤差更低，同時保持良好校準的預測區間。

GLM 的強結構可識別性（第5節）解釋了為何兩種方法都能成功恢復參數。其單方程結構結合對新增病例的直接觀測，確保了所有參數（r, p, K）在初始條件已知或未知的情況下均可被唯一識別。在此類高度可識別的情境中，QDF 的計算效率和優化導向使其在點估計上具有優勢，而 BFF 的概率框架雖帶來額外計算成本，卻未在預測準確性上帶來顯著提升。

SEIUR 模型（西班牙 COVID-19）：與 GLM 結果相反，在 SEIUR 模型中，BFF 在所有指標上均優于 QDF：MAE（294.57 vs. 352.30）、MSE（210,754 vs. 311,054）、WIS（211.30 vs. 250.46）以及預測區間覆蓋率（94% vs. 92%）（表26）。這種性能優勢的逆轉反映了該模型更高的復雜性、存在潛變量隔室，以及 SEIUR 框架有限的結構可識別性。SI 分析（第5節）表明，當僅觀測到報告的新增病例時，若初始條件未知，大多數參數和狀態變量（S, E, I, U, R, N, ρ）在結構上不可識別，僅有累計病例數 C、潛伏期速率 κ 和康復率 γ? 可被識別。

在此具有挑戰性的設定下，貝葉斯推斷得益于先驗正則化，有效約束了原本病態（ill-posed）的反問題。后驗分布融合了數據似然與先驗信息，使得即使在根本性可識別性受限的情況下，也能實現更穩定的參數估計和預測生成。相比之下，頻率學派的優化方法在高維且約束不足的參數空間中難以有效運作，導致點估計可靠性較低，預測區間更寬。

7.2 結構可識別性的作用結構可識別性（SI）分析為理解為何不同模型和觀測情景下的推斷性能存在差異提供了關鍵洞見。對于 LV 模型，全局可識別性要求同時觀測獵物與捕食者；部分觀測會導致參數非唯一性，這是 BFF 和 QDF 均無法解決的問題（表2）。對于 GLM，其在所有觀測方案下均具有強可識別性，從而確保兩種框架都能實現可靠的推斷。而對于 SEIUR 模型，嚴重的可識別性缺陷限制了參數恢復能力，無論采用何種推斷方法——盡管貝葉斯先驗能在一定程度上提供正則化優勢。

這些發現強調：結構可識別性設定了從數據中所能獲知信息的根本極限。無論統計框架多么先進，都無法唯一恢復結構上不可識別的參數。因此，在開展實證建模之前，應首先進行 SI 分析，以明確數據能夠回答哪些問題、不能回答哪些問題。

7.3 實踐啟示

我們的研究結果為在貝葉斯與頻率學派推斷框架之間做出選擇提供了實用指導：

在以下情況下使用頻率學派方法（QDF）：(1) 數據豐富且質量高；(2) 模型在結構上可識別；(3) 計算速度至關重要；(4) 主要目標是最小化點預測誤差；(5) 模型復雜度為低至中等。GLM 的應用（如肺損傷和猴痘）正是這些條件的典型體現。

在以下情況下使用貝葉斯方法（BFF）：(1) 數據稀疏、含噪或部分觀測；(2) 模型包含潛變量或未觀測隔室；(3) 結構可識別性受限；(4) 全面的不確定性量化至關重要；(5) 可獲得先驗信息以約束推斷；(6) 需要通過收斂診斷（如）確保推斷可靠性。SEIUR 模型在西班牙 COVID-19 數據中的應用即為此類情境的代表。

可同時提升兩種方法性能的策略包括：(1) 擴大觀測覆蓋范圍（例如同時測量獵物與捕食者，而非僅一個物種）；(2) 獲取準確的初始條件估計；(3) 引入輔助數據源以打破參數非唯一性；(4) 采用基于 SI 分析的實驗設計，確保所關注的參數是可識別的。

7.4 局限性與未來方向

本研究通過標準化模型結構、觀測方案和誤差分布，以隔離推斷框架本身的影響。盡管這一設計有助于進行清晰的比較，但仍存在若干局限性需加以考慮。首先，我們為兩種方法均假設了正態誤差結構；若采用其他分布（例如針對計數數據的負二項分布），可能會改變方法間的相對性能。其次，我們對每個模型進行了獨立分析；若采用分層或多層級結構，可能更有利于貝葉斯推斷。第三，我們的結構可識別性（SI）分析基于理想、無噪聲的數據；在真實噪聲水平下的實際可識別性值得進一步研究。

未來研究可探索混合推斷策略，將基于優化方法的計算效率與貝葉斯抽樣的不確定性量化優勢相結合。基于 SI 分析的實驗設計可在數據收集前確定最優的測量策略。引入機器學習方法，如神經常微分方程（Neural ODEs）[99]或物理信息神經網絡（physics-informed neural networks），可能帶來互補優勢。將本比較擴展至空間顯式模型、基于智能體的模擬以及隨機流行病模型，將進一步拓寬這些發現的適用范圍。

8 結論

基于常微分方程（ODE）的數學模型是理解和預測生態與流行病系統動態的重要工具。模型推斷的可靠性對于準確的參數估計和合理的可識別性評估至關重要。本研究系統比較了貝葉斯與頻率學派推斷框架在三個生物模型——LV 捕食者–獵物動力學、廣義邏輯模型（GLM）和 SEIUR 流行病模型——上的表現，并應用于四個涵蓋生態與流行病領域的實際數據集。

我們的分析表明，貝葉斯方法與頻率學派方法并無絕對優劣之分；最優框架取決于數據特征、模型結構以及結構可識別性的程度。當數據豐富、模型可識別性良好且優先考慮計算效率時，頻率學派方法（通過 QDF 實現）表現優異，這在肺損傷和猴痘疫情的 GLM 應用中體現為更優的點預測精度。而當數據稀疏或含噪、模型包含潛變量隔室、且全面的不確定性量化至關重要時，貝葉斯方法（通過 BFF 實現）更具優勢，這在西班牙 COVID-19 疫情的 SEIUR 模型中得到了驗證。

結構可識別性分析被證明是實現有意義推斷的關鍵前提。我們利用 StructuralIdentifiability.jl 進行的符號化可識別性分析表明，可觀測性從根本上限制了參數恢復能力：在 LV 模型中，同時觀測捕食者與獵物種群可實現全部參數的識別；而部分觀測則導致可識別性缺陷，即使借助統計方法也無法克服，除非初始條件已知。同樣，SEIUR 模型在僅觀測報告病例時的有限可識別性，解釋了為何兩種方法均面臨參數不確定性問題，盡管貝葉斯先驗提供了一定的正則化優勢。

將結構可識別性分析與實證推斷相結合，可形成一套有原則的生物建模工作流：第一，開展 SI 分析，確定在計劃觀測條件下哪些參數理論上可被恢復；第二，根據數據特征選擇匹配的推斷框架——當可識別性強且數據豐富時使用頻率學派方法，當可識別性弱或數據有限時使用貝葉斯方法；第三，在 SI 約束的背景下解讀實證結果，認識到沒有任何統計方法能唯一恢復結構上不可識別的參數。

對于需要在推斷框架間做出選擇的實踐者，我們建議：(1) 當最小化點預測誤差和計算成本是首要目標、數據質量高且模型結構可識別時，使用頻率學派方法；(2) 當不確定性量化至關重要、可獲得先驗信息、模型包含未觀測狀態或可識別性受限時，使用貝葉斯方法；(3) 通過提升觀測覆蓋度、獲取準確的初始條件估計、以及采用基于 SI 的實驗設計，來同時改進兩種方法的性能。

本比較研究深化了我們對統計推斷框架在生物建模情境中表現的理解，并為方法選擇提供了實用指導。通過將推斷方法與問題特性相匹配，并以可識別性理論為基礎進行結果解讀，建模者能夠獲得可靠、可復現且科學上可辯護的結果，從而有效支持生態管理與公共衛生決策。

原文鏈接： https://arxiv.org/pdf/2511.15839=28.78