測量任意維度、任意復雜形狀的“大小”：Hausdorff測度

Hausdorff測度是將“體積”和“維數(shù)”的概念從經(jīng)典的整數(shù)維歐氏空間，推廣到任意度量空間、任意復雜集合上的通用、精密的數(shù)學框架。

核心思想：測量任意集合的“k-維體積”

我們熟悉的長度、面積、體積分別對應(yīng)1維、2維、3維的“大小”。

但如何測量一個不規(guī)則曲線，如海岸線的長度？

如何測量一個“蓬松”的集合，如康托爾集、謝爾賓斯基三角的大小？

直覺上，這些集合的“維數(shù)”可能不是整數(shù)。

Hausdorff測度的核心思想是：

對于任意一個度量空間中的集合 A 和任意一個實數(shù) s ≥ 0 ，我們可以定義它的 s -維 Hausdorff 測度 H?(A) 。

你可以把它想象成是集合 A 的“ s -維體積”。

當 s=1 時，它衡量“長度”。

當 s=2 時，它衡量“面積”。

當 s=3 時，它衡量“體積”。

當s不是整數(shù)時，例如 s=log?3 ≈ 1.585 ，它衡量一個分形集的“大小”。

構(gòu)造過程：從覆蓋到精確測度

Hausdorff測度的構(gòu)造思路與黎曼積分中用矩形逼近曲線下面積類似，但更抽象和普適。

基本步驟是“覆蓋-取極限”。

設(shè) (X, d) 是一個度量空間， A ? X ， 給定一個維數(shù)參數(shù) s ≥ 0 和一個很小的正數(shù) δ > 0

第一步：用“小球”覆蓋

我們用直徑不超過 δ 的集合，通常是開集或閉集，{U?} 去覆蓋 A ，即A ? ?_{i=1}^∞ U? 。每個覆蓋集 U? 的直徑記為 diam(U?)

第二步：計算“s-維近似體積”

對于這個特定的覆蓋，我們計算和式：

這個和可以看作是用直徑的 s 次冪來“模擬” s -維體積。

對于固定的 s 和 δ ，我們可以尋找最優(yōu)的覆蓋，使得這個和盡可能小。

于是定義：

這稱為 A 的 s -維 Hausdorff δ-近似測度。

它是在覆蓋集直徑小于 δ 的約束下，所能得到的最小“體積”和。

第三步：取極限得到精確測度

顯然，當 δ 減小時，允許的覆蓋集變得更精細，要覆蓋 A 可能需要更多、更小的集合，之前可能被忽略的細節(jié)現(xiàn)在必須被計入。

因此，尋找最小和式的限制更嚴格了，所以 H?_δ(A) 是 關(guān)于 δ 單調(diào)不減 的。

我們定義s-維Hausdorff測度為這個近似測度當 δ → 0? 時的極限：

這個極限，可能是0、有限正數(shù)、或無窮大，就是我們最終要找的、集合 A 的“ s -維體積”。

Hausdorff 維數(shù)：確定集合的“真實維度”

對于一個固定的集合 A ，當我們變動參數(shù) s 時， H?(A) 的行為有一個戲劇性的變化，這引出了最核心的概念。

觀察這個函數(shù) s → H?(A) ：

如果 s 很大，那么 [diam(U?)]? 對于很小的直徑會變得極其小，所以總的和會非常容易收斂到0。

因此，存在一個臨界點 s? ，使得：

當 s > s? 時， H?(A) = 0

當 s < s? 時， H?(A) = ∞

在臨界點 s = s? 處， H^{s?}(A) 可能是0，有限正數(shù)，或無窮大，但更常見的是0或無窮大。

這個臨界點 s? 就稱為集合 A 的 Hausdorff 維數(shù)，記作 dim_H(A)

Hausdorff維數(shù)是一個內(nèi)蘊的幾何不變量，它不依賴于集合如何嵌入到更大的空間中。

它精確描述了集合的“復雜程度”或“占據(jù)空間的能力”。

對于分形集，其Hausdorff維數(shù)通常是分數(shù)。

關(guān)鍵性質(zhì)

1. 度量外測度：

H?是定義在 X 的冪集上的一個度量外測度。

這意味著它滿足外測度的所有性質(zhì)，非負、單調(diào)、可數(shù)次可加，并且具有“度量”性質(zhì)：

如果兩集合 A 和 B 之間的距離為正，則 H?(A ∪ B) = H?(A) + H?(B)

通過Carathéodory 準則，它可以限制為一個完備測度空間上的測度。

2. 與勒貝格測度的關(guān)系：

在n維歐氏空間?? 中， n-維Hausdorff測度H?與 n-維勒貝格測度 L? 成比例。

精確地說，存在一個規(guī)范化常數(shù) c? > 0 ，例如 c?=1, c?=π/4 取決于定義，使得

H? = c? L?

這保證了它與我們熟悉的體積概念兼容。

3. 單調(diào)性與可數(shù)穩(wěn)定性：

如果 A ? B ，則 H?(A) ≤ H?(B)

維數(shù)也具有可數(shù)穩(wěn)定性，這意味著可數(shù)并集的維數(shù)等于各集合維數(shù)的上確界。

例子與應(yīng)用

1. 光滑曲線/曲面：

一條可求長的光滑曲線 C ，其 1-維 Hausdorff 測度 H1(C) 就是它的弧長，其 Hausdorff 維數(shù)為 1。

一張光滑的二維曲面 S ，其 H2(S) 就是它的表面積。其 Hausdorff 維數(shù)為 2。

2. 康托爾集 C ：

這是經(jīng)典的三分康托爾集。

可以證明，它的 Hausdorff 維數(shù)

s = log2 / log3 ≈ 0.6309

在其 Hausdorff 維數(shù)s下，其 s-維 Hausdorff 測度為有限正數(shù)：

H?(C) = 1 （在適當?shù)囊?guī)范化下）

對于 t > s ， H?(C) = 0 ；對于 t < s ， H?(C) = ∞

3. 謝爾賓斯基三角（墊）：

其Hausdorff維數(shù)為

s = log3 / log2 ≈ 1.585

在其Hausdorff維數(shù)下，測度H?也是有限正數(shù)。

4. 應(yīng)用領(lǐng)域：

分形幾何：定義和計算分形集的“大小”和“維數(shù)”的基本工具。

幾何測度論：研究低維集合（如曲線、曲面）在更高維空間中的幾何與分析的基石。它是研究極小曲面、Plateau問題等的重要語言。

動力系統(tǒng)：研究奇怪吸引子的分形結(jié)構(gòu)和維數(shù)。

幾何群論：研究群邊界和漸近幾何。

偏微分方程正則性理論：研究解的奇點集的維數(shù)。