陶哲軒震撼！數學家1975年埋下的「坑」，被AI和全球網友用48小時填平了

來源：AI思想會

剛剛，AI又破解了一個數學難題！

Erdos，且給出了正式證明。

而在此之前，這個問題已經困擾了數學界50年。

陶哲軒在Mastodon上宣布了這一消息，還在一篇博客中詳細講述了這個故事。

他強調，在AI的輔助下，人類團隊僅用了48小時，就順利攻克了這一難題。

并且，AI在此過程中帶來的是全新理解，絕非搜索這么簡單。

要知道，如果是靠傳統方法，只靠數學家使用編程和文獻檢索，可能會需要數周甚至數月。

在這個過程中，AI實際上是在生成新的數學洞見，而不僅僅是檢索現有文獻。

Harmonic官網也宣布了這一消息，其AI系統Aristotle參與了此次解題過程。

Erdos

1975年，傳奇數學家保羅·埃爾德什在一篇論文的角落隨手寫下一個問題。

半個世紀后，這個問題靜靜躺在「埃爾德什問題網站」上，編號1026。

誰也沒想到，它會在2025年的最后一個月，被一群數學家利用AI工具，在短短48小時內徹底破解。

埃爾德什的原問題，讀起來有點像謎語。

給定一串不同的實數x1,x2,…,xn，定義S(x1,…,xn)為所有單調子序列（遞增或遞減）的最大可能和。

這個函數有什么性質？

問題一出，大家面面相覷：這到底要問什么？是求S的表達式？還是找它和總和的比值下界？

2025年9月12日，問題被掛上網站時，附加了一條注釋：「該問題表述較為模糊。」

但數學家的本能，就是要把模糊變成精確。

當天，網友Desmond Weisenberg提出了一個清晰的游戲化解釋：

Alice和Bob的硬幣游戲

Alice有N枚硬幣，她分成n堆，每堆xi枚（xi可不同）。Bob可以選取一個單調的子序列（遞增或遞減），拿走這些堆里所有硬幣。

問：無論Alice怎么分堆，Bob至少能拿到總硬幣數的多少比例？

這個比例，記作c(n)。

從n=3到平方數猜想

可以先看這樣幾個例子。

很快，Stijn Cambie發現：

如果Alice把硬幣分成k2堆，每堆差不多大，并排列成k個遞減塊，每塊k 堆，塊之間遞增，那么最長單調子序列只有k堆。

于是Bob最多拿到1/k的比例，也即c(k2)≤1/k。

反過來，Wouter van Doorn用已有結果給出下限：c(n)≥(1/√2)/√n。

那么，√n·c(n)的極限是多少？它在1/√2和1之間。

第二天，Stijn手算小n的值：

數據雖少，但已足夠讓他大膽猜想：c(k2)=1/k。

這意味著√n·c(n)→1，Bob在n很大時幾乎能保證拿到約1/√n的比例。

AI出手了！

兩個月后，2025年12月7日，Boris Alexeev用AI工具Aristotle在證明輔助語言Lean中自動證出了c(k2)=1/k。

幾乎同時，Koishi Chan給出一個優美的人類證明——「膨脹法」。

至此，上下界合一，猜想成功得證。

更巧的是，這個答案，其實早就存在了。

Google Scholar很快找到一篇2016年論文，其中已有此結果，并引用了更早的Wagner用「膨脹法」處理埃爾德什-塞凱賴斯定理的工作。

原來，數學早已悄悄解決過這個問題，只是未被鏈接到埃爾德什的原始提問。

AI登場

猜出完整公式

但故事的高潮還在后面。

陶哲軒決定用另一個AI工具AlphaEvolve系統探索c(n)。

他讓AI嘗試構造使S盡量小的序列，很快得到n=1到16的數值結果：

這些分數看似雜亂，但重新排列后，模式逐漸浮現了出來。

Boris從中提煉出干凈公式：

并構造出極值序列：用「紅」「藍」兩種數值的塊交替排列，控制單調子序列的長度。

下圖直觀展示了該構造（a≥0的情形）：

而1/c(n)的圖像，正是對√n的分段線性逼近：

連接經典

正方形填充問題

隨后，Lawrence Wu指出：此問題等價于一個正方形填充問題（埃爾德什問題106）。

Lawrence證明：c(n)≥1/f(n)。

理由：對任意序列，可構造一系列正方形，它們互不重疊地填滿邊長為S(x1,…,xn)的大正方形。

下圖展示了從AlphaEvolve給出的一個序列構造出的正方形填充。

最后一擊

文獻中的完整解

Lawrence再用AI深度搜索，找到了2024年Baek、Koizumi、Ueoro的論文，其中證明：f(k2+2c+1)≤k+c/k。

結合Praton的嵌入論證，這恰好給出：c(k2+2a+1)≤k/(k2+a)。

上下界再次吻合，猜想完全得證！

AI+人類

48小時極限突圍

這個故事最讓陶哲軒觸動的一點是，能匯聚一群不同背景的人、文獻和工具來攻克這個問題，是何等重要。

陶哲軒感慨道：

傳統模式下，一兩位數學家憑借簡單工具，或許最終也能拼出全貌，但那可能需要數周甚至數月。而在這個協作網絡中，所有關鍵環節在48小時內匯聚。

要陳述并證明c(n)的精確公式，需要基于多個觀察結果，大概包括以下幾點：

• 該序列可以被數值計算為有理數序列。

• 經過適當的歸一化和排列后，序列中會出現肉眼可見的規律，讓人能推測出序列的形式。

• 這個問題是Erd?s-Szekeres定理的一個加權版本。

• 在Erd?s-Szekeres定理的眾多證明中，1959年Seidenberg的證明可以被解釋為一種離散矩形填充論證。

• 這個問題可以被重新解釋為連續正方形填充問題，實際上與Erd?s問題106（關于此類填充）的（廣義軸平行形式）密切相關。

• Erd?s問題106的軸平行形式最近剛被Baek-Koizumi-Ueoro解決。

• Praton的論文表明，Erd?s問題106蘊含了這個問題所需的廣義版本。這個蘊含關系特指軸平行的情況。

正是靠著所有貢獻者的通力合作以及他們使用的工具，所有這些關鍵線索才得以在48小時內匯集在一起。

如果換作傳統的模式，只靠一兩個數學家以及更簡單的編程和文獻搜索工具，雖然理論上最終也能把這些碎片拼湊起來，但這個過程會花長得多的時間（可能是數周甚至數月）。

另一個關鍵因素是Erd?s問題網站上「平衡的AI政策」，它鼓勵公開說明AI的使用情況，同時強烈反對隱瞞使用——

允許使用AI輔助編寫評論，前提是：

（a）已對此進行公開說明；

（b）內容（包括數學推導、代碼、數值數據及相關來源的存在性）已由用戶自己在沒有AI協助的情況下仔細核查與驗證；

（c）評論篇幅在合理范圍內，不過于冗長。

一道懸置50年的問題，在2025年的冬天，因為一次跨人機、跨時空的奇妙協作，終于畫上了圓滿的句號。

而這，可能只是一個新時代的開始。

參考資料：ZHB

https://terrytao.wordpress.com/2025/12/08/the-story-of-erdos-problem-126/

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