虛數(shù) i ，要被量子力學(xué)拋棄了？

選自量子雜志

機(jī)器之心編譯

作者：Daniel Garisto

如果量子世界根本不需要虛數(shù) i，會(huì)怎樣？

近日，發(fā)表于 Quanta Magazine 的一篇報(bào)道指出，一些物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，量子力學(xué)或許完全可以用純實(shí)數(shù)的方式重寫，而不影響任何實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)。這意味著，那些貫穿近百年的復(fù)數(shù)結(jié)構(gòu)，也許只是我們對(duì)自然的一種數(shù)學(xué)幻覺。

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/physicists-take-the-imaginary-numbers-out-of-quantum-mechanics-20251107/

一個(gè)世紀(jì)前，原子和基本粒子的奇異行為促使物理學(xué)家建立了全新的自然理論，量子力學(xué)。該理論一經(jīng)提出便取得巨大成功。

然而，隨著該理論的出現(xiàn)，問題也隨之而來：量子力學(xué)的核心方程包含虛數(shù) i（即 ?1的平方根，）。

物理學(xué)家們都明白，i 是一種純數(shù)學(xué)的虛構(gòu)，現(xiàn)實(shí)中的物理量（如質(zhì)量、動(dòng)量）平方后不可能出現(xiàn)負(fù)值。但這個(gè)非真實(shí)的數(shù)字，卻似乎深嵌于量子世界的核心。

在推導(dǎo)出包含 i的量子運(yùn)動(dòng)方程后，埃爾溫·薛定諤（Erwin Schr?dinger）曾希望未來能找到一種完全實(shí)數(shù)形式的替代方程，他在1926年寫道：現(xiàn)在的形式無(wú)疑顯得有些粗糙。然而，盡管薛定諤本人并不喜歡虛數(shù)符號(hào)，i 最終還是被保留下來，后來幾代物理學(xué)家在使用這套理論時(shí)已不再質(zhì)疑它。

薛定諤對(duì)他的同名方程使用了復(fù)數(shù)感到不滿，他希望找到一個(gè)替代復(fù)數(shù)的方程。但以他名字命名的方程卻一直沿用至今。

量子力學(xué)并不需要虛數(shù) i

直到2021年，虛數(shù)在量子理論中的角色再次引發(fā)關(guān)注。一支研究團(tuán)隊(duì)提出了可通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法，以判斷 i 是否對(duì)量子理論真正必不可少。隨后兩支實(shí)驗(yàn)團(tuán)隊(duì)迅速進(jìn)行了復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)證明，結(jié)果似乎毫無(wú)歧義地表明：量子理論確實(shí)需要 i。

論文地址：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04160-4

然而，在2025年，一系列新的研究論文推翻了這一結(jié)論。

今年3月，來自德國(guó)的一組理論物理學(xué)家對(duì)2021年的研究提出了反駁，他們提出了一種完全等價(jià)于標(biāo)準(zhǔn)量子理論的實(shí)數(shù)形式版本。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2503.17307

隨后，兩位法國(guó)理論學(xué)家也發(fā)表了他們各自的實(shí)數(shù)版量子理論表述。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2504.02808

而在9月，另一位研究者從量子計(jì)算的角度重新審視這一問題，得出了相同的結(jié)論：量子力學(xué)其實(shí)并不需要虛數(shù) i。

盡管這些實(shí)數(shù)形式的理論避免了顯式使用 i，但它們依然保留了與虛數(shù)算術(shù)特性相關(guān)的某些結(jié)構(gòu)特征。這讓一些學(xué)者質(zhì)疑：量子力學(xué)中的虛數(shù)成分，甚至現(xiàn)實(shí)世界本身的虛數(shù)性，是否真的被徹底消除了。

美國(guó)羅格斯大學(xué)物理哲學(xué)家 Jill North 表示：數(shù)學(xué)形式確實(shí)會(huì)引導(dǎo)我們對(duì)物理世界本質(zhì)的推斷。

不可能的數(shù)值

1637年，在荷蘭郁金香盛開的頂峰時(shí)期，居住在阿姆斯特丹的笛卡爾正在研究一些方程，它們的解似乎具有不可能的數(shù)值。以方程為例，笛卡爾寫道，它的解并不總是實(shí)數(shù)。

該方程的三個(gè)解分別是：2、2 ? i 和 2 + i。后兩者各自都包含一個(gè)實(shí)部和一個(gè)虛部，形式為 a + ib，這類數(shù)后來被稱為復(fù)數(shù)。

笛卡爾當(dāng)時(shí)對(duì)這種虛數(shù)持輕蔑態(tài)度，但復(fù)數(shù)后來在幾何學(xué)、光學(xué)、信號(hào)分析等多個(gè)領(lǐng)域因其實(shí)用性而被廣泛采用。

薛定諤在量子理論中雖然不情愿，但也承認(rèn)復(fù)數(shù)的便利性。他提出的薛定諤方程支配著波函數(shù)的演化，波函數(shù)是一個(gè)代表量子系統(tǒng)所有可能狀態(tài)的實(shí)體（這些狀態(tài)可以像波一樣發(fā)生相長(zhǎng)或相消干涉）。薛定諤的波函數(shù)取復(fù)數(shù)值，即包含虛數(shù)成分，盡管對(duì)量子系統(tǒng)的實(shí)際測(cè)量結(jié)果始終是實(shí)數(shù)。

正如威廉姆斯學(xué)院的量子信息理論家 Bill Wootters 所說：量子理論實(shí)際上是第一個(gè)把復(fù)數(shù)直接放在理論核心位置的物理理論。

一種表示復(fù)數(shù) a+ib的方式是將其視為平面上的一個(gè)點(diǎn)，其中 a 表示在 x 軸（實(shí)軸）上的位置，b 表示在虛軸 y 方向上的位置。每個(gè)復(fù)數(shù)都可看作一根從原點(diǎn)指向坐標(biāo)點(diǎn) (a, b) 的箭頭，這根箭頭稱為向量。這些復(fù)數(shù)向量遵循復(fù)數(shù)的獨(dú)特運(yùn)算規(guī)則：例如，將其乘以 i，會(huì)使向量旋轉(zhuǎn) 90 度。

正因?yàn)檫@些特性，復(fù)數(shù)向量成為描述波函數(shù)量子態(tài)的天然數(shù)學(xué)工具，它們同樣是向量，并遵循類似的奇特疊加規(guī)律。

在 2021 年發(fā)表在《自然》雜志的一篇論文中，Marc-Olivier Renou（左）、Nicolas Gisin 及其六位合作者設(shè)計(jì)了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，旨在否定任何僅基于實(shí)數(shù)的量子理論。這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)隨后確實(shí)被實(shí)施了。然而，今年的研究表明，該實(shí)驗(yàn)依賴于一個(gè)假設(shè)。

物理學(xué)家們時(shí)不時(shí)地嘗試用實(shí)數(shù)來定義與復(fù)數(shù)等價(jià)的向量。

1960 年，瑞士物理學(xué)家 Ernst Stueckelberg 提出了一種實(shí)數(shù)形式的量子力學(xué)理論，他通過一些巧妙的數(shù)學(xué)變換將波函數(shù)從復(fù)數(shù)空間映射到實(shí)數(shù)空間，使實(shí)數(shù)能夠模擬圍繞虛軸旋轉(zhuǎn)的效果。

然而，與復(fù)數(shù)形式的理論相比，這種實(shí)數(shù)版本顯得笨重且不簡(jiǎn)潔。

例如，在復(fù)數(shù)形式下，兩粒子的波函數(shù)只涉及 4 個(gè)復(fù)數(shù)；但如果使用 Stueckelberg 的實(shí)數(shù)表述方法，則需要 16 個(gè)實(shí)數(shù)才能描述相同的系統(tǒng)。

盡管實(shí)數(shù)量子理論顯得笨拙，2008 年和2009 年的兩項(xiàng)研究表明，使用這種理論也可以再現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)量子理論中的貝爾實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這是一項(xiàng)檢驗(yàn)量子理論基本性質(zhì)的關(guān)鍵實(shí)驗(yàn)。

正如量子信息學(xué)家 Bill Wootters 所說：在許多情況下，其實(shí)你完全可以用實(shí)數(shù)理論來應(yīng)對(duì)。但問題在于：實(shí)數(shù)形式的量子理論能否在所有情形下都產(chǎn)生相同的結(jié)果？

復(fù)數(shù)的使用更多是為了方便，而非必要

2021 年，包括日內(nèi)瓦大學(xué)物理學(xué)家Nicolas Gisin在內(nèi)的一組研究人員意識(shí)到，他們可以通過讓貝爾實(shí)驗(yàn)變得更復(fù)雜，來檢驗(yàn)實(shí)數(shù)形式量子理論的極限。

按照經(jīng)典做法，貝爾實(shí)驗(yàn)涉及生成一對(duì)糾纏粒子，即它們的可能狀態(tài)彼此關(guān)聯(lián)的粒子，例如偏振方向相關(guān)的光子。隨后，這對(duì)糾纏粒子被分開送往兩位實(shí)驗(yàn)參與者，分別被昵稱為 Alice和 Bob，他們各自測(cè)量粒子的偏振并比較結(jié)果。

順時(shí)針自左上角起：Michael Epping、Dagmar Bru?、Anton Trushechkin、Hermann Kampermann 和 Pedro Barrios Hita 在一篇最新論文中指出，復(fù)數(shù)的使用更多是為了方便，而非必要。

然而，Gisin團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)了一種特殊版本的貝爾實(shí)驗(yàn)，它包含兩個(gè)獨(dú)立的糾纏粒子源，并引入三位參與者：Alice、Bob 和 Charlie。

他們通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在實(shí)數(shù)形式的量子理論中，糾纏粒子的偏振相關(guān)性存在一個(gè)上限；而在復(fù)數(shù)形式的量子理論中，這個(gè)上限更高。

這意味著，復(fù)數(shù)的使用不再只是計(jì)算上的便利或哲學(xué)選擇，而是一種可以通過實(shí)驗(yàn)證偽的物理差異。換言之，這一設(shè)計(jì)提供了首個(gè)能夠排除實(shí)數(shù)量子力學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性檢驗(yàn)。

不久之后，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)（USTC）合肥團(tuán)隊(duì)按照這一實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果顯示：糾纏光子之間的相關(guān)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了實(shí)數(shù)理論所允許的上限。這似乎表明復(fù)數(shù)在描述量子態(tài)時(shí)是不可或缺的。

然而，即便這個(gè)在統(tǒng)計(jì)上以壓倒性的結(jié)果出現(xiàn)，質(zhì)疑聲仍未平息。

德國(guó)航空航天中心物理學(xué)家Michael Epping 表示：復(fù)數(shù)其實(shí)只是兩個(gè)實(shí)數(shù)加上一套計(jì)算規(guī)則。那為什么不能僅用實(shí)數(shù)來描述量子力學(xué)呢？

物理學(xué)家 Timothée Hoffreumon（左） 和 Mischa Woods 在他們最新論文的標(biāo)題中更是直言：量子理論并不需要復(fù)數(shù)。

法國(guó)里昂高等師范學(xué)院物理學(xué)家 Mischa Woods 與巴黎薩克雷大學(xué)物理學(xué)家 Timothée Hoffreumon ，他們同樣對(duì)此持懷疑態(tài)度。

在 2021 年的那篇論文中，Nicolas Gisin 及其同事對(duì)所謂的張量積做出了一個(gè)關(guān)鍵假設(shè)。這是一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算，用來把描述 Alice 粒子和 Charlie 粒子的復(fù)雜向量組合成一個(gè)糾纏態(tài)。

Gisin 團(tuán)隊(duì)假定，實(shí)數(shù)版本的量子理論也會(huì)使用與復(fù)數(shù)理論相同的張量積數(shù)學(xué)形式來結(jié)合量子態(tài)。

然而，法國(guó)和德國(guó)團(tuán)隊(duì)認(rèn)為，這種張量積形式對(duì)于實(shí)數(shù)理論來說是錯(cuò)誤的規(guī)則。他們打了一個(gè)比方：在平面空間中，直角三角形的斜邊長(zhǎng)度總是滿足a2 + b2 = c2。

但如果將這個(gè)三角形畫在一個(gè)球面上（即曲空間中），這個(gè)公式就不再成立。

他們引用了近期提出的一種觀點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)的張量積實(shí)際上只是更一般的向量組合規(guī)則的一種特殊情況。基于這一思想，兩支團(tuán)隊(duì)發(fā)展出新的組合規(guī)則，從而建立了完全實(shí)數(shù)化的量子理論，而這種理論在實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)上與傳統(tǒng)的復(fù)數(shù)量子理論完全一致。

與此同時(shí)，量子計(jì)算領(lǐng)域的最新進(jìn)展也表明，復(fù)數(shù)并非不可或缺。

量子計(jì)算機(jī)通過邏輯門來操控量子比特。其中一種常見的邏輯門叫做 T 門（T gate），它會(huì)讓表示量子比特狀態(tài)的向量在復(fù)平面上旋轉(zhuǎn)。

而在今年 9 月，來自 Google Quantum AI 的量子計(jì)算專家 Craig Gidney 找到了一種方法，可以從任何量子算法中完全移除 T 門，以數(shù)值方式證明了量子計(jì)算并不需要復(fù)數(shù)的存在。

復(fù)數(shù)在簡(jiǎn)潔性和自然結(jié)構(gòu)上依然強(qiáng)勢(shì)

實(shí)數(shù)形式量子理論的可行性，引發(fā)了許多耐人尋味的問題。其中最核心的一個(gè)是：為什么它要復(fù)雜得多？

這個(gè)問題幾乎伴隨著量子力學(xué)的誕生而出現(xiàn)。

早在 1920 年代，薛定諤就曾嘗試使用實(shí)值波方程，但最終不得不轉(zhuǎn)向復(fù)值方程，因?yàn)檎缢诠P記中所寫的：在計(jì)算上，復(fù)數(shù)形式的方程要簡(jiǎn)單得多，幾乎令人難以置信。

如今看來，量子理論似乎并不顯式需要虛數(shù) i，但薛定諤所發(fā)現(xiàn)的那種自然的簡(jiǎn)潔性可能依然存在。

來自中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)、參與過Gisin團(tuán)隊(duì)定制版貝爾實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家陸朝陽(yáng)表示：復(fù)數(shù)量子理論由于擁有自然的張量積形式，依然更加簡(jiǎn)潔、優(yōu)雅、并且在數(shù)學(xué)上更直觀。

威廉姆斯學(xué)院量子信息理論家 Bill Wootters 也指出：即使你把量子理論完全翻譯成實(shí)數(shù)形式，你仍然能看到復(fù)數(shù)運(yùn)算的特征印記。

那些解放了量子理論、讓它擺脫復(fù)數(shù)的研究者們，也不得不承認(rèn)：復(fù)數(shù)確實(shí)是量子理論的天然匹配者。

實(shí)數(shù)理論中雖然不再包含虛數(shù) i，但它們?nèi)耘f復(fù)制了 i 的核心功能，旋轉(zhuǎn)向量的能力。

正如德國(guó)物理學(xué)家 Anton Trushechkin 所說：我們實(shí)際上是用實(shí)數(shù)去模擬復(fù)數(shù)。

哲學(xué)家、物理學(xué)理論家 Jill North（美國(guó)羅格斯大學(xué)）同意陸朝陽(yáng)的觀點(diǎn)：即使復(fù)數(shù)并非嚴(yán)格必要，但它們確實(shí)讓量子力學(xué)的形式顯得異常貼切。

羅格斯大學(xué)的物理學(xué)理論家Jill North提出疑問：為什么復(fù)數(shù)如此適合量子力學(xué)？

North的研究目標(biāo)是要找出量子力學(xué)中特有的某種性質(zhì)，正是這種性質(zhì)使得復(fù)數(shù)與量子世界之間有著如此自然的契合。她提出，一個(gè)可能的候選就是自旋（spin），一種沒有任何經(jīng)典對(duì)應(yīng)物的量子粒子屬性。

然而，即便在實(shí)數(shù)理論中，復(fù)數(shù)的痕跡依然揮之不去。一些研究者因此保持謹(jǐn)慎態(tài)度，關(guān)于虛數(shù) i 的終結(jié)的說法，也許被夸大了。

英國(guó)牛津大學(xué)物理學(xué)家 Vlatko Vedral 表示：你當(dāng)然可以用各種方式去書寫它們，但無(wú)論如何，它們的乘法規(guī)律都必須與復(fù)數(shù)完全一致。Vedral希望找到的是一種更簡(jiǎn)單的公理體系，一種能讓理論物理學(xué)家從更直觀的原則重新推導(dǎo)出量子力學(xué)的新框架。

Vedral 總結(jié)道：我們至今沒有找到一種真正不同于 100 年前的量子力學(xué)替代表述。問題是為什么我們?nèi)詿o(wú)法超越它？