“開胃菜”數學專欄第16期：定積分不等式證明題之端點變易法

本期話題：積分等式和不等式證明題是考研中難度較大的板塊，主要方法有積分中值定理、泰勒公式、化為二重積分、柯西不等式等，本期介紹一個常用方法：端點變易化方法，即將積分區間的其中一個端點設為 ，構造變限積分函數，然后利用變限積分的性質、微積分基本定理以及中值定理等來進行證明。這種方法在證明與定積分有關的中值問題、不等式證明等問題時經常用到，通過對變限積分函數的性質進行研究，可以巧妙地解決很多定積分證明題。

注意：構造變限積分函數 時，一般要明確 在積分區間 上連續，這是保證 可導的關鍵前提。

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典型題

｜詳細分析

自主練習

｜專題訓練

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【注1】“開胃菜” 數學專欄是咱號為助力學友們攻克大學數學學習難關，特別聯合在大學數學教學領域擁有深厚積淀與豐富經驗的金義明老師共同打造的優質學習專欄。專欄以 “夯實數學基礎、拓展解題思路、提升問題解決能力” 為核心宗旨，聚焦學生在大學數學公共基礎課學習中的核心需求。無論是在課堂學習后，希望進一步鞏固相關課程的核心知識點，解決知識掌握不牢固的問題；還是在解題過程中，面臨思路狹窄、方法單一的困境，渴望拓寬解題視角；亦或是希望系統積累各類實用解題技巧，提升解題效率與準確性，專欄都將提供針對性的內容支持。

在推文內容定位上，專欄主要面向三類核心人群：針對考研備考學子，圍繞考研數學大綱，梳理高頻考點、解析經典真題，助力學子夯實考研數學基礎，突破備考難點；面向競賽備賽的數學學習愛好者，將分享競賽常用解題思路、技巧與典型例題，幫助同學提升競賽解題能力，從容應對賽事挑戰；同時，對于希望在大學數學相關課程學習中實現進一步提升與鞏固的學友，專欄也通過知識點深化講解、易錯點分析等內容，助力其穩步提升數學素養與學習成績。

【注2】對于練習，一定不要做完、核對完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類問題，或者某個知識點的應用、或某個題型的求解思路與方法，不僅對于解題思路要理解、掌握，同時對于涉及的知識點、解題思想與方法要總結，對于其中的一些結論、結果最好能夠記住。同時，對于給出的參考解答過程，要仔細推敲一下，為什么這么做？問題解決的突破口在哪里？還有沒其他更好的方法，自己的方法為什么不對，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時查漏補缺，保證在再出現類似問題時，能夠重現求解思路與過程，從而保證訓練的有效性！對于如何練習，可以參考推文：.

【注3】選擇的例題與練習題主要源于歷屆考研題、競賽題與經典教材與參考書，相關題目可能略有改動！建議（一定）自己在草稿紙上動手做完以后再參考下面給出的參考答案！更多綜合、提高典題型及詳細參考解答（多解）參看高數、數分綜合提高練習冊，點擊推文鏈接：了解詳情！

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