正規矩陣有哪些特色？

在研究特征值問題時，“能否對角化”至關重要：對角化意味著矩陣結構變得清晰明了，計算與理解都隨之變得簡單。本文沿著這一主線，從實對稱與埃爾米特矩陣出發，借助舒爾分解，把視野推向更廣闊的“正規矩陣”。它們不僅都能通過酉相似被對角化，而且特征向量可選成標準正交基，從而得到清晰的譜分解與正交投影解釋；也正是在這里，代數結構與幾何直觀，以及“最佳逼近”的最優化意義自然匯合。閱讀本文，你將看到正規矩陣為何格外“規整”，又為何在理論與應用中如此重要。

撰文 | 朱慧堅（廣州南方學院數學與統計學院副教授）、丁玖（廣州南方學院數學與統計學院教授）

追尋可對角化矩陣

我們在《返樸》上刊登的關于矩陣理論的系列文章中，上一篇《如何理解矩陣的特征值問題？》討論了一般方陣的特征值問題，并區分了兩大類矩 陣，即可對角化類和不可對角化類。刻畫第一類矩陣的一個準則是所有特征值都是半單的，換句話說所有特征值的代數重數（特征多項式線性因子的冪指數）等于幾何重數（特征子空間的維數），第二類的矩陣就缺乏這一性質，或言之至少一個特征值的幾何重數小于代數重數。

作為歐幾里得空間邁進復數域的直接推廣，所有分量為復數的維向量全體，按照通常的向量加法和數乘這兩個代數運算，以及向量之間所謂的“埃爾米特內積”，組成了酉空間

義所在。正因為對角矩陣是結構最簡單的矩陣（零矩陣和單位矩陣是它們的特例），而不僅與共享所有的特征值，而且也繼承了這些特征值的代數重數和幾何重數，尋找方陣的可對角化條件很有實用價值。

由于矩陣的相似關系和三角形的相似關系一樣都是等價關系，即此種二元關系具有自反性、對稱性和傳遞性，因此階數是固定正整數的所有矩陣，根據它們之間是否存在相似關系，被劃分為互不相交的“相似類”：同一類中的全體矩陣之間彼此都相似，而屬于不同類的任意兩個矩陣之間與相似無緣。這樣一看，如果一個相似類中的矩陣是可對角化的，那么該類中的所有對角矩陣都可視為這一類矩陣成員的“杰出代表”，它們的對角元素都是個相異固定常數的不同-排列，其中每個常數出現的次數等于它作為特征值的重數。所以其中每一個對角矩陣都有資格被稱為類中矩陣的“標準型”。

看看人類成員之間的朋友關系，就不及矩陣的相似關系那么嚴謹完備。現實中的朋友關系符合“等價關系”三要素中的前兩條：自反性——自己當然是自己的朋友；對稱性——張三和李四是朋友也意味著李四和張三是朋友。但是第三條傳遞性就無法保證了：即便張三和李四是朋友，李四又是王五的朋友，也不能確保張三和王五也是哥們，說不定他們反而是“老死不相往來”的宿敵呢！事實上，倘若朋友關系是個等價關系，那么社會就會被劃分成無數個封閉的小圈子，這就大大減少了人際關系的豐富性和復雜性。從這里也可領會為何 “數學比人生容易多了”這一顛撲不破的真理。

正是由于對角矩陣提供了可對角化矩陣的最簡形式，我們很自然地想知道哪些矩陣可以對角化。本文旨在開啟一趟探尋之旅，帶你領略可對角化矩陣的數學之美。

埃爾米特矩陣的性質

物理巨擘楊振寧先生近期以 103 歲高壽仙逝，留給世人無盡的緬懷。在他浩如煙海的著述與演講中，始終強調對“對稱之美”的執著追求。“對稱”也給數學家帶來了無盡的愉悅和遐想。以此為引，我們將目光投向實對稱矩陣。

實對稱矩陣，顧名思義，就是其中元素都是實數并且關于主對角線對稱的方陣。更精確地

實對稱矩陣的所有特征值均為實數，它們對應的特征向量可以取為實向量；因為決定相關特征向量的那些齊次線性方程組的系數全是實數，因而解也是實數。所以我們完全可以放下包袱，而不必多此一舉地跳出實數框架，去探究復數迷宮。誠然，如果我們硬要在復數域里找出所有的復特征向量，增加的計算工作量也是微乎其微的：只需選取同一個特征值對應的兩個實特征向量和，通過 + i的形式，就能直接構造出對應的復特征向量。

如果細心回味對“實對稱矩陣的特征值必為實數”的如上證明，就會發現它其實不僅適用于實

陣稱為埃爾米特矩陣。埃爾米特在 1855年證明此類矩陣總是具有實特征值。他不僅在數論、橢圓函數、不變量理論、正交多項式等領域耕耘不輟，在培養人才方面也有一套，他在巴黎綜合理工學院教過的最有名的學生是龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854-1912），后者成為了那個時代公認的數學領袖。

概括上面的討論，本文如下的第一個結論是不言而喻的：

命題 1.埃爾米特矩陣的任何特征值均為實數。

我們知道，埃爾米特矩陣對應于不同特征值的特征向量是線性無關的（證明詳見《如何理解矩陣的特征值問題？》）。除此之外，它是否還有更加優美的性質？答案是肯定的，那便是“正交性”。設和是埃爾米特矩陣的兩個相異特征值，其各自對應的特征向量為

命題2. 埃爾米特矩陣對應于不同特征值的特征向量彼此正交。

從幾何上來看，平面上或空間里的兩個非零向量之間的夾角只要不是0度（即方向相同）或180度（即方向相反），則它們是線性無關的。直觀上可以想象，若兩個向量的方向幾乎相同（即它們之間的夾角幾乎為零）或幾乎相反（即它們之間的夾角幾乎是平角），則它們幾乎是線性相關的（在實際應用計算中，由于舍入誤差的影響，甚至可以認為它們已經是數值線性相關了）。在酉空間里，兩個向量之間“夾角”的余弦等于它們的埃爾米特內積之實部除以它們的埃爾米特范數之積（這由柯西-施瓦茨不等式保證）。如上的幾何直觀催化出如下的思想：向量之間的夾角可以作為“線性無關（或相關）程度”的一個量化指標，即夾角越靠近零度或180度，則它們之間的“線性無關度”就越低。如果它們之間相互正交，即夾角為90度，則可以推測它們“最線性無關”，線性無關度大于夾角為30度的兩個向量。下面我們證明：如果一組非零向量兩兩正交，則它們一定是線性無關的。這個事實說明正交性強于線性無關性。

上三角化定理與埃爾米特矩陣的酉對角化

現在，我們準備攻克本文面臨的第一個堅固堡壘：埃爾米特矩陣的每個特征值是否是半單的？ 想要拿下它，所需的“攻堅利器”是“上三角化定理”。這一結果對一般的復矩陣同樣適用，由俄羅斯數學家舒爾（Issai Schur，1875- 1941）發現。舒爾一生幾乎都在德國學習與任教，研究領域包括群表示論（以通常所稱的“舒爾引理”為人熟知）、數論與組合數學。他最廣為人知的結果是下面的“舒爾矩陣分解定理”；因為它在本文中僅被用來證明其他結果，我們只好以引理稱之：

米特范數等于1”。滿足如此要求的復矩陣稱為酉矩陣，如果同時也是實矩陣，則被更直觀地叫做正交矩陣。所謂的上三角矩陣指的是這種方陣，它位于主對角線下方（即行指標大于列指標）的元素全為零。由特征方程的定義可見，上三角矩陣（下三角矩陣同理）的所有特征值，若按代數重數重復排列，恰好就是其主對角線上的所有元素。注意：雖然上（下）三角矩陣的特征值唾手可得，它們卻不一定是半單的，《如何理解矩陣的特征值問題？》中列舉的那個2階上三角矩陣（對角元素均為0、右上角元素等于1）就是一個反例。

酉矩陣的定義告訴我們，上面引理中的酉矩陣是可逆矩陣，且逆矩陣就等于它的共軛轉

意的是，只有所有特征值均為半單的方陣才能相似于一個對角矩陣；但一般而言，大多數普通方陣通常無法對角化，充其量只能相似到上三角矩陣。這里的關鍵在于，所使用的變換矩陣可不是一般的非奇異矩陣，而是性質更為特殊的酉矩陣。

可以用數學歸納法證明舒爾的分解定理，第一步先證引理對1階矩陣為真（這是顯然成立的，因為此時已經是上三角矩陣了，就取為1階單位矩陣，即數1）。第二步，首先假設引理對所有 ? 1階矩陣為真，然后證明它對階矩陣也為真。然而，相較于對一般自然數的證明，證明 = 3的特例更為直接明了。后者不僅過程干脆利落，更重要的是能一目了然地揭示證明的思想，有助于直觀把握定理的本質。

所以，我們令

從酉矩陣到正規矩陣

到目前為止，我們已經攻下“哪類矩陣可以對角化”的第一關。既然埃爾米特矩陣能酉相似于對角矩陣，我們肯定會對在其中扮演了關鍵角色的酉矩陣產生好奇：酉矩陣本身是否也能“酉相似于”對角矩陣呢？或許會有讀者驚 奇，回答是肯定的。

比較這兩個相等矩陣表達式右端的對應元素，顯然有 = = = 0，從而是一個對角矩陣。對一般階正規矩陣的證明如法炮制。

到此為止，我們完成了下列定理 1 的證明。

（i）任何埃爾米特矩陣均酉相似于一個實對角矩陣；若限制在實數域內，則所有實對稱矩陣正交相似于某個實對角矩陣；

（ii）每個酉矩陣都酉相似于一個復對角矩陣。

我們提請讀者注意，雖然實對稱矩陣可以正交相似于實對角矩陣，因而完全可以一勞永逸地在實數范圍內討論此類矩陣的特征值問題，然而，一般的正交矩陣卻沒有這個福氣。比如，考慮平面上圍繞原點逆時針轉動角度的旋轉矩陣

那么，何時一個正交矩陣可以正交相似于一個實對角矩陣？答案是：正交矩陣正交相似于一個實對角矩陣當且僅當它是對稱的。如果正交矩陣是對稱的，則根據命題 1，它的特征值均為實數，定理 1（ii）保證了它酉相似于一個實對角矩陣，但此時酉矩陣實際上可取為實矩陣，這是因為所有特征向量滿足的齊次線性方程組的系數都是實數。故該對稱正交矩陣正交相似于一個實對角矩陣。反過來，設正交矩陣正交相似于一個實對角矩陣，這意味

正規矩陣的譜分解定理

在定理 1 的敘述中，與給定正規矩陣酉相似的對角矩陣，它的對角線元素可以是所有依重數而重復的特征值的任意排列。現在，我們約定一個新的排列，它看上去最美觀、最整齊，就是將個數等于重數的相同特征值放在一起。在這樣的規則下，令階正規矩陣的所

然而，如果我們仔細反芻關于正規矩陣的上述“譜分解公式”（3），就會發現，性質“可酉對角化”并非是這個分解式為真的必要條件。只要矩陣是可對角化的，這種分解就能冒出，只不過除非能借助酉矩陣完成將其“對角化”的使命，分解公式（3）中的投影算子只能是“斜角投影”而非“直角投影”，因而就與“最佳逼近”失之交臂了。作為這篇文章的結尾，我們列出更一般的譜分解定理，相信讀懂此文后愿意動手的讀者能寫下證明的大意：

致謝：感謝周舒義編輯發現原文數學證明中的幾處瑕疵。

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