從平面到超空間：探索四元數分形

在分形藝術的浩瀚圖景中，曼德博集與朱利亞集以其無限復雜的二維邊界早已成為經典符號。然而，當驅動這些分形的數學引擎從二維的復數域，遷移至四維的四元數域時，一個更加深邃、結構無比豐富的視覺宇宙便隨之展開。這就是四元數分形的世界，一場在超空間中進行的幾何迭代盛宴。

一、 核心的數學躍遷：從復數到四元數

一切始于那個簡潔而威力無窮的迭代公式：z = z2 + c。在經典分形中，z 和 c 是復數，即形式為a + bi的數，其中i2 = -1。復數存在于一個二維平面上（實軸和虛軸），因此經典的朱利亞集是二維平面上的一個點集，其邊界呈現出令人驚嘆的細節。

四元數則將這一概念擴展至四維。一個四元數可表示為：

Q = a + bi + cj + dk

這里，a是實部，b, c, d是三個相互獨立的虛部。虛數單位i, j, k滿足一套特殊的乘法規則（如i2 = j2 = k2 = ijk = -1，且乘法不滿足交換律）。這使得四元數成為一個四維的超復數系統。當我們將迭代公式中的變量 z 和常數 c 都定義為四元數時，迭代便在一個我們無法直接想象的四維空間中進行。

二、 如何看見四維：三維切片與逃逸時間算法

人類視覺和計算機屏幕本質上是三維的。那么，如何可視化一個四維對象？答案是：三維切片。

想象一個四維蘋果。你無法看到整個蘋果，但可以用一把三維的“刀”去切它，得到一個三維的橫截面——比如一個三維的球體（蘋果的某一塊果肉）。對于四元數分形，我們采用同樣的策略。我們通常固定四元數四個維度中的一個（例如，令實部 a 為某個定值，或令其中一個虛部系數 d=0），然后觀察在剩下的三個維度所構成的三維空間中，點的行為。

可視化過程依賴于經典的逃逸時間算法：

1. 在這個選定的三維切片中，建立一個密集的網格點陣。

2. 將每個網格點的坐標（結合被固定的那個維度值）構成一個四元數，作為迭代初始值z?。

3. 選定一個固定的四元數常數c。

4. 開始迭代：z??? = z?2 + c。

5. 監測每次迭代后四元數 z 的“模長”（即其到四維原點距離，√(a2+b2+c2+d2)）。如果模長超過一個預設的逃逸半徑（如 2），則認為該點“逃逸”至無窮遠。

6. 根據該點逃逸所需的迭代次數為其著色。那些經歷極多次迭代仍保持有界的點，則被認為是四維分形集合在該三維切片上的部分，它們構成了我們最終看到的固態結構。

三、 四元數分形的獨特魅力

通過這種方法渲染出的四元數朱利亞集，展現出與二維分形截然不同的美學與數學特征：

· 極其豐富的三維結構：它們不再是二維的曲線或平面區域，而是擁有體積、孔洞、隧道和復雜表面的三維實體。常見的形態包括：海綿狀結構（無限鏤空的自相似體）、星團狀結構、扭曲的絲狀體及有機的珊瑚狀分支。

· 參數c的魔力：與二維情況一樣，常數c的選擇至關重要。不同的四元數c值會生成從近乎球狀的星云到破碎、混沌的碎片等完全不同的三維結構，探索過程充滿驚喜。

· 無限細節與自相似性：在任意微小的尺度上放大，都能發現與整體結構相似的復雜圖案，這種自相似性是分形的本質，在三維空間中表現得更為震撼。

· 計算的挑戰：由于需要在三維體素網格上進行密集迭代，計算量遠超二維分形，對計算機性能要求很高。這也使得每一幅高分辨率渲染圖都是計算能力的體現。