《人類科學技術史-159》中國中世紀時期數學

中國中世紀時期數學

中世紀時期的中國數學基本上可以分成兩個階段：隋唐時期(581-907)和宋元時期(960-1368）。隋唐時期，中國建立了數學教育制度，同時在中外數學交流方面也達到了一個高峰。宋元時期，數學水平大為提高，出現了被稱為宋元數學大家的秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰，以及其他著名學者劉益、賈憲、沈括等人。這一時期的成就，如珠算、天元術、四元術、大衍求一術等，代表了中國古典數學的最高成就。

中國的數學教育有悠久的歷史，據史籍記載，周代就開始有了數學教育。但是，直到隋唐時代才建立了數學教育制度。

隋代存在的時間雖然不長(581-618)，但卻建立了最高學府——國子寺，并在國子寺里設立了明算學。國子寺相當于現今的國立大學，明算學相當于現今的數學系。國子寺在中國開創了高等數學教育機構，并設置算學博士2人，算助教2人，從事數學教育工作。國子寺招收學生一般在80人左右。

到了唐代，在隋代數學教育的基礎上，進一步發展了數學教育。唐初在最高學府——國子監里增設六個專科，即明經、進士、秀才、明法、明字及明算六科。出于教學的需要，李淳風等人奉勅注釋并校訂了十部數學書，作為明算科的教科書。根據史料記載，這十本書是《九章》、《海島算經》、《孫子算經》、《五曹算經》、《張邱建算經》、《周髀》、《五經算術》、《綴術》、《輯古算經》和《夏侯陽算經》。這十部數學書稱為"十部算經"，是明算科學生的主要教科書。學習期間，有的學生還兼學《數術記遺》和《三等數》。明算科的學制年限為7年，學習期滿后要進行考試，要求"明數造術，詳明術理，然后為通"。考試合格的人員將交給吏部錄用，給予九品以下的官級。

隋唐設立了算學主要是因為賦稅量和名目的增加，對算學的社會需要越來越大。但是統治者解決這一需要的方法不是提高算學的社會地位，用物質利益誘導知識層投身于算學，而是使算學職業化、技藝化。算學的設立，就是把計算職業化的一種措施。把算學推入"吏"這個社會階層，從而導致士大夫與算學的進一步分離。例如漢代大儒巨卿劉向、鄭玄、張衡等人都通曉數學；南北朝的一些算學名家如何承天、祖沖之等也大多兼通儒術。然而自隋唐以后，算學名家卻大多非僧即道，或是太史局專職官員，如僧一行、付仁均、李淳風等人，很少是名儒巨宦了。

算學的設立，最大功績在于滿足了社會對算學日益增加的需求，為社會的許多部門培養了專業書計人員，從而對于數學——尤其實用數學的普及起了積極作用。不過，這些專職人員大多是所謂"俗吏"，社會地位不高，從事的工作也是一些瑣屑偎雜的簡單計算，無需高深的數學理論，更缺乏深入鉆研的精神。因此，南北朝時圓周率的計算已經很進步，但是直到明代，"周三徑一、方五斜七"的歌訣仍被一些算學著作津津樂道地重復著。由此可見，官設算學校對算學的發展所起作用是很有限的。

這一時期，中國與周邊國家的學術交流十分繁榮。中國數學原著通過佛教僧侶傳入朝鮮，朝鮮還仿照隋唐數學教育制度，建立了國學(后改為大學監）。日本采取的數學教育制度，也是仿照唐制。而且唐代隨使船來中國留學的日本學生及僧侶有十余批，共約2000人。乘商船求學的有二三十批，人數更多。其中有不少人就是專門來學習歷法和數學的。

此外，印度的一些數學知識也于這一時期傳入中國，如印度數碼、正弦數值表等。同時，有人發現印度古代數學與中國古代數學有很多相似之處，甚至有個別部分完全一樣。就時間上來說，其相似之處一般晚于中國的記載。因此，有人懷疑印度古代數學可能也受到過中國古代數學的某些影響。

前蘇聯著名數學家哥爾門果洛夫指出："中國數學和希臘、羅馬、印度、中亞和中世紀歐洲的關系還很少研究，但這種關系是存在的。不少國家的數學手稿上，算題和數據恰恰與中國的原著相同。"由此可見，中國數學對世界數學作出過卓越的貢獻。

由于商業的發展，促進了宋元時期整個科學技術的發展，數學也達到了較高的水平，特別在代數方面成就尤為突出。秦九韶、李冶、楊輝、朱世杰被稱為宋元數學四大家，他們都遺留下大量的數學著作，成就卓著。

秦九韶(約1202-1261)，字道古，魯郡人。他年輕時隨父到杭州，得以有機會向太史們學習天文歷法。他聰敏好學，喜歡在解決實際問題中深入研究學問。他于1247年寫成數學巨著《數書九章》。

《數書九章》今傳本分9類，各2類，合18卷，9類為大衍、天時、田域、測望、賦役、錢谷、營建、軍旅、市易，以習題集的形式寫成，共81題。每題有答，有術，有草，大都配圖說明，很是難得。此書在學術方面的成就主要表現在高次方程的數值解法。書中出現的高次方程有"連枝"乘方(最高次項系數不等于1的方程）、"玲瓏"乘方(奇次冪為零的方程）等。各項系數不限正負(惟常數項常為負值）有所謂的"正負開方術"。書中對大衍求一術及其應用做了詳細敘述，這是中國古代在一次剩余問題解法方面極為輝煌的成就。

李冶(1192-1279)，原名李治，字仁卿，號敬齋，真定欒城人。少時在元氏求學，中進士后曾任鈞州(今河南禹縣）知事。1248年寫成《測圓鏡海》十二卷。李冶1251年回到元氏，隱居于封龍山講學。1259年又著《益古演段》。1265年他應忽必烈之召為翰林學士，修遼金二史。一年后告老還鄉，仍隱居封龍山。李冶學習過《九章》，"洞淵九客之說"；學習過《益古集》，"遍觀諸家如積圖式"。這些無疑為他的數學著作奠定了知識基礎。

李冶不僅是數學家，還是一位精于文史的學者。著有"《敬齋古今黈》四十卷，《泛說》四十卷，《文集》四十卷，《壁書叢削》十二卷。"李冶的《益古演段》是一部關于天元術的入門書。天元術是建立代數方程的一般方法，相當于現在的"設某為X"，并由此建立方程。由于所設的未知數稱為天元，所以這種方法就被稱作"天元術"。天元術是公元11-13世紀中國數學家的一項杰出成就。

楊輝，字謙光，錢塘(今杭州）人。關于楊輝生卒年月、生平事跡的史料記載很少，但是他的數學著述很豐富，雖經散佚，流傳至今的尚有多種：

《詳解九章算法》12卷后附《篡類》(公元1261年）

《日用算法》2卷(公元1262年）

《乘余通變本末》3卷(公元1274年）

《田畝比類乘除捷法》2卷(公元1275年）

《續古摘奇算法》2卷(公元1275年）后三種為楊輝后期的著作，一般稱之為《楊輝算法》。

楊輝編寫的算書廣泛征引古代數學典籍。除漢唐以來的"算經十書"以外，還引用了宋代的許多算書，許多基本的算法賴以流傳下來。此外，楊輝學術上的成就主要有：《九章算法纂類》中記述的增乘開方法；《詳解九章算法》記載了西方稱之為"巴斯客三角"的"開方作法本源圖"。楊輝在中國數學史上不僅是一位著述甚豐的數學家，而且是一位卓越的數學教育家。他特別重視數學的普及教育，他的許多著作都是為普及數學教育而編寫的教科書。在《算法通變本末》中，楊輝為初學者制訂的"習算綱目"，是中國數學教育史上的一件重要文獻。楊輝主張在數學教育中貫徹"須責實有"的思想，就是緊密聯系實際，發展數學研究與教育，這也是中國古代數學優良傳統之一。在數學方法上，楊輝主張循序漸進，精講多練。主張熟讀精思，融會貫通，在廣博的基礎上深入，要著重于消化。楊輝還特別重視對計算能力的培養。他十分強調習題的演算，每個學習單元都規定完成一定數量的練習，認為這樣才可以"庶久而無失念"。楊輝作為一位杰出的數學教育家，在中國古代數學教育史上占有重要地位。他的先進的教育思想和教學方法，是留給后世的一份珍貴遺產。

朱世杰，字漢卿，號松庭，寓居燕山(今北京附近），是元代一位成就卓著的數學家。他曾以數學名家之身份周游各地二十余年，為中國數學留下兩部優秀的數學著作——《算學啟蒙》(公元1299年）和《四元玉鑒》(公元1303年）。他寫書的目的在于"發明《九章》之妙以淑后學"。朱世杰在"垛積術"以及與垛積相關的內插法方面頗有造詣。他的主要成就是"四元術"的創立。把天元術加以推廣，用以表示四元以內的方程或方程組，這樣就出現了四元術。四元術分別以天、地、人、物表示4個未知數，叫做天元、地元、物元、人元。四元術的精華在于相消，即由該方程組經過變形得到一個一元的高次方程。朱世杰的消去法是中國數學史上一項杰出的成就。在西方，由方程f(x，y)＝0，g(x，y)＝0消去一個未知量的方法是法國數學家別朱于1764年給出初步方案，直到1779年出版的《代數方程的一般理論》才正式發表。這已在朱世杰之后400年。因此，朱世杰的工作在世界數學史上也是一個重要成果。

宋元四大家為我國古代數學史上的巔峰人物，在全世界也是屈指可數的。但宋元時期大數學家絕非僅此四人。此外如賈憲、劉益、沈括等人都作出了重要貢獻，"四大家"的成就是直接以他們的成就為基礎的。所以，四大家的成就代表的是當時中華民族所達到的科學文化水平。

珠算的發明和使用，也是這一時期最偉大的數學成就之一。宋元時期，由于商業的發達，四則運算成了商品市場中頻繁使用的科學知識。傳統的籌算法不但使用不方便，計算速度也遠遠不能滿足需要。因此，改革運算工具就更顯得迫切了。

珠算盤是人們在長期的改革實踐中，由算籌的小型化和擺弄位置的固定化演變而來，經過不斷地改進才逐漸臻于完善。它是廣大勞動者的智慧結晶。珠算盤最遲在元末便已普遍使用了。

珠算盤不僅外形小巧靈便，而且直接與算法歌訣相配合，真正做到得心應手，形成了簡單快速的珠算術。雖然現在已進入了電子計算機的時代，但是在以加減運算為主的財會工作中，因為珠算速度可以和小型電子計算器媲美，所以算盤仍保持著重要的地位。

宋元時期的數學教育和對外交流仍很發達。宋元的官立算學仍與隋唐相同。頗具特色的是私立算學不但數量比以前大增，講授的內容較廣泛，效率也比官設算學高得多。

唐宋以來，中國和阿拉伯保持著密切聯系，阿拉伯商人在廣州、泉州、揚州經商，哈里發與中國皇帝之間也時有使臣往來。因此，阿拉伯的歷法、幻方、"格子算"、歐幾里得的《原本》等數學知識傳入中國，中國的十進位制、分數記法、"百雞問題"、賈憲三角形及增乘開方法等內容也出現在阿拉伯的一些著作中。

有人把宋元時期數學的發達的原因歸結為三個方面。首先，工商業和城市的發展使社會對數學的需要增加。其次，由于宋代地主階級人數擴大，許多人終生不得仕進，所以作為六藝之一的數學有較大的吸引力。宋元四大家的著作都是賦閑時的研究成果。最后，由于數學不需要投入大量資金、人力和時間，而且成敗無傷、不擔風險、不觸忌諱，其研究規模特別適合于小農經濟。這是中國數學能持續發展的主要原因。

宋元數學雖然達到了頂峰，但也存在著嚴重的危機。一方面，對數學社會需要的增加，并沒有導致占統治地位的社會意識的變化。數學仍被認為是"九九賤技"。數學家們在思想上受著壓抑。雖然他們在社會下層受到尊重，但是當他們面對上流社會時，總難免自卑自賤。數學四大家在為自己著作寫的序言中都流露了這種感情。另一方面，把數學納入陰陽五行論的軌道是宋元時期數學的一大特點。由于受宋元時期哲學上的客觀唯心論的影響，數學被導向神秘化。因此，從元末以后，中國數學除珠算以外，發展緩慢，明末以后，中國數學已經落后于世界先進水平。