弦理論激發了一個精彩且令人費解的新數學證明（同調鏡像對稱）——量子雜志

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多年前，一位膽大的菲爾茲獎得主（馬克西姆·孔采維奇）提出了一個全面的計劃——同調鏡像對稱，他聲稱可以用來解決代數幾何中的一個重大問題。其他數學家也持懷疑態度。現在，他說已得到一個證明。

圖源：Kristina Armitage / Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志特約撰稿人）2025-12-12

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-12-14

今年八月，一個數學家團隊發表了一篇論文，聲稱用完全陌生的技術解決了代數幾何中的一個重大問題。它立刻吸引了整個領域，激發了一些數學家的興奮，也激發了另一些人的懷疑。

結果涉及多項式方程，即含有變量冪次的加法組合（如 y = x 或 x2 ? 3xy = z2）。這些方程是數學中最簡單且最普遍的，如今在許多不同研究領域中都是基礎。因此，數學家希望研究它們的解，這些解可以用幾何形狀表示，比如曲線、曲面和稱為流形（manifold）https://www.quantamagazine.org/what-is-a-manifold-20251103/ 的高維對象。

數學家想要馴服的多項式方程類型有無數種。但它們都歸入兩大類——可以通過簡單公式計算解的方程，以及結構更豐富、更復雜的方程。第二類是數學精華所在：數學家希望集中注意力以取得重大進展。

但數學家們在將幾種多項式分類到“簡單”和“困難”兩類后，陷入了困境。在過去半個世紀里，即使是看起來相對簡單的多項式也難以分類。

然后今年夏天，新的證明出現了 https://arxiv.org/abs/2508.05105 。它聲稱結束了僵局，提出了一個令人著迷的愿景，闡明如何分類許多其他類型多項式，這些多項式此前似乎完全無法實現分類。

問題是，代數幾何界沒有人真正理解它。至少，現在還沒有。證明依賴于從弦理論世界引入的思想。其技術對致力于多項式分類的數學家來說完全陌生。

一些研究者信任論文作者之一、菲爾茲獎得主馬克西姆·孔采維奇（Maxim Kontsevich，又譯馬克西姆·康采維奇）的聲譽。但孔采維奇也慣常喜好大膽宣稱，讓別人猶豫。世界各地的數學系都成立了閱讀小組，解讀這一開創性的成果，緩解緊張氣氛。

這項評審可能需要數年時間。但這也為一個曾經停滯的研究領域重新燃起了希望。這也標志著孔采維奇數十年來倡導的更廣泛數學項目的早期勝利——他希望該項目能搭建代數、幾何與物理之間的橋梁。

米蘭大學數學家保羅·斯特拉里（Paolo Stellari，他未參與該工作）表示：“普遍的看法是，我們可能正在研究未來的數學作品。”

有理化處理

分類所有多項式的努力涉及最古老的數學形式：求解方程。例如，要求解簡單多項式 y = 2x，只需找到滿足該方程的 x 和 y 的值。該方程有無限多解，例如 x = 1，y = 2。當你在坐標平面上繪制所有解時，會得到一條直線。

其他多項式更難直接求解，其解會剔除空間中更復雜、更高維的形狀。

但對于其中一些方程，事實證明，找到所有可能的解都有非常簡單的方法。你不必分別給每個變量代入不同的數字，而是通過用新變量 t 來重寫變量，一次性得到所有解。

考慮多項式 x2 + y2 = 1，它定義了一個圓。現在設 x 等于 2t/(1 + t2)，y 等于(1 ? t2)/(1 + t2)。當你把這些新公式代入原來的方程時，得到 1 = 1，這個命題無論 t 是多少，都始終成立。這意味著選擇任意實數值，你就能立即得到原始多項式的解。例如，當你將 t 設為 1 時，得到 x = 2×1/(1 + 12） = 1，y = 0。 確實，x = 1， y = 0 是原始方程的解：12 + 02 = 1。

這種簡單地框住所有解的方法稱為有理參數化（rational parameterization）。這相當于將你原始多項式圖上的每個點——在這里是圓——映射到直線上的唯一一點。

選擇圓圈上的一個點（藍色）。你要把它映射到直線黃線上的唯一一點。為此，在圓頂的綠色點和你選定的藍色點之間畫一條虛線。然后將藍色點映射到虛線經過的黃色點。你可以對圓上的任意一點這樣做。（圓頂的綠色點映射到無窮遠處的一個特殊黃色點。）

圖源：Mark Belan / 量子雜志

任何次數為1的多項式方程——各項冪次最多為1——都可以這樣參數化。方程有多少變量其實無關緊要：它可能有兩個變量，也可能有200個。一旦超過兩個變量，你的多項式方程解將形成復雜的高維形狀。但由于多項式仍然可以參數化，所以有辦法將高維形狀中的每個點映射到一個維數相同且特別簡單的空間點（比如直線）。這反過來又為你提供了一種直接計算多項式解的方法。

類似地，任何次數為2的多項式（各項冪次最高為2）都可以有理參數化。

但如果方程的次數是3或更多，則不一定能被參數化。這取決于方程中有多少變量。

以典型的三次多項式為例：橢圓曲線，例如y2=x3+1，只有兩個變量。“橢圓曲線很美妙，很精彩，但你根本無法參數化它們，”布朗大學的布倫丹·哈塞特（Brendan Hassett）說。沒有簡單的公式能給出橢圓曲線的所有解，所以無法將曲線映射到直線。“如果可以的話，它們就沒那么有趣了，”哈塞特說。

與之前的例子不同，虛線有時會將橢圓曲線上的兩個不同點（藍色）映射到下面黃色線上的同一點。你找不到能避免這種情況的映射，這意味著橢圓曲線的解比圓或球面更復雜。

取而代之的是，橢圓曲線的解擁有更豐富的結構——這個結構在數論中起了數百年的重要作用，密碼學家也利用它來編碼秘密消息。

那么，帶有更多變量的三次方程呢？它們是可參數化的嗎，還是說它們的解結構更有趣，就像橢圓曲線那樣？

1866年，德國數學家阿爾弗雷德·克萊布施（Alfred Clebsch）證明了三變量的三次方程——其解形成二維曲面——通常是可參數化的。

一個多世紀后，赫伯特·克萊門斯（Herbert Clemens）和菲利普·格里菲斯（Phillip Griffiths）發表了一項里程碑式的證明，證明大多數四變量的三次方程情況相反——通常無法參數化。這些方程構成了所謂的三維流形（3-folds）https://www.jstor.org/stable/1970801 ：它們的解無法映射到簡單的三維空間。

許多數學家懷疑下一個要分類的多項式——五變量的三次方程（形成所謂四維流形4-folds）——通常也不會是可參數化的。事實上，他們認為多項式在某個點之后就不應該是可參數化的。但克萊門斯和格里菲斯的技術并不適合4-流形。

因此，幾十年來，分類工作陷入沉寂。

皈依先知

2019年夏天，在莫斯科的一次會議上，數學家們對馬克西姆·孔采維奇發表關于4-流形分類的演講感到驚訝。

首先，孔采維奇以采用高層次數學方法著稱，喜歡提出雄心勃勃的猜想和廣闊的計劃，常常將更細微的細節和形式化的證明寫作留給他人。他形容自己介于先知和白日夢者之間。

馬克西姆·孔采維奇更喜歡思考宏觀的數學視野而非個別問題，他認為自己介于白日夢者和先知之間。

圖源：IHES / Flann Me?rer

在過去三十年里，他專注于開發一種名為同調鏡像對稱（homological mirror symmetry）的計劃，該理論源自弦理論。在1980年代，弦理論學者希望通過計算高維流形上的曲線數量，以解答宇宙基本構件可能表現行為的問題。

為了針對給定流形上的曲線計數，他們考慮了其“鏡像”——另一個流形，雖然與原始流形非常不同，但具有相關性質。特別是，他們發現與鏡像相關聯的代數對象，稱為霍奇結構（Hodge structure），可以揭示原始流形上的曲線數量。反過來也成立：如果你數鏡像上的曲線，你會得到原始流形霍奇結構的信息。

1994年，孔采維奇設計了一個計劃，解釋這種對應的根本原因。他的計劃還預測，這種對應關系擴展到所有與弦理論相關的流形。

目前，沒有人知道如何證明孔采維奇的鏡像對稱性計劃。“這將是下世紀的數學，”他說。但多年來，他已部分取得證明進展——同時也探討了該項目可能帶來的后果。

2002年，孔采維奇的一個朋友，邁阿密大學的盧德米爾·卡察爾科夫（Ludmil Katzarkov）提出了一個假設：該計劃可能與多項式方程的分類相關。

卡察爾科夫熟悉克萊門斯和格里菲斯1972年證明3-流形不可參數化的論文。在這項工作中，兩人直接研究了一個給定的3-流形的霍奇結構。然后他們用它證明了這個3-流形無法映射到簡單的三維空間。但與4-流形相關的霍奇結構過于復雜，無法用相同的工具進行分析。

卡察爾科夫的想法是通過間接訪問4-流形的霍奇結構——通過計算某一類型曲線在其鏡像上存在多少條曲線。通常，研究4-流形霍奇結構的數學家不會像這樣思考曲線計數：它們只會出現在看似無關的數學領域，比如弦理論。但如果鏡像對稱性計劃成立，那么鏡像上的曲線數量應當照亮原始4-流形霍奇結構的特征。

盧德米爾·卡察爾科夫幾十年來一直主張，鏡像對稱這一受物理學啟發的雄心勃勃的數學計劃，掌握著解決代數幾何中一個重大未解問題的關鍵。

圖源：Natalia Leal

特別是，卡察爾科夫希望將鏡像的曲線計數拆解成多個部分，然后利用鏡像對稱計劃證明存在相應的方法來拆散4-流形的霍奇結構。他隨后可以用霍奇結構的這些部分，而非整個結構，證明4-流形結構無法參數化。如果任何一塊都無法映射到簡單的四維空間，他就會得到證明。

但這種推理依賴于孔采維奇鏡像對稱計劃在4-流形成立的假設。卡察爾科夫說：“很明顯這應該是真的，但我沒有技術能力去看怎么做。”

不過他認識一個確實有這種能力的人：孔采維奇本人。

然而他的朋友并不感興趣。

挖掘

多年來，卡察爾科夫試圖說服孔采維奇將他的鏡像對稱性研究應用于多項式分類——但未能成功。孔采維奇想關注整個項目，而不是這個問題。隨后在 2018年，這對組合與賓夕法尼亞大學的托尼·潘德夫（Tony Pantev）一起，研究了另一個問題，涉及將霍奇結構和曲線計數拆解成多個部分。這讓孔采維奇愿意聽卡察爾科夫的意見。

卡察爾科夫再次向他講述了自己的想法。孔采維奇立刻發現了卡察爾科夫長期尋求卻未找到的另一條道路：一種從鏡像對稱中汲取靈感的方法，而不必真正依賴它。“你花了多年時間思考這件事，你看見它在幾秒鐘內發生，”卡察爾科夫說。“那真是個壯觀的時刻。”

托尼·潘德夫通過將流形置于數學鏡子前研究結構。

圖源：Felice Macera

孔采維奇認為，應該可以用4-流形自身的曲線計數——而不是其鏡像的計數——來拆解霍奇結構。他們只需要想辦法把兩者聯系起來，才能找到他們需要的拼圖。這樣他們就能分別關注霍奇結構的每一部分（或他們所謂的“原子”）。

這是孔采維奇在2019年莫斯科會議上為聽眾提出的計劃。對一些數學家來說，這聽起來仿佛嚴謹的證明就在眼前。數學家是一群保守派，通常等待絕對確定性后才提出新觀點。但孔采維奇一直更大膽一些。“他對自己的觀點非常開放，非常前瞻，”馬薩諸塞大學波士頓分校的數學家丹尼爾·波梅雷亞諾（ Daniel Pomerleano）說，他研究鏡像對稱性。

孔采維奇警告說，有一個重要因素他們至今仍不知道如何解決：一個公式，用來說明當數學家們試圖將4-流形映射到新空間時，每個原子將如何變化。只有有了這樣的公式，他們才能證明某個原子永遠不會達到對應于一個恰當“簡化”的4-流形。這意味著4-流形不可參數化，其解豐富且復雜。“但人們不知怎么的感覺是他說已經完成了，”波梅雷亞諾說，他們期待很快有一個證明。

當這一目標未能實現時，一些數學家開始懷疑他是否真的有解決方案。與此同時，當時在法國國家科學研究中心的余越（Tony Yue Yu）加入了團隊。孔采維奇說，余越的新見解和嚴謹的證明風格對該項目至關重要。

新冠疫情期間封鎖開始時，余越曾拜訪了法國附近高等科學研究所的孔采維奇。余越回憶道，他們享受著荒廢學院的寧靜，常常在講堂里待上幾個小時，那里的黑板更多。

他們定期通過Zoom與潘德夫和卡察爾科夫會面，迅速完成了證明的第一部分，精確地弄明白如何利用給定4-流形上的曲線數量將其霍奇結構分解為原子。但他們很難找到一個公式來描述原子如何變換。

他們不知道的是，一位曾在莫斯科聽過孔采維奇講座的數學家——京都大學的入谷寬（Hiroshi Iritani）——也開始追求這樣的公式。“他被我的猜測深深吸引，”孔采維奇說。“我不知道，但他開始著手了。”

2023年7月，入谷寬證明了原子在4-流形映射到新空間時的變化 https://arxiv.org/abs/2307.13555 。雖然沒有提供孔采維奇和同事們所需的足夠信息，但在接下來的兩年里，他們找到了如何完善這些信息的方法。他們隨后用新公式證明，4-流形總會至少有一個原子無法變換到簡單的四維空間。4-流形無法參數化。

仍在處理中

余越對細節的細致關注和新穎見解，是解決多項式方程重要問題的關鍵，他的同事們說。

圖源：Julia

當團隊在八月發布證明時，許多數學家都感到興奮。這是分類項目數十年來最大的進展，也暗示了一種超越4-流形的多項式方程分類的新方法。

但其他數學家并不那么確定。自莫斯科那場講座已經過去六年。孔采維奇終于兌現了承諾，還是有細節需要補充？

當證明的技術如此陌生——是弦理論的領域，而非多項式分類時，他們又如何能消除疑慮？“他們說，'這是黑科技，這是什么機器？'”孔采維奇說。

“他們突然帶來了全新的方法，使用了之前被廣泛認為與該主題無關的工具，”麻省理工學院的白少云說，“那些懂問題的人不懂這些工具。”

白少云是目前幾位試圖彌合這一理解鴻溝的數學家之一。過去幾個月，他共同組織了一場由研究生、博士后研究員和教授組成的“閱讀研討會”，希望能理解這篇新論文。每周，一位不同的數學家會深入探討證明的某個方面，并向小組其他成員展示。

但即使到了現在，經過11次90分鐘的會議，參與者在證明的關鍵細節上仍然感到迷茫。白少云說：“這篇論文包含了精彩的原創思想，”需要大量時間來消化。”

類似的閱讀小組也在巴黎、北京、韓國等地聚集。“全世界的人們現在都在研究同一篇論文，”斯特拉里說。“那是特別的東西。”

哈塞特將其比作格里高利·佩雷爾曼（Grigori Perelman）2003年對龐加萊猜想的證明，后者同樣采用了全新的技術來解決一個著名問題。直到其他數學家用更傳統的工具復現佩雷爾曼的證明后，數學界才真正接受了它。

“會有阻力，”卡察爾科夫說，“但我們做了工作，我相信這是正確的。”他和孔采維奇也認為這是鏡像對稱性計劃的一大勝利：雖然他們還沒更接近證明這一點，但結果提供了更進一步的證據。

“我年紀大了，也很累，”卡察爾科夫說。“但只要我還活著，我就愿意發展這個理論。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/string-theory-inspires-a-brilliant-baffling-new-math-proof-20251212/

https://www.quantamagazine.org/what-is-a-manifold-20251103/

https://arxiv.org/abs/2508.05105

https://www.jstor.org/stable/1970801

https://arxiv.org/abs/2307.13555

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