俄羅斯學者打造矩陣運算"節能神器":用58次加法完成3×3矩陣相乘

這項由俄羅斯科學院系統編程研究所TAI研究中心的安德魯·I·佩爾米諾夫博士完成的研究發表于2025年12月29日，論文編號為arXiv:2512.21980v1，研究成果刊登在計算機科學數據結構領域期刊上。

在我們日常使用的電腦、手機乃至各種智能設備中，都藏著一個看似簡單卻極其重要的數學運算——矩陣相乘。你可能不知道，當你看視頻、玩游戲或使用任何圖形界面時，設備內部都在瘋狂地進行著矩陣運算。而每一次矩陣相乘，都需要消耗大量的計算資源。這就好比一個廚師每做一道菜都要重復許多基礎動作——切菜、調味、翻炒。如果能讓這些基礎動作更高效，整個烹飪過程就能更快更省力。

俄羅斯科學家佩爾米諾夫博士最近就在這個領域取得了突破性進展。他開發出了一種新的算法，能夠用史無前例的少量運算完成3×3矩陣的相乘運算。這個成果看似只是數學上的小改進，但實際上就像是發現了一條更短的回家路線，能讓所有經過的人都受益。

要理解這項研究的價值，我們需要先了解什么是矩陣運算，以及為什么它如此重要。矩陣可以想象成一個裝滿數字的方格表，就像一個3×3的九宮格，每個格子里都有一個數字。當兩個這樣的九宮格需要"相乘"時，并不是簡單地把對應位置的數字相乘那么簡單，而是需要進行一系列復雜的計算。

在傳統的計算方法中，完成一次3×3矩陣相乘需要進行27次乘法運算和18次加法運算。這就像是按照最原始的食譜做菜，每個步驟都嚴格按部就班。但聰明的數學家們發現，通過巧妙的安排和組合，可以用更少的運算達到同樣的結果。這就像是一個經驗豐富的廚師，能夠同時處理多個步驟，讓整個過程更高效。

1969年，德國數學家施特拉森首次證明了可以用少于27次乘法運算來完成矩陣相乘，這一發現震驚了整個數學界。從那時起，無數研究者投入到尋找更高效算法的競賽中。他們的目標不僅是減少乘法運算的次數，還要減少加法運算的數量。因為在實際的計算機運算中，每一次操作都會消耗時間和能源。

佩爾米諾夫博士的研究專注于一種特殊的計算方案，這種方案只需要23次乘法運算（這是目前已知的理論最小值），而他的突破在于將所需的加法運算次數從之前最好的60次減少到了58次。別小看這2次運算的減少，在需要進行大量矩陣運算的應用場景中，這種改進能夠帶來可觀的效率提升。

一、算法設計的核心思想

佩爾米諾夫博士采用的方法可以比作一個精明的建筑承包商重新設計施工流程。傳統的矩陣運算就像是按照標準圖紙建房子，每個步驟都清晰明確，但未必是最省材料的方案。而新算法的設計思路是重新審視整個"施工過程"，找出可以共享的"材料"和"工序"。

在數學上，這種方法叫做"公共子表達式消除"。簡單來說，就是在復雜的計算過程中找出那些重復出現的計算片段，把它們提取出來單獨計算一次，然后在需要的地方重復使用結果。這就像是在烹飪時提前準備好常用的調料包，需要時直接使用，而不是每次都重新調配。

研究團隊使用的搜索算法名為"三進制翻轉圖搜索"，聽起來很復雜，但本質上是一種智能的試錯方法。這個過程就像是一個超級棋手在下棋，不斷嘗試不同的走法，通過大量的組合和測試，尋找最優解。算法會在所有可能的計算方案中穿梭，每當找到一種更好的組合方式，就記錄下來并繼續優化。

更巧妙的是，這種算法限制所有的系數都只能是-1、0、1這三個值。這個限制看似增加了難度，實際上卻帶來了巨大的實用價值。因為對于計算機來說，乘以-1或1比乘以任意數字要簡單得多，這就相當于只允許使用"加"、"減"和"不變"三種最基本的操作。這樣得出的算法不僅效率高，而且在各種不同的計算環境中都能保持穩定的性能。

二、技術實現的精妙之處

在實際的算法設計過程中，研究團隊面臨著一個巨大的搜索空間。可以想象這就像是在一個有無數條路徑的迷宮中尋找最短路線。傳統的窮舉法完全不可行，因為可能的組合數量是天文數字。

佩爾米諾夫博士設計的搜索算法分為三個階段，就像是一個三步走的探索策略。第一階段是"翻轉到目標等級"，算法會使用隨機翻轉來改變計算方案，直到達到需要的23次乘法運算。這個過程中，如果算法遇到死胡同，無法繼續優化，它會使用一個叫做"加法算子"的技巧，暫時增加運算次數來擺脫困境，然后繼續尋找更好的方案。

第二階段是"貪心交集減少"，這是整個算法的精華部分。在這個階段，算法會仔細檢查所有的計算表達式，尋找那些可以合并的部分。就像一個細心的管家整理家務，把所有相似的任務歸類處理，避免重復勞動。算法會評估每個可能的合并方案，選擇能夠最大程度減少總運算次數的組合。

第三階段是"隨機變化"，這看似是在增加隨機性，實際上是為了避免算法陷入局部最優解。就像爬山時偶爾需要向下走一段路才能發現更高的山峰一樣，算法會故意引入一些看似不太好的變化，為后續的優化創造新的可能性。

整個搜索過程在一臺普通筆記本電腦上運行了大約30分鐘就找到了這個58次加法的方案。這個時間成本相比于算法帶來的長期收益來說是微不足道的，證明了這種方法的實用性。

三、算法的具體表現

最終得出的58次加法算法是一個精心編排的計算序列。整個過程使用了20個中間變量，這些變量就像是烹飪中的半成品，提前準備好后可以在最后的組合階段快速使用。

具體來說，算法首先為輸入的第一個矩陣準備4個中間變量，為第二個矩陣準備8個中間變量。這些中間變量都是通過簡單的加減法運算得到的。然后，算法進行23次乘法運算，每次運算都是將精心選擇的中間變量相乘。最后，通過8個額外的中間變量來組合這些乘法結果，得到最終的矩陣乘法結果。

令人印象深刻的是，在58次加法運算中，有34次是加法，24次是減法。這種平衡分配不是偶然的，而是算法優化的結果。每個中間變量的定義都經過精心設計，確保沒有任何多余的計算步驟。

更重要的是，這個算法具有很強的可移植性。由于所有系數都限制在{-1, 0, 1}這個范圍內，算法可以在任何數學系統中使用，無論是整數運算、實數運算還是更復雜的代數系統。這就像是設計了一把萬能鑰匙，可以打開各種不同的鎖。

四、實際應用價值

雖然從60次減少到58次看起來改進幅度不大，但在實際應用中，這種改進的價值不可小覷。現代計算機圖形學、人工智能、科學計算等領域都需要進行大量的矩陣運算。在這些應用場景中，即使是微小的效率提升也會帶來顯著的整體性能改善。

以計算機游戲為例，游戲引擎需要實時計算大量的三維變換，每秒鐘可能要進行數百萬次矩陣運算。如果每次運算都能節省2次加法操作，累積起來的效果就相當可觀。這不僅能讓游戲運行更流暢，還能減少設備的功耗，延長電池續航時間。

在人工智能訓練中，矩陣運算更是無處不在。深度學習模型的訓練過程本質上就是大規模的矩陣計算。每一點效率的提升都能縮短訓練時間，降低計算成本。對于需要在移動設備上運行的AI應用來說，這種算法優化甚至可能決定應用是否能夠實際部署。

科學計算領域同樣能從這種優化中獲益。無論是天氣預報、基因分析還是物理仿真，都需要處理大量的數值計算。在這些應用中，計算效率的提升直接轉化為研究效率的提升，讓科學家能夠處理更大規模的問題或獲得更精確的結果。

五、技術驗證與可靠性

為了確保算法的正確性，研究團隊進行了詳細的驗證工作。他們使用了兩種驗證方法：符號驗證和數值驗證。

符號驗證是通過數學推導來證明算法的正確性。研究團隊將所有中間變量替換回原始的矩陣元素，重新構建出完整的系數張量，并驗證這些張量滿足被稱為"布倫特方程"的數學條件。這種驗證方法從理論上保證了算法在任何情況下都能給出正確結果。

數值驗證則是通過大量的實際計算測試來檢驗算法。研究團隊編寫了Python程序，對10000對隨機生成的3×3矩陣進行運算，將新算法的結果與標準矩陣乘法的結果進行比較。所有測試都顯示結果完全一致，證明了算法的可靠性。

這種雙重驗證策略確保了算法既有理論保證又有實踐支撐。對于需要高精度計算的應用來說，這種可靠性至關重要。畢竟，一個運算更快但結果不準確的算法是沒有任何價值的。

六、研究方法的創新意義

佩爾米諾夫博士的研究不僅在結果上取得了突破，在方法上也有重要創新。傳統的算法搜索通常需要大量的計算資源和很長的時間，而這項研究證明了合理設計的啟發式搜索算法可以在普通計算機上快速找到高質量的解決方案。

這種方法的成功為其他類似問題的研究提供了新的思路。在數學和計算機科學中，有很多問題都涉及在巨大的搜索空間中尋找最優解。傳統的暴力搜索方法往往不可行，而智能搜索算法的設計就成了關鍵。

更重要的是，這項研究展示了理論研究與實際應用結合的重要性。算法不僅要在數學上優雅，還要在工程實踐中可行。通過限制系數范圍和優化搜索策略，研究者成功地在理論突破和實用性之間找到了平衡點。

研究團隊還開源了驗證代碼，這種開放的研究態度有助于其他研究者驗證結果、改進方法或將其應用到新的問題中。這體現了現代科學研究協作共享的精神。

說到底，佩爾米諾夫博士的這項研究雖然看似只是在數學公式上做了一點改進，但實際上觸及了現代計算的核心問題——如何讓計算更高效。在一個越來越依賴計算的時代，每一點效率的提升都具有廣泛的影響。這項研究從一個小的技術突破出發，為整個計算領域提供了新的可能性。

對于普通人來說，這意味著未來的手機可能會更省電，游戲可能會更流暢，各種智能應用可能會響應更快。雖然我們可能永遠不會直接接觸到這些算法，但我們會在日常使用各種電子設備時享受到這些技術進步帶來的便利。

這就是基礎研究的魅力所在——看似抽象的數學突破，最終會以我們意想不到的方式改善我們的生活。佩爾米諾夫博士的58次加法算法可能只是這個改善過程中的一小步，但正是無數這樣的小步積累起來，推動著整個技術世界向前發展。

對于那些對技術細節感興趣的讀者，可以通過arXiv預印本服務器查詢論文編號arXiv:2512.21980v1來獲取完整的研究論文，深入了解算法的數學細節和實現方法。

Q&A

Q1：為什么3×3矩陣乘法這么重要？

A：3×3矩陣乘法是計算機圖形學、人工智能和科學計算的基礎運算。在游戲、AI訓練、圖像處理等應用中，設備每秒要進行數百萬次這樣的運算，任何效率提升都會帶來顯著的性能改善和功耗降低。

Q2：從60次減少到58次加法真的有那么大意義嗎？

A：雖然單次減少2次運算看起來很小，但在需要大量重復計算的場景中，這種改進會累積產生巨大影響。就像每次開車節省1分鐘，一年下來就能節省很多時間一樣。

Q3：普通人能使用這個58次加法算法嗎？

A：這個算法主要用于底層數學庫的優化，普通用戶不會直接使用，但會在使用各種軟件和應用時間接受益，比如游戲更流暢、手機更省電、AI應用響應更快等。