《用初等方法研究數論文選集》連載 004. 證明a^2+1級數

《用初等方法研究數論文選集》連載 004

004. 證明a^2+1級數

這個猜想為：在級數a^2 + 1中，素數是否有無窮多個？這也是一個古老且著名的數論猜想。哈代和李特爾伍德曾進行過相關證明，還提出了一個猜想，但至今無人能夠證明該猜想。

相關圖示如下：

這也表明我的“Ktg - 空間理論”是由我首次發現的，處于世界領先水平。不然，這些大數學家們早就能夠運用這個“由等差數列組構成正整數的結構空間，即Ltg - 空間理論”輕松證明該問題了。

通過書中敘述可知，這些世界一流數學家們研究方法的理論基礎是“解析數論”。盡管已經取得了一定進展，但最終仍未能完成對該猜想的證明，其證明難度猶如天數一般。解析數論研究方法的基礎理論，一是“高斯素數定理”，二是需要“黎曼猜想”的結果，三是要運用“歐拉素數乘積”。

看下圖，

運用我的這一理論來解決數論中的一些古老猜想，其簡單程度達到了令人難以置信的地步，因此必然會引發一些人的嫉妒與恐懼，這也情有可原，畢竟一些人一生的努力在這個理論的沖擊下將化為泡影。

當然，我的證明并非數學專業范疇的，我只是提供一本科普讀物，讓大家了解有這么一種“數學思維”就足夠了。

今天我用Ltg-空間理論中的2N+A(A=1、2)再次證明一遍這個猜想。

使用2N+A表格，表格如下：

這個空間由兩個數列，即奇數數列 2N + 1 和偶數數列 2N + 2 構成，這兩個數列能夠表示所有正整數。

我們可以將奇數數列 2N + 1視為一個封閉空間，不受其他因素干擾，尤其要避免受到“解析數論”的影響，采用初等方法來解決這個問題。需要注意的是，我們能夠把等差數列轉化為函數，其理論依據就是初等函數的理論基礎，要避免“把簡單問題復雜化”。

1、奇數數列包含了除2以外的所有素數。

2、在這個空間中，合數和素數都有其固定的位置，素數并非隨機出現。

3、奇數數列存在一個用于確定合適位置的“合數項公式”：

Nh = a(2b + 1) + b

其中，a和b均為項數，且a、b ≥1。

注意：合數項Nh是項數，將其代入2N + 1才是實際的數值。

4、相對地，存在一個素數項公式：

Ns = N - Nh （注意這個公式有一定特殊性，也可表示為Ns = N\Nh）

5、這兩個公式涵蓋了2N + 1上的所有位置，直至無窮大。

6、合數項公式在區間（0，∞）內滿足條件且性質不變（初等函數）。

有了上述條件，我們證明級數a^2 + 1中存在無窮多個素數就極為簡單了。

證明：

在表達式 a^2 + 1 中，只有當a^2為偶數時，a^2 + 1 才構成奇數數列。因此，設 a = 2k，則a^2= 4k^2，此時 a^2 + 1 可表示為 4k^2 + 1。

我們知道，在2N + 1 數列中的合數可被合數項公式Nh = a(2b + 1) + b 全面覆蓋。只有當 4k^2 + 1 與Nh = a(2b + 1) + b 完全重合時，4k^2 + 1 才不會含有素數。

Nh = a(2b + 1) + b 的解是一組直線族（合數等差數列），而 4k^2 + 1 的圖形是拋物線。無需證明，我們便可斷定這兩個公式永遠不會重合。

所以，級數 a^2 + 1 中含有無窮多個素數。

證畢！

這個方法能夠有效地應用于解決數論領域中一系列古老猜想相關的問題。這些猜想往往歷史悠久，蘊含著豐富的數學內涵，而該方法為其提供了一種全新的解決途徑，具有重要的理論價值和實踐意義。通過深入挖掘數論問題的本質特征，這種方法展現出了強大的適應性和廣泛的應用前景，為研究者們探索這些復雜難題提供了有力的支持。

李鐵鋼 2025年10月27日星期一 于保定市