陶哲軒力推AlphaEvolve：解決67個不同數(shù)學問題，多個難題中超越人類最優(yōu)解

陶哲軒又來安利AlphaEvolve了。

在與DeepMind高級工程師Bogdan Georgiev等人合著的新論文中，陶哲軒稱其為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的有力新工具。

具體來說，他們用AlphaEvolve研究了67個數(shù)學問題，涵蓋組合數(shù)學、幾何、數(shù)學分析與數(shù)論等多個領(lǐng)域。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，AlphaEvolve在可擴展性、魯棒性、可解釋性方面均優(yōu)于傳統(tǒng)工具。

更關(guān)鍵的是，AlphaEvolve已經(jīng)可以自主發(fā)現(xiàn)新穎的數(shù)學構(gòu)造，并在部分問題上超越人類已有的最優(yōu)結(jié)果。

AI自主發(fā)現(xiàn)新數(shù)學構(gòu)造

AlphaEvolve在67個問題的測試中，不僅復(fù)現(xiàn)了眾多已知最優(yōu)解，更在多個方面展現(xiàn)了其獨特的發(fā)現(xiàn)能力。

一個關(guān)鍵的成就是AlphaEvolve能夠自主發(fā)現(xiàn)人類未曾一窺的新數(shù)學構(gòu)造。

例如在處理Nikodym集問題時，系統(tǒng)生成的初步構(gòu)造雖然尚未達到最優(yōu)，但它為人類研究者提供了“一個極好的人類直覺跳板” 。

基于AI提供的結(jié)構(gòu)，研究人員通過人工簡化和直覺推演，最終找到了一個更優(yōu)的構(gòu)造，改進了已知的上界，這一人機協(xié)作的成果將作為一篇獨立的數(shù)學論文發(fā)表。

同樣地，在算術(shù)Kakeya猜想中，AlphaEvolve也發(fā)揮了類似作用。

系統(tǒng)不僅將一個已知的下界從1.61226提升至1.668，其構(gòu)造的解（形態(tài)上類似于離散高斯分布）還啟發(fā)人類數(shù)學家建立了新的漸近關(guān)系，相關(guān)成果也即將發(fā)表。

這種啟發(fā)人類研究的能力，與AlphaEvolve輸出結(jié)果的可解釋性緊密相關(guān)。

系統(tǒng)在大多數(shù)情況下生成的是結(jié)構(gòu)清晰的程序代碼，而非難以理解的黑盒結(jié)果，這使得人類專家可以方便地分析、歸納其發(fā)現(xiàn)的模式，并提煉出通用的數(shù)學公式。

積木堆疊問題便是這一特性的絕佳體現(xiàn)。

在該問題中，系統(tǒng)最初生成了一個邏輯正確的遞歸程序來計算積木的放置。在隨后的演化中，系統(tǒng)內(nèi)部的LLM分析了這段代碼的邏輯，并自主將其重構(gòu)為一個更簡潔、高效的顯式程序。

這個最終程序清晰地揭示了最優(yōu)解與諧波數(shù)（harmonic numbers）之間的數(shù)學關(guān)系，這與人類已知的理論公式完全一致，展示了系統(tǒng)從復(fù)雜解法中提煉數(shù)學本質(zhì)的能力。

除了方案的清晰性，AlphaEvolve在不同類型的問題設(shè)置下也表現(xiàn)出了強大的魯棒性。

它能夠有效處理高維度參數(shù)空間、復(fù)雜的幾何約束以及基于蒙特卡洛模擬的近似評分函數(shù)。

比如這里有一個最小三角形密度問題。

研究人員最初設(shè)計了一個樸素的評分函數(shù)，但系統(tǒng)很快利用了該問題空間的非凸性，通過“欺騙”評分函數(shù)獲得了超越理論最優(yōu)的不可能分數(shù)。

為了解決這個問題，研究人員設(shè)計了一個更魯棒的新評分函數(shù)，該函數(shù)基于問題的利普希茨連續(xù)性（Lipschitz type bounds）構(gòu)造。

在切換到這個更復(fù)雜的連續(xù)評分函數(shù)后，AlphaEvolve不再受局部陷阱的迷惑，迅速收斂到了已知的、正確的理論最優(yōu)解。

并且AlphaEvolve具備了出色的泛化能力，來看IMO 2025的第6題。

研究人員只在輸入n為完全平方數(shù)時才對系統(tǒng)進行評分。這種“信息限制”反而迫使AlphaEvolve去尋找這些稀疏實例背后的共同結(jié)構(gòu)模式，而不是對每個n進行“過擬合”。

最終，系統(tǒng)成功發(fā)現(xiàn)并輸出了在所有完全平方數(shù)n上均達到最優(yōu)的通用構(gòu)造，展現(xiàn)出了歸納能力。

在實際應(yīng)用中，AlphaEvolve的效率極高，僅需少量高質(zhì)量提示即可驅(qū)動。論文指出，來自領(lǐng)域?qū)＜业奶崾荆╡xpert guidance）往往能顯著提升最終構(gòu)造的質(zhì)量，表明系統(tǒng)對人類輸入具有高度的敏感性。

同時，該系統(tǒng)在架構(gòu)上支持并行化，允許研究人員在多個問題實例或同一問題的不同參數(shù)設(shè)置上同時運行探索，并能自動遷移成功的搜索策略，這在處理多參數(shù)的幾何類問題時尤其高效。

AlphaEvolve工作模式

AlphaEvolve并非一個單一流程的系統(tǒng)，而是通過不同“工作模式”適應(yīng)不同類型的數(shù)學問題探索任務(wù)。

該系統(tǒng)主要在兩種不同的模式下運行——“搜索模式”（search mode）和“泛化模式”（generalizer mode）。

“搜索模式”是系統(tǒng)最常用的模式，其目標是高效地發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的數(shù)學構(gòu)造，而不必關(guān)心構(gòu)造過程是否具有可解釋性或普適性。在這種模式下，AlphaEvolve演化的不是直接生成構(gòu)造的程序，而是演化用于搜索構(gòu)造的程序。

每一個被演化的程序本身就是一個“搜索啟發(fā)式算法”（search heuristic）。

評估器會給予這些啟發(fā)式算法一個固定的時間預(yù)算，算法的得分取決于它在此預(yù)算內(nèi)能找到的最佳構(gòu)造的質(zhì)量。

這種方式解決了LLM調(diào)用（緩慢且昂貴）與傳統(tǒng)局部搜索（快速且廉價）之間的速度差異——一次緩慢的LLM調(diào)用用于生成一個高效的搜索策略，該策略隨后可以觸發(fā)大規(guī)模的廉價計算，自主探索數(shù)百萬個候選構(gòu)造。

系統(tǒng)演化的是一系列“改進器”（improver）函數(shù)，它們動態(tài)地適應(yīng)搜索進程，早期可能偏好進行廣泛探索的啟發(fā)式算法，而當接近最優(yōu)解時，則會演化出更精細的、針對特定問題進行優(yōu)化的算法。

“泛化模式”則更具挑戰(zhàn)性 。

其目標是讓AlphaEvolve編寫一個能夠解決任意給定參數(shù)n的問題的通用程序 。系統(tǒng)的評估方式是考察該程序在一系列不同n值上的綜合表現(xiàn)。

這種模式的期望是，通過讓系統(tǒng)觀察自己在小規(guī)模n上找到的最優(yōu)解，它能夠自主“發(fā)現(xiàn)模式”，并將其歸納推廣為一個適用于所有n的通用公式或算法 。

總之，AlphaEvolve展示了AI引導的演化搜索如何補充人類的直覺，為數(shù)學研究提供了一個強大的新范式。

論文地址：
https://arxiv.org/abs/2511.02864

文章來源：量子位。