《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 25. 2N+A空間與勒讓德猜想

《用初等方法研究數(shù)論文選集》連載 025

025. 2N+A空間與勒讓德猜想

我之前講述素?cái)?shù)定義的時(shí)候存在一些問題，這些問題可能比較嚴(yán)重，以至于如果被那些在數(shù)學(xué)界有著極高地位和深厚學(xué)識的權(quán)威人士聽到，他們極有可能會對我所講的內(nèi)容嗤之以鼻。他們的反應(yīng)或許會很強(qiáng)烈，甚至?xí)涯X袋搖得像“不郎鼓”一樣，以此來表達(dá)對我的說法的強(qiáng)烈不認(rèn)同。這便引發(fā)了一個(gè)值得我們深入思考的問題：我們在探討素?cái)?shù)相關(guān)概念的時(shí)候，到底應(yīng)該以那些權(quán)威人士所給出的“定義”作為評判標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)呢，還是更應(yīng)該尊重客觀存在的事實(shí)，以事實(shí)為依據(jù)來進(jìn)行判斷呢？

要知道，權(quán)威人士對于素?cái)?shù)是這樣定義的：所謂的素?cái)?shù)，就是指那些僅僅能夠被1和它自身這兩個(gè)數(shù)整除的數(shù)。按照這個(gè)被權(quán)威所認(rèn)可的定義來看，在數(shù)字的世界里，1這個(gè)數(shù)字并不屬于素?cái)?shù)的范疇，因?yàn)樗谶@個(gè)定義體系中被視為一個(gè)特殊的單位；而2這個(gè)數(shù)字呢，它則是一個(gè)素?cái)?shù)，并且它還具有另外一個(gè)獨(dú)特的身份，那就是它是所有素?cái)?shù)當(dāng)中數(shù)值最小的一個(gè)，同時(shí)它也是最小的偶數(shù)。

我們看下表，

這是Ltg-空間理論的2N+A空間，這個(gè)空間用兩個(gè)等差數(shù)列2N+1和2N+2就可以表示全部正整數(shù)了。

代數(shù)式Zj(N) = 2N+1 就是正整數(shù)中的全部奇數(shù)，包括1 其中還有3、5、7……，但是并不包括2 .

代數(shù)式Zo(N) = 2N+2就是正整數(shù)中的全部偶數(shù)，包括2.

在這個(gè)特定的空間范圍內(nèi)，為了更加方便地研究相關(guān)問題，我們有必要對"素?cái)?shù)"這一概念進(jìn)行重新定義。所謂素?cái)?shù)，就是指在代數(shù)式Zj(N) = 2N+1中，那些無法被"合數(shù)項(xiàng)公式"所覆蓋到的位置，也就是項(xiàng)數(shù)Ns所對應(yīng)的奇數(shù)。具體來說，這里的素?cái)?shù)與傳統(tǒng)意義上的素?cái)?shù)有所不同，它是在這個(gè)獨(dú)特的數(shù)學(xué)框架下的一種新的定義方式。在這個(gè)框架中，我們需要通過代數(shù)式Zj(N) = 2N+1來審視每一個(gè)位置，然后判斷其是否能夠被"合數(shù)項(xiàng)公式"所覆蓋。如果某個(gè)位置不能被"合數(shù)項(xiàng)公式"覆蓋，那么這個(gè)位置所對應(yīng)的奇數(shù)就被定義為素?cái)?shù)。這種定義方式為我們研究問題提供了便利，使得我們能夠從一個(gè)新的角度去探索素?cái)?shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)。

在這個(gè)特定的空間當(dāng)中，存在著這樣一個(gè)合數(shù)項(xiàng)的公式，其表達(dá)形式為

Nh = a(2b + 1) + b，并且這里有一個(gè)重要的前提條件，那就是a和b這兩個(gè)變量的取值都必須大于或者等于1。

在這個(gè)公式所定義的體系里，數(shù)字1被賦予了一種特殊的含義，它被視為一個(gè)“單位”。當(dāng)我們在對相關(guān)問題進(jìn)行深入研究的時(shí)候，就可以借助這個(gè)“單位”來進(jìn)行各種分析、推導(dǎo)等操作。而在這里需要特別指出的是，數(shù)字2在這種情況下并不被認(rèn)定為素?cái)?shù)。通過這樣的設(shè)定方式，在實(shí)際的研究工作開展過程中，就能夠有效地避免可能出現(xiàn)的各種矛盾情況，從而確保研究能夠在一個(gè)自洽且合理的框架內(nèi)順利進(jìn)行。

為何我們中的一些人覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)頗為困難？在此，我愿分享一些個(gè)人見解，謹(jǐn)供各位參考。

在我們上學(xué)的那個(gè)時(shí)候，常常會有一種感覺，那就是有些數(shù)學(xué)老師或者物理老師講課講得特別好，為什么會有這樣的感覺呢？其實(shí)歸根結(jié)底是因?yàn)槲覀兡軌蚵牭枚麄兯v的內(nèi)容。然而，與之相對的，也總會遇到另外一些老師，他們在講課的時(shí)候，我們就完全聽不懂他們在說什么，這到底是怎么回事呢？當(dāng)然，我們不能把所有的責(zé)任都推到老師身上，說老師講得不好，畢竟自身的原因也是不容忽視的，也許是我們自己比較笨，缺乏學(xué)習(xí)這些學(xué)科的天賦，這也是有可能的。

不管是數(shù)學(xué)還是物理，它們都不是憑空產(chǎn)生的，而是有著“大量的實(shí)例”作為基礎(chǔ)的。我們知道，那些復(fù)雜的公式并不是從天上掉下來的，而是從眾多的實(shí)例當(dāng)中經(jīng)過不斷地總結(jié)、歸納，“抽象出來”的。但是，有一些老師在教學(xué)過程中，采用的是一種“照本宣科”的方式，他們只是單純地把書本上的內(nèi)容搬到黑板上，用各種各樣的符號和公式寫滿了整個(gè)黑板。對于學(xué)生們來說，看到這些密密麻麻的符號和公式，根本就不知道這些東西是怎么得來的，越聽越是一頭霧水，到最后甚至對數(shù)學(xué)和物理產(chǎn)生了厭倦的情緒。

就拿我自身的情況來說吧，從接觸數(shù)字1、2、3開始數(shù)數(shù)，這一數(shù)就是二十多個(gè)年頭了。在這漫長的歲月里，我對數(shù)字以及與之相對應(yīng)的規(guī)律雖然不敢說已經(jīng)達(dá)到了爐火純青、了如指掌的地步，但最起碼相較于其他人，我所知曉和理解的內(nèi)容要豐富得多。每當(dāng)我面對那些復(fù)雜且深?yuàn)W的數(shù)論公式以及數(shù)論猜想的時(shí)候，我至少能夠清晰地明白它們所表達(dá)的含義，清楚它們想要達(dá)成的目標(biāo)是什么。然而，試想一下，如果一個(gè)人對最基本的數(shù)字1、2、3都沒有達(dá)到熟悉的程度，那么當(dāng)他看到這些抽象晦澀的數(shù)論公式、數(shù)論猜想時(shí)，必然會陷入一頭霧水、不知所云的境地，完全無法理解其中的奧秘所在。

當(dāng)我試圖閱讀“橢圓曲線”這一部分內(nèi)容的時(shí)候，我發(fā)現(xiàn)我完全無法理解其中的內(nèi)容。究其原因，主要是因?yàn)槲也⒉磺宄@些公式究竟是如何被推導(dǎo)出來的。所以，如果想要把數(shù)學(xué)和物理這兩門學(xué)科真正學(xué)好，那么擁有一本優(yōu)質(zhì)的“教材”就顯得尤為重要了。我們需要通過這樣的教材來深入了解每一個(gè)概念以及定義的起源與發(fā)展過程，而不是一上來就直接面對一堆“抽象的數(shù)學(xué)符號”進(jìn)行推導(dǎo)。因?yàn)槿绻捎煤笠环N方式的話，那對于任何學(xué)習(xí)者而言都是極為困難的，根本不可能順利地學(xué)會相關(guān)知識，更談不上達(dá)到精通的程度了。

一本優(yōu)秀的《量子力學(xué)》教材也是如此，它必須遵循科學(xué)認(rèn)知的基本規(guī)律。首先要有實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)，通過精心設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)來觀察和記錄自然現(xiàn)象，這是學(xué)習(xí)和理解量子力學(xué)的起點(diǎn)。在對實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象有了直觀的認(rèn)識之后，才能進(jìn)一步建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)和分析。倘若缺乏實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，也沒有對自然界中各種現(xiàn)象的細(xì)致總結(jié)和歸納，一上來就直接堆砌復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行推導(dǎo)，那么絕大多數(shù)人將會一頭霧水，根本無法理解其中的含義，更不用說掌握這門學(xué)科的知識了。除非你已經(jīng)對這個(gè)特定領(lǐng)域有了相當(dāng)深入的了解和研究，否則這種脫離實(shí)際、純理論式的教學(xué)方式是很難讓人真正學(xué)會量子力學(xué)的。

在某一學(xué)科的教學(xué)過程中，老師對于學(xué)生是否熟悉該學(xué)科的知識體系起著至關(guān)重要的作用。這里所說的學(xué)生對學(xué)科的熟悉程度，并不是指表面的了解，而是深入的、全面的認(rèn)知。作者作為知識的傳授者可能對此有清晰的認(rèn)識，但是對于讀者而言，他們可能并不懂得這其中的重要性。因此，在學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)和物理這樣邏輯性強(qiáng)、抽象度高的學(xué)科時(shí)，一個(gè)優(yōu)秀的老師以及一本高質(zhì)量的教材就顯得尤為重要了。

在學(xué)習(xí)過程中，最基礎(chǔ)的知識內(nèi)容是構(gòu)建整個(gè)學(xué)科知識體系的基石。這些基礎(chǔ)知識不僅需要被理解，而且必須達(dá)到熟悉的程度。只有當(dāng)學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識了如指掌之后，才能夠在腦海中形成穩(wěn)固的知識框架，進(jìn)而才有可能進(jìn)行更高層次的“抽象”推導(dǎo)與深入研究。如果基礎(chǔ)知識不牢固，就如同在沙地上建高樓，無論后續(xù)如何努力，都難以達(dá)到理想的高度。所以，扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識，是學(xué)好數(shù)學(xué)和物理等學(xué)科不可或缺的關(guān)鍵步驟。

下面我們談一談“勒讓德猜想”。

這個(gè)猜想是在自然數(shù)中，任意兩個(gè)相鄰?fù)耆椒綌?shù)之間，都存在至少一個(gè)素?cái)?shù)。即，對任意正整數(shù)n，存在素?cái)?shù)p，滿足n^2 < p < (n+1)^2。

過去我曾多次利用6N+A空間進(jìn)行證明，盡管我也承認(rèn)這些證明并非完全嚴(yán)謹(jǐn)。接下來，我們將借助2N+A空間再次進(jìn)行驗(yàn)證。

在正整數(shù)中，素?cái)?shù)對是指素?cái)?shù)之間的最小間隙為2。只要我們證明了素?cái)?shù)對的兩個(gè)數(shù)的平方之間存在素?cái)?shù)，那么項(xiàng)數(shù)N就可以縮小一位。

首先，我們來看一個(gè)實(shí)際例子。選取（5,7）這一對孿生素?cái)?shù)，它們的間隔為2，之間只有偶數(shù)6。7的平方是49，5的平方是25，因此：

7^2 -5^2 = 49 - 25 = 24

它們相差的位置是 24/2 = 12，其間有11個(gè)空格。也就是說，從項(xiàng)數(shù)N=13到23。

設(shè) N' = 12)， N'' = 24 ，這個(gè)區(qū)間就是 N'' - N' = 12 ，表示為 [12,24]。

我們知道“合數(shù)項(xiàng)公式”是：

Nh= a(2b+1) + b a, b≥ 1

分別取這個(gè)區(qū)間12至13內(nèi)的項(xiàng)數(shù)，我們會發(fā)現(xiàn)存在合數(shù)項(xiàng)的空缺。14、15、18、20、21、23這些不被“合數(shù)項(xiàng)覆蓋的項(xiàng)”都是“素?cái)?shù)項(xiàng)”。

我們向后退一位到6，它的平方數(shù)是36，與25相差11項(xiàng)，即相差5項(xiàng)。13、14、15、16、17中，14、15項(xiàng)是素?cái)?shù)項(xiàng)。

我們?yōu)楹芜x擇素?cái)?shù)對進(jìn)行研究？原因在于素?cái)?shù)對之間的間隔最為緊密。

接下來，我們通過公式進(jìn)行推導(dǎo)。

我們在2N+A空間中的2N+1數(shù)列上隨機(jī)選取一對素?cái)?shù)，

設(shè)前一個(gè)素?cái)?shù)為S，其項(xiàng)數(shù)為N'，則有S = 2N' +1。

與其相鄰的偶數(shù)O為S+1，其項(xiàng)數(shù)為N″，且O的表達(dá)式為2N′+2。

我們看到項(xiàng)數(shù)都是N′為了簡便我們都寫成項(xiàng)數(shù)N。

O2- S2 = (4N + 3) / 2，這表示兩個(gè)相鄰平方數(shù)之間的距離。

我們可以進(jìn)行驗(yàn)證。對于項(xiàng)位數(shù)N=2的情況，計(jì)算如下：(4×2+3)/2=5.5。由于我們?nèi)〉腘均為整數(shù)，因此(4N+3)/2可以簡化為2N+1。

O^2-S^2 = 2N+1

我們假設(shè)兩個(gè)相鄰的正整數(shù)的平方之間沒有素?cái)?shù)，那么可以表示為：

Nh =a(2b + 1) + b = 2N + 1

分析公式 a(2b + 1) + b = 2N + 1，左側(cè)是間斷的 Nh 的值，而右側(cè)是連續(xù)的值，因此該公式不成立！

由此可得，O^2 - S^2 = Nh + Ns = 2N + 1

勒讓德猜想證畢！

總結(jié)：

通過上述一系列的探討與推導(dǎo)，我們借助2N+A空間這一獨(dú)特的數(shù)學(xué)框架，對勒讓德猜想進(jìn)行了深入且細(xì)致的驗(yàn)證。在這個(gè)過程中，我們重新審視了素?cái)?shù)的定義，在新的定義體系下，利用合數(shù)項(xiàng)公式以及相關(guān)代數(shù)式，對素?cái)?shù)對以及相鄰?fù)耆椒綌?shù)之間的素?cái)?shù)存在性問題展開了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砼c計(jì)算。最終，我們成功地證明了勒讓德猜想，即在自然數(shù)中，任意兩個(gè)相鄰?fù)耆椒綌?shù)之間，都存在至少一個(gè)素?cái)?shù)。

這一證明過程不僅為我們進(jìn)一步理解素?cái)?shù)的分布規(guī)律提供了新的視角和方法，也展示了在不同數(shù)學(xué)空間和定義體系下研究數(shù)學(xué)問題的可行性與有效性。同時(shí)，這也提醒我們，在學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的過程中，不能僅僅局限于傳統(tǒng)的定義和思維模式，要敢于突破常規(guī)，嘗試從不同的角度去思考問題，或許就能發(fā)現(xiàn)新的解決途徑。

此外，這一成果也凸顯了基礎(chǔ)知識在學(xué)習(xí)和研究中的重要性。無論是對于素?cái)?shù)基本概念的理解，還是對各種數(shù)學(xué)公式和代數(shù)式的運(yùn)用，都離不開扎實(shí)的基礎(chǔ)知識。只有將基礎(chǔ)知識掌握得足夠牢固，我們才能在面對復(fù)雜問題時(shí)游刃有余，進(jìn)行深入的推導(dǎo)和研究。

在未來的數(shù)學(xué)研究中，我們可以進(jìn)一步拓展2N+A空間的應(yīng)用范圍，探索更多與素?cái)?shù)相關(guān)的性質(zhì)和猜想。同時(shí)，也可以嘗試將這種研究方法和思路應(yīng)用到其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)的發(fā)展貢獻(xiàn)更多的智慧和力量。相信隨著研究的不斷深入，我們能夠?qū)?shù)學(xué)世界有更深刻、更全面的認(rèn)識。

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2025年12月1日星期一