折紙圖案解決了一個主要的物理謎題——振幅多面體（amplituhedron）

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振幅多面體（amplituhedron）是粒子物理學核心的一種形狀，似乎與折紙數學有著密切的聯系。

圖源：Ibrahim Rayintakath / Quanta Magazine

作者：Kevin Hartnett（量子雜志特約撰稿人）2025-10-6

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-10-7

振幅多面體（amplituhedron）是一種幾何形狀，具有近乎神秘的性質 https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ ：計算它的體積，你就會得到物理學中關于粒子如何相互作用的中心計算的答案。

現在，康奈爾大學一位名叫帕維爾（帕夏）加拉辛——Pavel (Pasha) Galashin的年輕數學家發現，振幅多面體也與另一個完全不相關的學科神秘地聯系在一起：折紙（origami）藝術。在2024年10月發布的證明中 https://arxiv.org/abs/2410.09574 ，他證明折紙中出現的模式可以轉化為一組點，這些點共同形成振幅多面體。不知何故，紙張折疊的方式和粒子碰撞的方式產生了相同的幾何形狀。

“帕夏之前做過一些與振幅多面體相關的出色工作，”普林斯頓高等研究院的物理學家尼瑪·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）說，他于2013年與當時的研究生雅羅斯拉夫·特恩卡（Jaroslav Trnka） 一起推出了振幅多面體 https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ 。“但這對我來說是更進一層的東西。”

通過利用這種與折紙的新聯系，加拉辛還能解決一個關于振幅多面體的開放猜想，物理學家長期以來一直認為這是正確的，但無法嚴格證明：形狀確實可以切割成更簡單的構建塊，從而對應于物理學家想要進行的計算。換句話說，振幅多面體的各個部分確實按照它們應該的方式組合在一起。

結果不僅僅是在兩個看似不同的研究領域之間架起一座橋梁。加拉辛和其他數學家已經在探索這座橋還能告訴他們什么。他們正在使用它來更好地理解振幅多面體，并在更廣泛的環境中回答其他問題。

爆炸性計算

物理學家想要預測當基本粒子相互作用時會發生什么。假設兩個稱為膠子（gluon）的亞原子粒子發生碰撞。它們可能會原封不動地相互反彈，或者轉化為一組四個膠子，或者做別的完全不同的事。每個結果都以一定的概率發生，該概率由稱為散射幅度（scattering amplitude）的數學表達式表示。

費曼圖（Feynman diagram）用于計算粒子碰撞導致某種結果的可能性。

圖源：Mark Belan/Quanta Magazine

幾十年來，物理學家通過以下兩種方式之一計算散射幅度。第一種方法使用費曼圖 https://www.quantamagazine.org/how-feynman-diagrams-revolutionized-physics-20190514/ ，描述粒子如何移動和相互作用的波浪線圖。每個圖表代表一個數學計算；通過將與不同費曼圖相對應的計算相加，你可以計算給定的散射幅度。但隨著碰撞中粒子數量的增加，你需要的費曼圖數量呈爆炸性增長 https://www.quantamagazine.org/strange-numbers-found-in-particle-collisions-20161115/ 。事情很快就會失控：計算相對簡單事件的散射幅度可能需要將數千甚至數百萬項相加。

第二種方法于2000年代初引入，稱為BCFW遞歸（BCFW，Britto-Cachazo-Feng-Witten，布里托-卡查索-馮波-威滕）。它將復雜的粒子相互作用分解為更小、更簡單的相互作用，更容易研究。你可以計算這些更簡單相互作用的幅度，并使用稱為圖（graph）的頂點和邊的集合來跟蹤它們。這些圖告訴你如何將更簡單的相互作用重新拼接在一起，以計算原始碰撞的散射幅度。

這些圖跟蹤復雜的BCFW遞歸公式。

BCFW遞歸比費曼圖需要更少的工作。你可能只需要將數百項相加，而不是將數百萬項相加。但這兩種方法都有相同的問題：最終的答案通常比過程中所需的大量計算要簡單得多，許多項最終會被抵消。

然后，在2013年，阿卡尼-哈米德和特恩卡有了一個令人驚訝的發現：粒子碰撞的復雜數學實際上是偽裝的幾何學。

被幾何學拯救

2000年代初期，麻省理工學院的數學家亞歷山大·波斯特尼科夫（Alexander Postnikov）正在研究一種被稱為正格拉斯曼流形（positive Grassmannian）的幾何對象。

自1930年代以來，正格拉斯曼流形一直是數學界感興趣的主題，它是以高度抽象的方式構建的。首先，以n維空間為例，并考慮位于其中的某個給定較小維度的所有平面。例如，在我們居住的三維空間中，你可以找到無限多的平坦的二維平面，它們向各個方向展開。

每個平面——本質上是更大的n維空間的切片——都可以由稱為矩陣（matrix）的數字數組定義。你可以從該矩陣中計算某些值，稱為余子式（minor），這些值告訴你平面的性質。

帕維爾·加拉辛 （Pavel Galashin） 在折紙和粒子物理學之間建立了聯系。

圖源：Pavel Galashin

現在只考慮你空間中那些余子式都是正數的平面。所有這些特殊的“正”平面的集合為你提供了一個復雜的幾何空間——正格拉斯曼流形。

為了理解正格拉斯曼流形豐富的內部結構，數學家將其劃分為不同的區域，使得每個區域由具有特定模式的各種平面組成。波斯特尼科夫希望讓這項任務變得更容易，他想出了一種方法來跟蹤不同區域以及它們如何組合在一起。他發明了他所說的“平面雙色圖”（plabic graph，單詞plabic是planar bicolored的縮寫）——由邊連接的黑白頂點網絡，繪制后沒有邊交叉。每個plabic圖刻畫了正格拉斯曼流形的一個區域，為數學家提供了一種視覺語言，否則將由密集的代數公式定義。

在波斯特尼科夫推出他的平面雙色圖近十年后，阿卡尼-哈米德和特恩卡試圖計算各種粒子碰撞的散射幅度。當他們努力研究BCFW遞歸公式時，他們注意到了一些不可思議的事情。他們用來跟蹤計算的圖看起來就像波斯特尼科夫的平面雙色圖。出于好奇，他們開車去麻省理工學院見他。

“午餐時我們說，‘這很奇怪，我們看到的是完全相同的東西，’”阿卡尼-哈米德回憶道。

他們是對的。為了計算n個粒子碰撞的散射幅度，物理學家必須將許多BCFW項相加——這些項中的每一項都對應于n維的正格拉斯曼流形的一個區域。

阿卡尼-哈米德和特恩卡意識到，這種幾何聯系可能使計算散射幅度變得更加容易。使用有關粒子碰撞的數據（例如粒子的動量），他們定義了正格拉斯曼流形的低維陰影。這個陰影的總體積等于散射幅度。

因此，振幅多面體誕生了 https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/ 。

對應于涉及8個膠子的粒子碰撞的振幅多面體的圖解。

而使用費曼圖，同樣的計算大約需要500頁的代數內容。

圖源：尼瑪·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）

圖源：Andy Gilmore

這只是故事的開始。例如，物理學家和數學家想要確認，定義正格拉斯曼流形區域的相同平面雙色圖也可以定義振幅多面體的各個部分——并且這些部分沒有間隙或重疊，完美地組合在一起以包含形狀的確切體積。這種希望后來被稱為三角剖分猜想（triangulation conjecture）：振幅多面體能否干凈地三角剖分或細分為更簡單的構建塊？

證明這一點將鞏固阿卡尼-哈米德和特恩卡的愿景：產生粒子碰撞散射幅度（盡管效率低下）的復雜BCFW公式可以理解為振幅多面體構建塊體積的總和。

這不是一件容易的事。一方面，從一開始就很明顯確實有兩個振幅多面體。第一個是用動量-扭量（momentum-twistor）坐標定義的——一種巧妙的數學重新標記，使形狀更易于使用，因為它與正格拉斯曼流形和波斯特尼科夫的平面雙色圖自然相關。數學家們在2021年能夠證明這個版本的振幅多面體的三角剖分猜想 https://arxiv.org/abs/2112.02703 。

另一個版本稱為動量振幅多面體（momentum amplituhedron），而是直接根據碰撞粒子的動量來定義的。物理學家更關心第二個版本，因為它與真實的粒子碰撞和散射實驗使用相同的語言。但用數學來描述也更難。因此，三角剖分猜想仍然開放。

如果動量振幅多面體的三角剖分失敗，那么就意味著振幅多面體不是理解計算散射振幅的BCFW公式的正確方法。

十多年來，這種不確定性一直揮之不去——直到對紙張折疊的研究開始提出前進的方向。

尋找大腳怪

帕維爾·加拉辛并沒有著手研究折紙或振幅多面體。2018年，作為波斯特尼科夫的研究生之一，他和一位同事剛剛證明了正格拉斯曼流形模型和伊辛模型之間存在有趣的聯系，伊辛模型（Ising model）用于研究鐵磁體等系統的行為。加拉辛現在正試圖從正格拉斯曼流形的角度來理解關于伊辛模型的著名證明——特別是它所表現出的特殊對稱性。

在進行證明時——他在接下來的幾年里斷斷續續地回到這個項目——加拉辛遇到了幾篇有趣的論文，研究人員使用其他類型的圖表來使幾何形狀更易于處理：折紙折痕圖案。這些線條圖告訴你怎樣折紙來制作鶴或青蛙。

這種折痕圖案會產生一只天鵝。

折紙在這里突然出現似乎很奇怪。但多年來，折紙的數學已經出奇地深刻。關于折紙的問題——例如給定的折痕圖案是否會產生一種可以壓平而不撕裂的形狀——在計算上很難解決。現在數學家們已經知道折紙可用于執行各種計算 https://www.quantamagazine.org/how-to-build-an-origami-computer-20240130/ 。

2023年，在探究有關伊辛模型的論文中折紙在做什么時，加拉辛遇到了一個引起他注意的問題。假設你只有有關折痕圖案的外部邊界的信息，即紙張的邊界，折痕將其分成不同的線段。特別是，假設你只有關于這些線段在折疊前后在空間中的位置的信息。你總能找到一個完整的折痕圖案，既滿足這些約束，又能產生可以正確展平的折紙形狀嗎？數學家們推測答案是肯定的，但沒有人能證明這一點。

加拉辛發現這個猜想很驚人，因為在他通常的研究領域，即處理正格拉斯曼流形，檢查物體的邊界是獲取有關該物體的信息的常用方法。

Jaroslav Trnka（上）和Nima Arkani-Hamed（下）引入了振幅多面體，以便更輕松地執行粒子物理學中的重要計算。

圖源：Jaroslav Trnka / UC Davis Dateline；Maximilien Brice Julien-Marius Ordan

但幾個月來，他沒有取得任何進展。然后他突然意識到：這個問題不僅與他自己的工作有同樣的味道。它可以用振幅多面體的語言重寫。動量振幅多面體，就是這樣。

“這比我愿意承認的時間要長得多，”他說。“你不會想到這種聯系，所以你永遠不會意識到這一點。你不應該在曼哈頓看到大腳怪。”

但他能證明這一點嗎？

忘記平坦

加拉辛考慮了涉及一定數量粒子的碰撞，并從劃分為該數量的線段的折痕圖案邊界開始。

他用一個由兩個數字組成的向量來描述每條線段。接下來，他寫下了向量，描述了折疊后相同線段的新位置應該是什么。這些是根據他感興趣的碰撞中粒子動量的信息確定的。

然后，對于每條線段，他將“之前”和“之后”的向量組合成一個四維向量。通過將所有這些向量中的數字列為一組坐標，加拉辛能夠在高維空間中定義一個點。這個點并不只存在于高維空間的任何地方——它存在于動量振幅多面體中。

加拉辛證明，關于平折折痕圖案的折紙問題的答案確實是肯定的——并且每當可以在給定邊界上找到這樣的折痕圖案時，該邊界編碼的點必須位于振幅多面體中。

這是一種全新的思考形狀的方式。“這是帕夏工作最令人驚奇的地方，這種與折紙的聯系只是給了你動量振幅多面體的令人難以置信漂亮的單行定義，”阿卡尼-哈米德說。

加拉辛基于折紙的新解釋讓他對如何最終解決動量振幅多面體的中心謎題有了想法。如果他能夠證明每個折紙派生的點不僅位于振幅多面體內部，而且位于一個非常特定的區域內，那么他就可以解決三角剖分猜想——就像這些區域將鎖定在一起而沒有間隙或重疊一樣。

為此，他設計了一種算法，將邊界圖案作為輸入，并為其分配獨特的折痕圖案。折痕圖案將始終遵循將其與振幅多面體幾何形狀聯系起來的規則：也就是說，折疊時，紙張仍然能夠變平。

然后，加拉辛將折痕圖案表示為平面雙色圖：首先，他在折痕圖案的每個區域的中間畫一個點，如果折疊紙張后該區域朝上，則將其涂成白色；如果該區域朝下，則將其涂成黑色。然后，他在有公共折痕的區域的頂點之間繪制了一條邊。

此平面雙色圖中的邊連接共享折痕的區域。

最后，他證明這張圖雕刻出了一個振幅多面體區域。由折痕圖案的邊界編碼的點位于該區域內。

這足以解決三角測量問題。如果振幅多面體中的兩個區域重疊，即如果振幅多面體中的一個點位于兩個不同的區域中，則相當于能夠將邊界圖案與兩個不同的折痕圖案相匹配。但加拉辛設計了他的算法來產生獨特的匹配，所以這是不可能的。同樣，該算法也暗示不能有間隙：振幅多面體中的每個點都可以重寫為邊界，并且每個邊界在作為算法的輸入時，都整齊地落在一個區域內。

振幅多面體完美地結合在一起。

新夢想

對于數學家來說，證明的優雅性是令人嘆為觀止的。

“將兩個看似不相關的想法聯系起來總是非常漂亮的，”哈佛大學數學家勞倫·威廉姆斯（Lauren Williams）說。“我以前從未考慮過折紙折痕圖案，所以看到它們與振幅多面體相聯系真是太驚訝了。”

加拉辛分享了勞倫的驚訝。“我沒有很好的解釋為什么折紙的邊界是振幅多面體中的點，”他說。“先驗地，沒有理由讓一個與另一個有關系。”但他希望未來的調查能夠揭示這種聯系的更深層次的原因。

他還希望他的成果能夠幫助他實現最初的目標：通過正格拉斯曼流形的視角理解鐵磁體模型及相關系統。也許使用折紙會有所幫助。

更廣泛地說，物理學家和數學家想看看他們是否可以通過折紙來思考它，從而更多地了解振幅多面體——并在更廣泛的粒子碰撞理論計算中運用它。例如，一個目標是能夠直接根據振幅多面體的體積計算粒子碰撞的散射幅度，而無需將其分解成碎片。也許繼續探索折痕圖案和粒子碰撞之間的聯系將有助于實現這個夢想。

“作為一名物理學家，我一百萬年內都不會想出這個，”阿卡尼-哈米德說。“但我發現這是一個了不起的結果，我想更多地了解它，看看它會告訴我們什么。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/origami-patterns-solve-a-major-physics-riddle-20251006/

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://arxiv.org/abs/2410.09574

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://www.quantamagazine.org/how-feynman-diagrams-revolutionized-physics-20190514/

https://www.quantamagazine.org/strange-numbers-found-in-particle-collisions-20161115/

https://www.quantamagazine.org/physicists-discover-geometry-underlying-particle-physics-20130917/

https://arxiv.org/abs/2112.02703

https://www.quantamagazine.org/how-to-build-an-origami-computer-20240130/

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