薛定諤的“量子化作為本征值問題”

|作 者：曹則賢

(中國科學(xué)院物理研究所)

本文選自《物理》2025年第12期

杳杳波濤閱古今，四邊無際莫知深。

——［宋］蘇頔《望太湖》

摘要薛定諤1926年的“量子化作為本征值問題”一文締造了量子力學(xué)的波力學(xué)形式。此為該文的部分摘錄。

關(guān)鍵詞波方程，波函數(shù)/場標(biāo)量函數(shù)，q-空間，權(quán)重函數(shù)

薛定諤1926年構(gòu)造波力學(xué)的文章Quantisierung als Eigenwertproblem (量子化作為本征值問題)，分四部分發(fā)表在

Annalen der Physik

雜志上，分別為：(I) 79,361—376(1926)； (II) 79,489—527(1926)； (III) 80,437—490(1926)； (IV) 81,109—139(1926)。這篇論文總長達(dá)140頁，此處只就波力學(xué)創(chuàng)造的關(guān)鍵處作部分摘錄。公式標(biāo)號(hào)按照原文，未予摘錄部分的公式標(biāo)號(hào)空缺。

在量子力學(xué)的世界中，滿天飄著一個(gè)詞：波。水有皮，水表面的分子密度比體內(nèi)的要大，故水有超常的表面能。水的表面能足夠大故能支撐起水的波動(dòng)，又不是很大故很小的昆蟲都能在水面引起波動(dòng)，這就讓波的觀念充斥了我們的文化。然而，不同語境中的波指代的是完全不同的事物。如薛定諤一再強(qiáng)調(diào)的，他的波函數(shù)

涉及的波是構(gòu)型空間(

q

-空間)里的波。薛定諤波函數(shù)表示的量子波不是德布羅意的相波(物質(zhì)波)，更不是三維物理空間里電子、分子啥的干涉、衍射花樣所演示的波。以為用電子的晶體衍射所得到的所謂波干涉花樣證實(shí)了薛定諤波方程描述的是粒子的德布羅意物質(zhì)波，這里面的波概念折了三折。

再強(qiáng)調(diào)一遍，此篇是對(duì)薛定諤的140頁長文的摘錄。讀者朋友未來如果引用此處的內(nèi)容，請(qǐng)注意這是部分摘錄，不是逐句逐字的翻譯。

第一部分

首先處理非相對(duì)論、非擾動(dòng)的氫原子問題，通常的量子化步驟將用別的要求替代，其中不再會(huì)提及“整數(shù)”。整數(shù)性會(huì)以振動(dòng)弦波節(jié)數(shù)的整數(shù)性(Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite)那樣的自然方式出現(xiàn)。新的表述深刻地觸及量子規(guī)則的真正實(shí)質(zhì)(das wahre Wesen der Quantenvorschriften)。

量子規(guī)則的一般形式聯(lián)系著哈密頓偏微分方程：

擬找尋該方程的函數(shù)和形式的解，而每一個(gè)單個(gè)函數(shù)都是獨(dú)立變量

q

的函數(shù)。

引入形式為

的函數(shù)

S

，其中常數(shù)

K

有作用(Wirkung, action)的量綱，而

是變量

q

的函數(shù)。{此時(shí)你一定想起了玻爾茲曼方程

S

k

lg

W

}由此得到方程：

我們不試圖解方程(1')，而是提出如下的條件。不考慮相對(duì)論，對(duì)單電子問題，方程(1')有如下形態(tài)，即為

的二次型且其一階導(dǎo)數(shù)為0。我們找尋在整個(gè)構(gòu)型空間上為實(shí)的{原文如此}、單值的且二階連續(xù)可微的函數(shù)

，其將前述的二次型在整個(gè)構(gòu)型空間上的積分弄成一個(gè)極值。量子條件用這個(gè)變分問題替代(Durch dieses Variationsproblem ersetzen wir die Quantenbedingungen)。

函數(shù)

H

先采用開普勒問題的哈密頓函數(shù)，會(huì)發(fā)現(xiàn)所列條件只對(duì)一簇分立的負(fù)的

E

值成立，這表明，這里的變分問題有分立的和連續(xù)的本征值譜。分立譜對(duì)應(yīng)巴爾末項(xiàng)，而連續(xù)能量對(duì)應(yīng)雙曲軌道。數(shù)值吻合則要求

K

值為

h

/2π。

變分問題不依賴坐標(biāo)系的選擇，故為此可選擇直角坐標(biāo)系。方程(1')變?yōu)?/p>

相應(yīng)的變分問題為

可推導(dǎo)出：

故首先必有：

再者，關(guān)于在無窮大閉合表面上的積分應(yīng)有：

(因?yàn)檫@個(gè)要求，變分問題可以用對(duì)

δψ

在無窮遠(yuǎn)處的行為的要求加以補(bǔ)充，由此前面提到的連續(xù)本征值譜存在。詳情見下)。

方程(5)的解可用極坐標(biāo)系來示范，為此將

設(shè)定為關(guān)于

r

的函數(shù)的積。關(guān)于極角的依賴關(guān)系得到球面函數(shù)(Kugelfl?chenfunktion)；關(guān)于

r

的依賴關(guān)系，函數(shù)表示為

，得到如下微分方程：

欲使關(guān)于極角的依賴性是單值的，為此限制

n

取整數(shù)，眾所周知這是必須的。我們要求對(duì)于非負(fù)的、實(shí)的

r

-值，方程(7)的解是有限的。方程(7)在復(fù)

r

-平面內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)，

r

=0和

r

=∞，其中第二個(gè)是實(shí)質(zhì)性奇點(diǎn)(wesentlich singul?re Stelle)，而第一個(gè)不是{注意，薛定諤在此處加了一個(gè)腳注，就如何處理方程(7)致謝了外爾}。這兩個(gè)奇點(diǎn)構(gòu)成了實(shí)積分的邊界點(diǎn)(Randpunkte)。{參見復(fù)變函數(shù)積分的相關(guān)知識(shí)。}方程一般不存在在兩個(gè)邊界點(diǎn)上都是有限的積分，而是只是針對(duì)方程中常數(shù)的某些特殊值才存在這樣的積分。

上面闡述的事實(shí)是整個(gè)研究的起跳點(diǎn)(Der eben hervorgehobene Sachverhalt ist der springende Punkt in der ganzen Untersuchung)。

先考察奇點(diǎn)

r

=0。確定積分在這個(gè)位置上行為的決定性基本方程為

其根為

在這個(gè)奇點(diǎn)上的兩個(gè)正則積分屬于指數(shù)

n

和-(

n

+1)。所找尋的解是單值的超越函數(shù)，其在

r

=0處屬于指數(shù)

n

作替代：

其中

取兩個(gè)根中的一個(gè)。方程(7)變?yōu)?br/>

{接下來是一通關(guān)于方程解的討論，純數(shù)學(xué)的內(nèi)容。此處略。感興趣的讀者請(qǐng)參考原文或者英譯本。更詳細(xì)的討論見索末菲的《原子構(gòu)造與譜線之波力學(xué)增補(bǔ)卷》。}

方程的解要求：

記為

與此同時(shí)在無窮遠(yuǎn)處，本征函數(shù)按照趨于0，球面上的按照趨于0。如果要求包含連續(xù)本征值譜，還有如下條件：

δψ

在無窮遠(yuǎn)處為0，或 者至少是個(gè)與方向無關(guān)的常數(shù)。

條件(15)意味著：

這就是玻爾能級(jí)，當(dāng)取：

時(shí)對(duì)應(yīng)巴爾末項(xiàng)。這樣則有：

這里的

l

是主量子數(shù)。

n

+1可類比于方位角量子數(shù)，其在確定球面函數(shù)時(shí)進(jìn)一步的分解可同方位角量子分解為“赤道量子”和“極角量子”相類比。這個(gè)數(shù)決定球面上的節(jié)線系統(tǒng)(das System der Knotenlinien)。徑向量子數(shù)

l

n

-1決定“節(jié)球(Knotenkugeln)”的數(shù)目。正的能量

E

對(duì)應(yīng)雙曲軌道的連續(xù)體，某種意義上可賦予其徑向量子數(shù)∞，相對(duì)應(yīng)的解函數(shù)一直振蕩直到無窮遠(yuǎn)處。

記：

a

l

是第

l

-個(gè)橢圓軌道的半軸(能量表示為

E

l

= )。

自然地想把函數(shù)

看作原子里的振動(dòng)過程。我原來也打算以這種更直觀的方式建立量子步驟的新表示，不過還是更偏愛上述中性的數(shù)學(xué)形式，因?yàn)樗宄亟沂?問題的)實(shí)質(zhì)。我看到的實(shí)質(zhì)是，在量子規(guī)則中出現(xiàn)的不是神秘的“整數(shù)性的要求(Ganzzahligkeitsforderung)”，而是可以更往前回溯一步：其理由在于某個(gè)空間函數(shù)的有限性與單值性 (sie hat ihren Grund in der Endlichkeit und Eindeutigkeit einer gewissen Raumfunktion)。

在以這種表述成功地計(jì)算某些復(fù)雜情形之前，我不打算進(jìn)一步闡述關(guān)于這種振蕩過程的表示可能性。不排除其結(jié)果是常見量子論的成功(的再現(xiàn))。比方說，如果按照所給步驟計(jì)算相對(duì)論開普勒問題，說不定能得到半整數(shù)的部分量子(halbzahlige Teilquanten)。

關(guān)于振動(dòng)表示，首先我必須提及，我感謝德布羅意充滿智慧的論文以及那個(gè)關(guān)于相波在空間中分布的想法給了我上述思考以啟發(fā)。德布羅意指出，若沿軌道測量，對(duì)于電子的周期或者準(zhǔn)周期軌道總有一個(gè)整數(shù){指軌道長度是相波波長的整數(shù)倍}。不同之處在于，德布羅意想的是相波，而當(dāng)把我們的公式置于振動(dòng)表示之下，我們指向的是駐留的本征振動(dòng)(stehende Eigenschwingungen)。不久前我曾表明，愛因斯坦的氣體理論可基于此等駐留的本征振動(dòng)的處理，對(duì)其可運(yùn)用德布羅意相波的色散關(guān)系。關(guān)于原子的上述處理可看作是那里關(guān)于氣體模型的思考的推廣。{薛定諤這里引用了一篇他即將發(fā)表的文章，猜測應(yīng)是Erwin Schr?dinger, Zur Einsteinschen Gastheorie (論愛因斯坦的氣體理論),

Physikalische Zeitschrift

27(4-5),95—101(1926)。}

能量

E

必須與所涉及的過程的頻率有關(guān)。人們已經(jīng)習(xí)慣了在振動(dòng)問題中參數(shù)(一般稱為

)與頻率的平方成正比。首先這樣的預(yù)設(shè)在當(dāng)前的情形下對(duì)于負(fù)的E值會(huì)帶來虛頻率；其二，量子理論家有種感覺(zweitens sagt dem Quantentheoretiker sein Gefühl)，能量須與頻率本身而非其平方成正比。

矛盾可如此消解。對(duì)于變分方程(5)中的參數(shù)

E

，暫時(shí)不設(shè)自然的零能級(jí)，特別是未知的函數(shù)

除了

E

以外看似還和一個(gè)

r

的函數(shù)相乘，后者針對(duì)

E

的零點(diǎn)的變化會(huì)改變一個(gè)常數(shù)。振動(dòng)理論家們期待，不是

E

本身，而是

E

加上某個(gè)常數(shù)與頻率平方成正比。設(shè)若這個(gè)常數(shù)比所有出現(xiàn)的

E

值都大得多，則一來頻率是實(shí)的，二來

E

值因?yàn)橹粚?duì)應(yīng)相對(duì)較小的頻率差而事實(shí)上非常接近與頻率差成正比。只要能量的零位不確定，這是量子理論家的自然感覺所能期待的全部。{能量不能為負(fù)。負(fù)能量與為了其他方便所設(shè)立的能量零位有關(guān)，這個(gè)問題在很多情形中出現(xiàn)。參見：。}

如下的振動(dòng)過程的頻率表示：

其中

C

相較于

E

是個(gè)很大的常數(shù)，還有另外一個(gè)非常有價(jià)值的優(yōu)點(diǎn)：它帶來了對(duì)玻爾頻率條件的理解。發(fā)射頻率與

E

的差成正比，且根據(jù)(22)式正比于那個(gè)假設(shè)的振動(dòng)過程的本征頻率

的差。發(fā)射頻率看起來是高頻的本征振動(dòng)的“調(diào)差(Differenzt?ne)”。能量從一種正規(guī)振動(dòng)到另一種正規(guī)振動(dòng)時(shí)出現(xiàn)的不管是啥，算是光波吧，其頻率為那個(gè)頻率差，也就好理解了。光波同躍遷時(shí)在每個(gè)時(shí)空位置上必須出現(xiàn)的有節(jié)奏運(yùn)動(dòng)(Schwebungen，beats)相聯(lián)系，光的頻率由每秒鐘這個(gè)顫動(dòng)過程的最大強(qiáng)度重現(xiàn)的頻次所決定。

{接下來是一通關(guān)于原子的本征振動(dòng)，節(jié)奏運(yùn)動(dòng)，是否輻射等問題的討論。略。}

補(bǔ)充：在保守體系經(jīng)典力學(xué)情形{這是首次使用經(jīng)典力學(xué)一詞嗎？}，變分任務(wù)可如下表達(dá)而無需顯式地引用哈密頓偏微分方程。若

T

q

p

)是動(dòng)能，

V

是勢能，d

是構(gòu)型空間“理性測量(rationell gemessen)”的體積元，這意思是積 dq 1d

q

2 …dqn要除以

T

q

p

) 二次型的determinante{一般譯為矩陣值}的平方根。函數(shù)

應(yīng)使得哈密頓積分：

在歸一化輔助條件：

下取極值。這個(gè)變分問題的本征值是(23)式積分的穩(wěn)態(tài)值，根據(jù)我們的論點(diǎn)它給出能量的量子能級(jí)。

{這里的ψ2未來會(huì)修正為

，在狄拉克理論那里會(huì)被改造為更復(fù)雜的 。此外，薛定諤的這篇論文還有一個(gè)更嚴(yán)重的問題。在(23)式中，

T

q

p

)是二次型， 是動(dòng)量，故

是無量綱的。但是，(24)式中的

，特別是考慮到其詮釋的時(shí)候，是有量綱的。這個(gè)問題在狄拉克的經(jīng)典著作中也一直存在著。參見：。}

第二部分

§1 力學(xué)與光學(xué)的哈密頓類比

在繼續(xù)處理一些特殊系統(tǒng)的量子論的本征值問題之前，先討論一下力學(xué)問題的哈密頓偏微分方程與從屬的波方程(“zugeh?rigen” Wellengleichung)，對(duì)于開普勒問題就是第一部分里的方程(5)，之間的一般聯(lián)系。暫時(shí)我們只是簡短地把這個(gè)聯(lián)系依其外在解析結(jié)構(gòu)描述了，利用的是作用于其上的莫名其妙的變換(2)以及同樣是莫名其妙的從讓一個(gè)表達(dá)式為0到要求這個(gè)表達(dá)式的空間積分是極值的轉(zhuǎn)變。

哈密頓理論同波傳播過程之間的內(nèi)在聯(lián)系不是什么新鮮事物。那是哈密頓構(gòu)造從他的“非均勻介質(zhì)光學(xué)”生長出來的力學(xué)理論的出發(fā)點(diǎn){此處薛定諤建議參閱E. T. Whittaker,

Analytische Dynamik

(分析動(dòng)力學(xué)), Springer(1924)一書}。哈密頓變分原理可理解為在構(gòu)型空間(

q

-空間)中波傳播的費(fèi)馬原理{愛因斯坦當(dāng)初提議用分子束證明粒子的波動(dòng)性可能不清楚量子力學(xué)談?wù)摰牟ㄊ窍嗖ㄅc構(gòu)型空間里的波}，對(duì)于波傳播哈密頓原理表達(dá)的就是惠更斯原理。可惜的是，在當(dāng)代被重現(xiàn)的時(shí)候，哈密頓的這個(gè)有力的、意義深遠(yuǎn)的思想之漂亮、直觀的外衣被當(dāng)作多余的零碎給扒掉了(seines sch?nen anschaulichen Gewandes als eines überflüssigen Beiwerks beraubt)，讓位于關(guān)于解析聯(lián)系的索然無味的表示。{此處薛定諤建議參考Felix Klein的力學(xué)講義及論文。筆者當(dāng)前尚未能獲取原文。}

考察保守體系經(jīng)典力學(xué)的一般問題，哈密頓原理意味著：

其中

W

是作用函數(shù)，即拉格朗日函數(shù)

T

V

沿系統(tǒng)軌道——作為終點(diǎn)位置與時(shí)間的函數(shù)——的時(shí)間積分。

q

k

代表位置坐標(biāo)的表示者(Repr?sentant der Lagekoordinaten){等量子力學(xué)算符理論成型時(shí)，方見“表示”與“表示物”在量子力學(xué)里的意義}。引入 預(yù)設(shè)

方程過渡到：

其中

E

是任意的積分常數(shù)，為系統(tǒng)的能量。在式(1')中，一般會(huì)代入 。

采用赫茲(Heinrich Hertz，1857—1894)的做法，引入借助動(dòng)能的非歐測度。若
作為速度函數(shù)的動(dòng)能：

接下來所有在

q

-空間的幾何論斷都按照非歐幾何的意義來理解。不過，這帶來一個(gè)重要的改變，即矢量或者張量要區(qū)分協(xié)變的和逆變的。d

q

k是逆變矢量的原型。形式2中依賴于

q

k 的系數(shù)有協(xié)變的特征，構(gòu)成協(xié)變基本張量。2

T

是從屬于2的逆變形式，動(dòng)量構(gòu)成從屬于速度 的協(xié)變矢量。動(dòng)量是協(xié)變形態(tài)的速度矢量(der Impuls ist der Geschwindigkeitsvektor in kovarianter Gestalt)?！缬玫接幸饬x的結(jié)果，即不變量，則在逆變形式中只應(yīng)納入?yún)f(xié)變的矢量分量。

{接下來是大段論述面系統(tǒng)或曰面簇

W

const

的構(gòu)造及其直觀意義的內(nèi)容，略。}面簇

W

const

可以理解為一個(gè)往前傳播的波面系統(tǒng)，不過是

q

-空間的穩(wěn)態(tài)波運(yùn)動(dòng)，空間每一點(diǎn)上的相速度為

作用函數(shù)在波系統(tǒng)中扮演了相(phase)的角色。哈密頓原理就是惠更斯原理。費(fèi)馬原理可表述如下：

可直接將哈密頓原理表示成莫珀替形式(in der Maupertiusschen Form)。射線，即與波面正交的軌跡，是系統(tǒng)能量值為

E

的軌道，與如下方程組相吻合：

這意思是，從作用函數(shù)

W

可導(dǎo)出一個(gè)系統(tǒng)軌道的簇，恰如從速度勢導(dǎo)出流(矢量)。

力學(xué)系統(tǒng)的粒子不是以波的速度

u

往前挪動(dòng)，而是與1/

u

成正比。由(3)式可得表達(dá)式：

上述內(nèi)容不可以看作是力學(xué)與波光學(xué)(Wellenoptik)的類比，而是與幾何光學(xué)的類比。波學(xué)(Wellenlehre)的重要概念，如振幅、波長和頻率，還沒有力學(xué)的平行存在(mechanische Parallele)。對(duì)于波來說，

W

只有相的意義。

如果把全面平行(的要求)僅看作是個(gè)令人開心的直觀工具，則這個(gè)缺失一點(diǎn)兒也不鬧心。力學(xué)只是同幾何光學(xué)這個(gè)最原初的波光學(xué)相類比，而不是同全面發(fā)育的波光學(xué)之間的類比。應(yīng)該構(gòu)造波理論意義上的

q

-空間光學(xué)(Ausbau der

q

-Raumoptik in wellentheoretischem Sinn)。

設(shè)計(jì)一個(gè)波理論的嘗試立馬就帶來了驚人的內(nèi)容。我們現(xiàn)在知道，經(jīng)典力學(xué)在小軌道尺度和強(qiáng)烈軌道彎曲的情形下失效。這個(gè)失效或許與幾何光學(xué)的失效可相類比。我們的經(jīng)典力學(xué)或許是幾何光學(xué)的完全類比(Vielleicht ist unsere klassische Mechanik das volle Analogon der geometrischen Optik)，跟幾何光學(xué)一樣，在軌道曲率半徑和尺度相對(duì)于某個(gè)波長不夠大的時(shí)候就失效了。有必要找尋一種“波力學(xué)(undulatorische Mechanik)”，而舉手可得的途徑就是哈密頓圖像的波理論設(shè)計(jì)(die wellentheoretische Ausgestaltung des Hamiltonschen Bildes)。

§2 “幾何的”與“波的”力學(xué)

作為類比的有效構(gòu)造，首先假設(shè)上述波系統(tǒng)可理解為正弦波。這是最簡單、最明顯的，不過因?yàn)檫@個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)意義，其中包含的任意性要強(qiáng)調(diào)一下。波函數(shù)只能用一個(gè)sin(···)因子的形式依賴于時(shí)間，其變?cè)?/p>

W

的線性函數(shù)。

W

的系數(shù)必須是作用倒數(shù)的量綱(Dimension einer reziproken Wirkung)。我們假設(shè)這個(gè)系數(shù)是普適的，與能量以及力學(xué)系統(tǒng)的本性無關(guān)。我們選擇這個(gè)因子為2π/

h

，故時(shí)間因子為

由此有波的頻率：

這樣，

q

-空間波的頻率就毫不勉強(qiáng)地與系統(tǒng)能量成正比了。這樣的

E

有絕對(duì)的意義，不象在經(jīng)典力學(xué)里只是決定到一個(gè)可加的常數(shù)。根據(jù)式(6)和式(11)，波長與這個(gè)可加常數(shù)無關(guān)：

{注意這里的表達(dá)式根號(hào)里缺質(zhì)量

m

將(6)式中的E根據(jù)(11)式用

表達(dá)，有：

這個(gè)波(相)速度對(duì)能量的依賴關(guān)系，也即對(duì)頻率的依賴關(guān)系就是色散律。這個(gè)色散律有些兒意思。……根據(jù)式(9)，(11)和(6′)，系統(tǒng)的速度

v

這意思是說，系統(tǒng)點(diǎn)對(duì)象的速度(Geschwindigkeit des Systempunktes)是一個(gè)波群(Wellengruppe)的速度，占據(jù)一個(gè)小的頻率范圍。

這個(gè)事實(shí)可以用來建立起波傳播與點(diǎn)對(duì)象運(yùn)動(dòng)之間的更深層的關(guān)系(eine viel innigere Verbindung)。可以嘗試構(gòu)造一個(gè)波群，期待其運(yùn)動(dòng)遵循力學(xué)系統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)象所遵循的同樣的規(guī)律，即可看作一個(gè)點(diǎn)對(duì)象的替代物。{接下來是一大段關(guān)于波群，也即波包，進(jìn)而是關(guān)于光學(xué)里的光錐以及光束的討論，從光學(xué)情形到

q

-空間波的移植；力學(xué)系統(tǒng)里的點(diǎn)對(duì)象同波系統(tǒng)的相位契合的位置如何有同樣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)的問題，等等。略。}

我有把握作如下猜測：實(shí)際的力學(xué)事件可以以合適的方式用

q

-空間里的波過程而非這個(gè)空間里的點(diǎn)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)來理解或表達(dá)?！疫@樣來理解德布羅意的伴隨電子軌道的“相波”：“在原子中，電子軌道自身沒有什么特別的意義，軌道上的電子位置的意義就更少了”。其一，原子中電子運(yùn)動(dòng)的相有真正的意義(der Phase der Elektronenbewegungen im Atom die reale Bedeutung abzusprechen sei)；其二，人們不能說電子在某時(shí)刻處于用量子條件所規(guī)定的某個(gè)確定的量子軌道上；其三，真正的量子力學(xué)定律不在于針對(duì)單一軌道的那些規(guī)則，在其真正的定律中一個(gè)系統(tǒng)的整個(gè)軌道流形的各單元通過方程聯(lián)系起來，仿佛不同的軌道之間存在某種相互作用。

……人們將以何種方式將力學(xué)的波形態(tài)(undulatorische Ausgestaltung der Mechanik)用于那些需要用到它的地方？從

q

-空間的波函數(shù)出發(fā)去考察據(jù)其可能發(fā)生的過程。波方程并不必然是二階的，而是對(duì)簡單性的追求讓我們首先如此嘗試。可預(yù)設(shè)如下的波方程：

對(duì)以因子e2πiνt的形式依賴于時(shí)間的過程成立。根據(jù)式(6)，(6′)和(11)這意思是：

以及：

微分操作是針對(duì)(3)式里的線元。

§3 應(yīng)用舉例

{這節(jié)跨14頁。在這節(jié)中，薛定諤解了幾個(gè)特殊問題中的波方程，包括普朗克的諧振子/退化問題，固定空間軸的轉(zhuǎn)子，自由軸的剛性轉(zhuǎn)子，非剛性轉(zhuǎn)子(雙原子分子)。相關(guān)內(nèi)容在一些量子力學(xué)教科書或者習(xí)題集中都常見到。此處略。}

第三部分

{第三部分跨54頁。在這部分中，薛定諤介紹了擾動(dòng)論這個(gè)來自天體力學(xué)的、玻恩等人在量子論中深度發(fā)展了的方法及其在巴爾末線的斯塔克效應(yīng)上的應(yīng)用。略。}

第四部分

§1 能量參數(shù)從振動(dòng)方程的消除，本征波方程，非保守系統(tǒng)

第二部分中的波方程(18)及(18″)，即：

以及：

此構(gòu)成力學(xué)新筑基(Neubegründung der Mechanik)的基礎(chǔ)，卻遭遇了如下不自在，其不能統(tǒng)一地、一般地表達(dá)“力學(xué)場標(biāo)量”

的變化規(guī)律。方程(1)含有能量參數(shù)或者頻率參數(shù)

E

{原文如此}，對(duì)于確定的

E

-值，其對(duì)通過確定的周期因子

依賴于時(shí)間的那些過程成立。

如果我們把方程(1)或者(1′)偶爾當(dāng)作“波方程(Wellengleichung)”，這實(shí)際上顯得不對(duì)，當(dāng)作振動(dòng)方程或者(波)幅方程說不定更正確。這個(gè)方程同Sturm—Liouville本征值問題相聯(lián)系——恰如數(shù)學(xué)上完全可類比的弦或膜自由振動(dòng)問題，而非聯(lián)系著一個(gè)特征波方程(nicht an dieeigentliche Wellengleichung)。{筆者以為振動(dòng)是單參數(shù)問題，而波是兩參數(shù)問題，且兩參數(shù)的量綱差一個(gè)速度量綱。}

至今我們一直假設(shè)勢能

V

是純坐標(biāo)函數(shù)，不顯含時(shí)間。有急切的需求要將理論推廣到非保守系統(tǒng)，這樣才能處理在外力作用下系統(tǒng)的行為。不過，若

V

顯含時(shí)間，則顯然按照(2)依賴于時(shí)間的函數(shù)

不能滿足方程(1)和(1′)。(波)幅方程已不足用，必須依靠特征波方程。

對(duì)于保守體系，方程(2)與

有相同的意義。

由方程(1′)和(3)消去

E

，得到方程：

對(duì)于任意的

E

根據(jù)(2)式依賴于時(shí)間的

都滿足這個(gè)方程；因此每一個(gè)

也可用傅里葉級(jí)數(shù)展開(自然地，系數(shù)為坐標(biāo)的函數(shù))。方程(4)顯然是關(guān)于場標(biāo)量

的統(tǒng)一的、一般的場方程。

這已不是振動(dòng)膜那種簡單類型的，而是四階的、類似許多彈性理論問題那種類型的方程了。無需對(duì)此恐懼，也無需修改同方程(1′)相聯(lián)系的方法。若

V

不含時(shí)間，可以采用預(yù)設(shè)(2)，將(4)式中的算符作如下分解：

可以將這個(gè)方程分解為(1′)式，和一個(gè)將(1′)式作替換

E

E

得到的方程；從(2)式來看，這沒帶出新的解。{這樣的表述，會(huì)被錯(cuò)誤地詮釋什么正、負(fù)能量解的問題。從根本上講，這是i, -i作為 應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)的問題。能量這個(gè)物理量要么為正，要么為負(fù)，二者只能取其一。} 方程(4')的分解不是硬性的，因?yàn)閷?duì)于算符來說，沒有積為0則必有一個(gè)因子為0的法則。

波方程(4)，其攜帶著色散律，實(shí)際上可看作是保守體系理論的基本方程。將其推廣到含時(shí)的勢函數(shù)要特別小心，因?yàn)闀?huì)出現(xiàn)

V

的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。下面我會(huì)嘗試另一條路徑，計(jì)算上很簡單，且我認(rèn)為原理上是正確的。

方程(1′)成立所要求的

的時(shí)間依賴，作為(3)式的替代，可表示為

由此得到如下兩個(gè)方程：

我們要求，復(fù)波函數(shù)

滿足此兩方程之一。因?yàn)閺?fù)共軛函數(shù)滿足另一個(gè)方程，若有必要可將

的實(shí)部看作實(shí)波函數(shù)。對(duì)于保守體系的情形，(4″)和(4)實(shí)質(zhì)上是等價(jià)的，因?yàn)?blockquote id="46GUTN3B">V不是含時(shí)的，一個(gè)實(shí)的算符可以分解(zerlegen)為兩個(gè)共軛復(fù)的(算符)之積。{方程(4″)，這個(gè)方程出現(xiàn)在這篇140頁論文的第113頁上，其中的

就成了后來的薛定諤
很多量子力學(xué)教科書可能都沒注意咋兩個(gè)方程就剩一個(gè)了。此文中薛定諤提到，不能硬性地分成兩個(gè)方程這事兒與完備性有關(guān)，但未作進(jìn)一步說明。}

{接下來的§2—§6處理具體問題。此處略。}

§7 場標(biāo)量的物理意義

…… 是 系統(tǒng)構(gòu)型空間上的某種權(quán)重函數(shù)(ist eine Art Gewichtsfunktion im Konfigurati onenraum des Systems)。波力學(xué)的系統(tǒng)構(gòu)型是所有的運(yùn)動(dòng)力學(xué)可能的點(diǎn)力學(xué)構(gòu)型的疊加 (eine Superposition vieler, streng genommen aller, kinematisch m?glichen punktmechanischen Konfigurationen)。每一個(gè)點(diǎn)力學(xué)構(gòu)型以某一權(quán)重散落于波力學(xué)空間，此權(quán)重也由 給出。要是喜歡反正話(Paradoxien，一般譯為悖論)的話，也可以說，系統(tǒng)同時(shí)處于運(yùn)動(dòng)學(xué)可設(shè)想的所有位置上，但不是以相同的強(qiáng)度。針對(duì)宏觀運(yùn)動(dòng)，權(quán)重函數(shù)同一個(gè)與位置不可分辨的小區(qū)域相聯(lián)系，其在構(gòu)型空間上的重心占據(jù)一個(gè)可感知的范圍。針對(duì)微觀運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)小區(qū)域上變動(dòng)的分布也要關(guān)注。

至今我們都是以直觀具體的形式將“

-振蕩(

-Schwingungen)”當(dāng)作某種完全實(shí)在的事物在談?wù)?，故這個(gè)詮釋粗看來令人震驚。某種可觸摸的實(shí)在按照當(dāng)前的理解是其基礎(chǔ)，具體地是高度真實(shí)的、起到電動(dòng)力學(xué)作用的電的空間密度的漲落(Fluktuation der elektrischen Raumdichte)。

函數(shù)應(yīng)該不多不少地就是或者是扮演了這樣的角色，使得這個(gè)漲落的全部(Gesamtheit，系綜，集合)可用一個(gè)偏微分方程支配以及加以審視。

函數(shù)自身一般不能且不應(yīng)該直接“三維空間地”詮釋——單電子問題會(huì)往這個(gè)方向上引誘——因?yàn)橐话銇碚f其是構(gòu)型空間上的函數(shù)。這事兒已不停地強(qiáng)調(diào)多次了。{后來的量子力學(xué)傳播的現(xiàn)實(shí)表明，這沒有什么用。}

從上述權(quán)重函數(shù)的意義上，人們期望其在整個(gè)構(gòu)型空間上的積分是一個(gè)不變的常數(shù)，最好就是1。容易相信，這很有必要，根據(jù)這樣的定義{指乘上電荷是電的構(gòu)型空間密度}系統(tǒng)的總電荷就能保持不變。對(duì)于非保守系統(tǒng)，這個(gè)要求也是自明的。

現(xiàn)在的問題是，是否這個(gè)歸一的要求，會(huì)得到

要滿足的變化方程(4″)的保證？如果不是這樣，這對(duì)我們整個(gè)的理論是災(zāi)難性的。幸運(yùn)地是這一點(diǎn)確實(shí)得到了保證。構(gòu)造：

由，所滿足的方程，有：

根據(jù)格林定理這個(gè)積分為0。

由方程(4″)還可以得到：

為了更徹底地改造(39)式的右側(cè)，采用多維非歐空間拉普拉斯算符的顯式形態(tài)：

可見

{薛定諤此處建議參考他的“論關(guān)系”一文中的方程(31)。“論關(guān)系”一文在“矩陣力學(xué)與波力學(xué)的等價(jià)性問題”一節(jié)中有摘錄。}右式看起來象一個(gè)實(shí)的多維矢量的散度，可以詮釋為構(gòu)型空間上權(quán)重函數(shù)的流密度。方程(41)是權(quán)重函數(shù)的連續(xù)性方程……

毫無疑問地，采用復(fù)波函數(shù)還有一個(gè)難處。若其從根本上是不可避免的且不只是計(jì)算上的便宜，這也許意味著根本上存在兩個(gè)波函數(shù)，它們一起得出關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的結(jié)論。這或許有個(gè)討人喜歡的詮釋，系統(tǒng)的狀態(tài)由一個(gè)實(shí)函數(shù)及其時(shí)間導(dǎo)數(shù)給出……{薛定諤的這個(gè)詮釋有點(diǎn)兒太隨意了。復(fù)數(shù)不是簡單的兩個(gè)實(shí)數(shù)的組合，它是二元數(shù)，遵從完全不同的代數(shù)}

建議閱讀

[1] Mehra J. Foundations of Physics，I，1987，17：1051；II，1987，17：1141

[2] Bitbol M. Schr?dinger’s Philosophy of Quantum Mechanics. Kluwer Academic Publishers，1996

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