AI賦能數學研究

作者：陳小楊

半個多世紀以來，數學家已能借助計算機進行輔助計算或驗證命題，但仍不滿足于此，如今的AI或許能更上層樓，挑戰那些人類長年未解的難題。這將對數學、科學乃至人類社會產生深遠的影響。本文回顧了歷史，闡述了當下的發展狀況，并對未來做出了激動人心的展望。

數學，這門探索宇宙真理的語言，正經歷一場前所未有的變革。自20世紀中葉計算機誕生以來，人類就一直夢想讓機器參與數學研究。從早期的符號計算到今天的深度學習，人工智能（AI）在數學領域的應用已經從簡單的輔助工具發展為能夠發現新規律、證明定理甚至挑戰猜想的“研究伙伴”。本文將帶您了解AI與數學交織的精彩歷程，探索當前最前沿的應用，并展望這一領域令人振奮的未來。

從機器證明到深度學習

機器證明的發展歷程

機器證明的歷史可以追溯到17世紀萊布尼茨的“推理演算”構想，但直到20世紀計算機技術發展后才真正實現突破。1950年代，人工智能先驅紐厄爾（A. Newell）等人首次嘗試用計算機程序證明數學定理。而1976年，數學家借助計算機完成了四色定理的證明，這一里程碑事件引起了數學界的廣泛關注。四色定理的證明需要的窮舉分析遠超人類手工處理的能力范圍，這一成功案例充分展示了計算機在解決超大規模數學問題中的獨特價值。

機器證明的發展經歷了幾個重要階段：從早期的窮舉法證明，到吳文俊的代數化方法，再到后來的自動推理和交互式證明系統。隨著計算機性能的指數級提升，機器證明的能力也在不斷增強。現代證明輔助系統如Coq、Isabelle等，不僅能驗證一些數學猜想的正確性，還能幫助數學家發現證明思路。特別值得一提的是，這些系統采用形式化驗證方法，可以確保證明的絕對嚴謹性，避免了傳統數學證明中可能存在的疏漏。

吳文俊先生與機器證明

機器證明的價值不僅體現在提高數學研究效率上，更深刻地改變了數學研究的思維方式。它突破了人類認知的局限性，能夠處理極其復雜的計算和推理過程；同時它也促進了數學的嚴格化發展，使數學證明變得更加可靠和可驗證。未來隨著人工智能技術的發展，機器證明必將在數學研究中發揮更加重要的作用。

深度學習革命

在現代人工智能的發展中，深度學習十分耀眼。深度學習作為機器學習的重要分支，其發展歷程可追溯至1940年代神經網絡概念的提出，但真正迎來爆發式發展是在2010年后。這一技術革命的核心在于通過構建多層非線性變換的神經網絡架構，使計算機獲得了前所未有的特征學習和模式識別能力。2012年AlexNet在ImageNet競賽中的突破性表現，標志著深度學習時代的正式來臨。隨后，隨著算力的提升、算法的優化和大數據的積累，深度學習在計算機視覺、自然語言處理等領域取得了一系列令人矚目的成就。

在數學研究領域，深度學習的價值主要體現在三個關鍵維度。在發現新數學規律方面，深度學習展現了驚人的潛力。2021年DeepMind團隊在《自然》發表的研究中，通過圖神經網絡分析紐結理論中的不變量，發現了人類數學家長期未能察覺的數學聯系。

在數學證明驗證方面，深度學習與形式化證明系統的結合開創了新局面。通過將神經網絡與符號推理相結合，AI系統能夠輔助完成復雜的證明過程。例如在多項式時間可解性問題的證明中，AI可以自動完成大量中間引理的證明工作，顯著提升了證明效率。這種“神經-符號”系統既保留了嚴格的邏輯性，又具備了強大的模式識別能力。

在識別數學規律局限性方面，深度學習同樣表現出色。通過強化學習算法，AI系統能夠在巨大的組合空間中高效搜索潛在的反例結構。在圖論領域，這種方法已經成功構造了多個著名猜想的反例。

深度學習的獨特價值在于它突破了人類思維的固有局限。它能夠處理人類難以駕馭的高維數據空間，發現非直觀的數學模式，并在證明和反例構造中提供新的思路。隨著神經符號系統等新技術的發展，深度學習正在推動數學研究進入人機協同的新時代。這項技術不僅提高了研究效率，更重要的是拓展了人類對數學本質的理解，為這一最古老學科注入了嶄新的活力。

深度學習（多層神經網絡）

AI如何輔助數學研究？

數學研究作為一個系統性的認知活動，主要包括三個核心環節：發現新的數學規律、驗證這些規律的正確性（證明），以及識別其局限性（構造反例）。近年來，人工智能技術在這三個關鍵領域都展現出強大的輔助能力，正在深刻改變數學研究的范式。

AI發現數學規律

2021年，DeepMind團隊在《自然》雜志發表突破性成果，他們開發的AI系統能夠幫助數學家發現紐結不變量之間的新聯系。這項研究證明，AI可以引導數學家的直覺，發現人類可能忽略的數學聯系。

紐結（knot）是三維空間中的閉合曲線，數學家通常用瓊斯多項式（Jones polynomial）、雙曲體積（hyperbolic volume）等不變量來描述其性質。DeepMind將紐結的代數不變量和幾何不變量編碼為高維向量，并利用深度神經網絡（DNN）學習它們之間的潛在關系，即學習如何從一種不變量（如瓊斯多項式）預測另一種不變量（如雙曲體積）。數學家基于AI的預測，進一步構建了嚴格的數學證明，最終在紐結理論中發現了不變量之間的新聯系。

非平凡紐結

在另一項發表在《自然》的論文里，DeepMind利用深度強化學習（Deep Reinforcement Learning, DRL）發現了更高效的矩陣乘法算法，突破了人類數學家在該領域的最佳紀錄。這一成果展示了AI如何通過自主探索發現人類未曾想到的數學優化策略。矩陣乘法是計算機科學和數學中的基礎運算，傳統算法（如Strassen算法）已經優化了數十年。對于兩個n×n矩陣相乘，標準方法需要O(n3)次標量乘法。DeepMind的目標是找到更少的乘法組合，從而降低計算復雜度。DeepMind采用AlphaTensor（基于AlphaZero的改進模型），其核心組件包括：

狀態表示（State Representation）

將矩陣乘法問題編碼為三維張量（Tensor），每個元素代表可能的乘法組合。

例如，（2×2）矩陣乘法可表示為（4×4×4）張量，其中每個維度對應輸入/輸出矩陣的元素。

動作空間（Action Space）

每一步動作對應一個基本乘法操作（如標量乘加）。

AI的目標是通過一系列動作分解張量，找到最少的乘法步驟。

獎勵函數（Reward Function）

主要優化目標：減少乘法次數（即張量分解的秩）。

額外獎勵：發現結構化模式（如對稱性），以便推廣到更大矩陣。

通過將蒙特卡洛樹搜索（MCTS）與深度學習結合，DeepMind最終發現了更高效的矩陣乘法算法。

AI自動證明定理

現代人工智能系統在數學證明領域取得了顯著進展，其技術實現主要體現在兩個重要方向：奧林匹克級幾何題求解和形式化數學證明。這些突破性進展展示了AI在數學推理方面的強大能力。

在幾何證明方面，DeepMind開發的AlphaGeometry系統代表了當前最先進的技術水平。該系統采用神經符號混合架構，結合了神經語言模型的模式識別能力和符號引擎的邏輯推理能力。具體而言，AlphaGeometry首先分析幾何圖形，生成潛在的輔助構造點（如中點、垂足等）。然后，符號推理引擎會將這些構造點納入演繹數據庫，應用幾何公理和定理進行嚴格的邏輯推導。系統在訓練過程中使用了超過1億個合成幾何問題，這些問題通過隨機定理生成算法創建，確保了訓練數據的多樣性和復雜性。值得注意的是，AlphaGeometry完全不需要人類提供的示范證明，僅通過自主探索就能達到國際數學奧林匹克金牌得主的水平。在2023年的測試中，該系統解決了30道選中的IMO幾何題中的25道，平均解題時間僅為10分鐘。

在形式化證明領域，以Lean證明助手為代表的AI系統展現了另一條技術路徑。這類系統基于依賴類型理論，將數學陳述轉化為形式化的代碼表述。AI組件通過以下方式提升證明效率：首先，使用預訓練的語言模型（如GPT-f）理解數學命題的語義，生成可能的證明策略建議；其次，應用強化學習算法優化證明搜索過程，通過價值網絡評估不同證明路徑的成功概率；最后，集成自動化定理證明技術來填補證明細節。例如，在多項式時間可解性問題的證明中，AI輔助的Lean系統能夠自動完成約60%的中間引理證明，將原本需要數周的人工驗證工作縮短到幾天內完成。

這些AI系統的核心技術突破在于：①將神經網絡的直覺能力與符號系統的嚴格推理相結合；②開發了高效的數學表示學習方法，使AI能夠理解抽象數學概念的結構關系；③構建了大規模的數學問題數據集來訓練和驗證系統性能。當前的研究重點正在向更復雜的數學領域拓展，預示著AI將成為數學研究不可或缺的智能助手。

AlphaGeometry解決IMO幾何題

AI構造猜想反例

近年來，強化學習算法在圖論領域取得了突破性進展，特別是在構造組合數學猜想反例方面展現出獨特優勢。這種方法通過精心設計的算法框架，能夠在巨大的組合可能性空間中高效地搜索潛在的反例結構，其核心技術主要包括：

問題建模與狀態表示

首先將圖論問題轉化為適合機器學習的形式。對于圖論猜想，狀態空間通常表示為圖的鄰接矩陣或特征向量。例如，在構造反例時，系統會初始化一個n個頂點的圖，其中每個可能的邊都作為一個獨立的決策變量。

強化學習框架設計

采用強化學習算法，其中：

1.動作空間：包括添加/刪除邊、改變頂點屬性等圖修改操作。

2.獎勵函數：精心設計為多目標優化形式，包含：

(1)主要獎勵：違反目標猜想的程度（如違反某個不等式的大小），

(2)輔助獎勵：保持圖的其他性質（如連通性、正則性等）。

3.懲罰項：控制圖的復雜度（如邊數、頂點數）。

強化學習構造圖論猜想反例

通過強化學習，AI成功構造了多個著名猜想的反例，展示了AI在探索數學問題上的獨特優勢。

大模型時代的數學革命

數學，這門探索宇宙真理的古老學科，正在經歷一場由人工智能大模型帶來的深刻變革。從ChatGPT到AlphaGeometry，這些擁有數百億參數的人工智能系統不僅改變了數學研究的方式，更在重新定義數學發現的本質。這場變革的核心在于，人工智能正在突破人類認知的局限，以前所未有的方式整合數學知識、發現隱藏模式，并創造性地解決開放性問題。這種轉變不僅提高了數學研究的效率，更重要的是拓展了數學探索的疆界，為這門最嚴謹的科學注入了新的活力。

在知識整合方面，人工智能大模型正在成為打破學科壁壘的“超級助手”。傳統數學研究面臨的一個主要挑戰是學科的高度專業化。隨著數學的發展，各個分支領域變得越來越精深，一個領域的專家可能對相鄰領域的進展知之甚少，而這種知識割裂常常阻礙重大突破的產生。著名數學家希爾伯特曾指出：“數學是一個有機整體，它的生命力正來自各個部分之間意想不到的聯系。”然而，在實踐層面，發現這些聯系往往需要研究者具備罕見的廣博學識和非凡的洞察力。

大語言模型通過其海量的知識儲備和強大的關聯能力，正在改變這一局面。以GPT-4為代表的大模型可以即時調用數萬篇數學論文的知識，建立跨領域的知識圖譜，發現不同分支間的深層聯系。例如，當研究者研究代數幾何中的某個難題時，AI可能提示“這個結構與拓撲學中的同調理論有驚人的相似性”；或者在研究數論問題時指出：“這個猜想與量子計算中的相位估計算法存在對應關系。”這種跨學科的聯想能力，在過去需要數學家數十年的廣泛閱讀和深入思考才能獲得，現在則可以通過AI的輔助在短時間內實現。

DeepMind開發的FunSearch系統生動展示了這種知識整合的威力。該系統通過巧妙結合大型語言模型的創造性思維和評估代碼的精確驗證，在組合數學中發現了新的上限構造，解決了開放多年的帽集問題。這一突破性進展的關鍵在于，AI能夠自由地在離散數學、算法設計和信息理論等看似不相關的領域間建立連接，發現人類研究者可能忽略的關聯模式。正如該項目的首席研究員所說：“AI在這里扮演的不是計算器的角色，而更像是一個具有跨學科視野的合作者，它能夠從完全不同的角度審視問題。” 這種知識整合的價值不僅體現在具體問題的解決上，更重要的是它正在改變數學研究的范式。首先，AI輔助可以大大縮短數學家的“學習曲線”，使研究者能夠快速掌握相關領域的基礎知識；其次，它能夠揭示不同數學分支之間的“隱藏橋梁”，為新的研究方向提供線索；最后，這種跨領域的知識融合往往能催生全新的數學工具和方法，推動學科的創新發展。

展望未來，隨著多模態大模型的發展，AI在數學知識整合方面的能力還將持續增強。可以預見，下一代數學研究AI將不僅能處理文本形式的數學知識，還能理解圖表、公式、證明過程等多元信息，實現更深入的知識融合。這將進一步降低學科間的交流壁壘，加速數學的整體進步，或許會幫助我們解決那些長期懸而未決的數學難題，如黎曼猜想或納維-斯托克斯方程的存在性問題。在這個意義上，人工智能不僅是一個研究工具，更是一個拓展人類數學認知邊界的“思維伙伴”。

AI能夠創造新的數學嗎？

創造性思維是人類智慧皇冠上最耀眼的明珠。從歐幾里得的公理化體系到高斯的微分幾何，從黎曼的復變函數到格羅滕迪克的概形理論，數學史上的每一次重大突破都閃耀著創造性思維的光芒。這種思維究竟包含哪些關鍵要素？當前的人工智能又為何難以企及？

真正的數學創造性思維至少包含三個相互關聯的層面。

概念抽象能力是數學創造的基石。優秀的數學家能從具體問題中抽離出本質特征，形成新的數學概念。比如歐拉看到柯尼斯堡七橋問題時，沒有停留在具體的橋與河，而是抽象出拓撲的基本概念。這種從具體到抽象的飛躍，需要深刻的直覺洞察力。

類比遷移能力使數學思想在不同領域間流動。19世紀，黎曼將高斯曲面理論的思想遷移到復變函數研究，開創了黎曼曲面理論。這種跨領域的聯想能力，依賴于對數學本質的深刻理解，而非表面特征的簡單對應。

構建全新的數學理論是最高級的數學創造。格羅滕迪克在代數幾何中建立的概形理論，不僅解決具體問題，更構建了全新的理論框架。這種體系化的創造需要宏觀的數學視野和嚴謹的邏輯思維相結合。

然而，當前的人工智能，尤其是基于深度學習的大模型，在數學創造性方面存在結構性缺陷：①缺乏真正的概念抽象，AI可以通過模式識別發現數據中的規律，但無法自主形成具有數學意義的新概念，AI的“發現”停留在操作層面，無法上升為概念層面；②類比流于表面，大語言模型雖然能建立跨領域聯系，但這些聯系往往基于表面對應而非深層結構，當被要求將數論問題與拓撲學建立聯系時，AI可能給出形式上的類比，但難以把握兩者內在的數學結構；③體系建構能力缺失，現有的AI系統擅長解決定義明確的問題，但無法自主構建新的數學理論體系，它們能證明特定定理，卻提不出類似范疇論這樣的全新數學框架，這種體系化創造需要整體性的數學觀，而這恰恰是AI最欠缺的。

數學創造性思維的本質，在于將直覺的飛躍與邏輯的嚴謹完美結合。當前AI還無法復制人類數學家那種“靈感乍現”的創造過程。研究數學創造性思維不僅關乎數學發展本身，也是推動人工智能向更高層次進化的重要途徑。

從吳文俊的機器證明到今天的AlphaGeometry，AI與數學的融合正在創造新的研究范式。雖然AI目前還無法完全替代數學家的創造力和洞察力，但它已經成為不可或缺的研究伙伴。未來，隨著技術的進步，我們或許將見證AI提出全新的數學理論，開啟數學研究的新紀元。在這個人機協作的新時代，數學的發展將不再受限于個人智慧，而是由人類與AI共同推動。這場變革不僅會改變數學研究的方式，更可能幫助我們揭開宇宙更深層的數學奧秘。

陳小楊：長聘副教授，同濟大學數學科學學院，上海200092。

Chen Xiaoyang: Tenured Associate Professor, School of Mathematical Sciences, Tongji University, Shanghai 200092.

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關鍵詞：數學 AI DeepMind■

本文刊載于2025年第77卷第5期《科學》雜志（P35-P39）

本文轉載自《科學雜志1915》微信公眾號

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