日常事物中的非凡數(shù)學(xué)

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《量子雜志》

Quanta Magazine

圖源：Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志撰稿人）2025-9-2

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2025-9-3

數(shù)學(xué)研究經(jīng)歷了漫長的發(fā)展歷程。幾千年前，許多重大問題都與對物體計數(shù)和對形狀排序有關(guān)，而現(xiàn)代數(shù)學(xué)則更關(guān)注抽象結(jié)構(gòu)和關(guān)系、高維空間以及無形的定義。

但數(shù)學(xué)家們偶爾也會回到現(xiàn)實。畢竟，他們生活在這里，日常生活中遇到的形狀和現(xiàn)象可以給他們帶來新的、重要的見解。

我想這就是為什么數(shù)學(xué)和手工常常聯(lián)系在一起的原因。數(shù)學(xué)和游戲也是如此。今年早些時候，在西雅圖舉行的聯(lián)合數(shù)學(xué)會議上，有一場藝術(shù)展，數(shù)學(xué)家們可以展示他們創(chuàng)作的精美繪畫、電腦圖形和雕塑。會議的第三天晚上，許多與會者在結(jié)束一天的漫長討論后回到酒店房間或出去喝一杯，而其他人則前往喜來登酒店的大宴會廳，參加一個公開邀請的編織圈。

當然，即使是數(shù)學(xué)家也需要休息。但從骰子到繩結(jié)再到紙牌游戲，關(guān)于看似平凡事物的證明層出不窮，這證明數(shù)學(xué)家對平凡事物的迷戀遠不止消遣。通常，深刻的數(shù)學(xué)突破可以追溯到關(guān)于簡單日常事物的閑聊問題。

真正的問題

每個數(shù)學(xué)家都曾在一張廢紙上草草記下過一些公式或觀察結(jié)果，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)錯誤，于是揉成一團扔掉。因此，紙張的折疊和褶皺引出了眾多數(shù)學(xué)定理也就不足為奇了。

2022年， 史蒂文·奧內(nèi)斯（Steven Ornes）在《量子雜志》上發(fā)表了一篇文章，https://www.quantamagazine.org/the-new-math-of-wrinkling-patterns-20220922/ ，介紹了數(shù)學(xué)家伊恩·托巴斯科（Ian Tobasco）為理解皺巴巴的紙張如何從所有可能的形狀中，選擇出一種看似隨機的折疊模式所做的努力。他發(fā)現(xiàn)，材料初始形態(tài)的不同曲率可以決定它在被揉皺后會形成什么樣的褶皺。

最有序的褶皺——折紙（origami）——也是數(shù)學(xué)界的寵兒。Tobasco在其關(guān)于褶皺的研究中，以著名的平行四邊形三浦折紙（Miura-ori，由日本天體物理學(xué)家三浦公亮發(fā)明，靈感來源是蜻蜓的翅膀和樹葉的紋路）圖案作為參考框架。

2017年，物理學(xué)家 Michael Assis 將三浦折紙圖案與統(tǒng)計物理學(xué)聯(lián)系起來，對它有了新的理解 https://www.quantamagazine.org/the-atomic-theory-of-origami-20171031/ 。他將折紙圖案視為由原子組成的晶格，并將褶皺之間的錯位編碼為晶體缺陷。這使得他能夠揭示折紙結(jié)構(gòu)中的某種相變。“從某種意義上說，這表明折紙是復(fù)雜的，”他說道，“它具備現(xiàn)實世界材料的所有復(fù)雜性。而最終，這就是你想要的：現(xiàn)實世界的超材料（metamaterials）。”

史蒂夫·納迪斯 (Steve Nadis) 在2020年與 L. 馬哈德文 (L. Mahadevan) 的問答 https://www.quantamagazine.org/l-mahadevan-finds-math-inspiration-in-the-mundane-20201026/ 中也探討了日本的折紙藝術(shù)，以及大腦和腸道組織褶皺的自然形態(tài)。馬哈德文將世界視為數(shù)學(xué)實驗室，“在平凡中發(fā)現(xiàn)崇高”。他還研究了蘋果的形狀、泥土的開裂以及谷物在牛奶中的結(jié)塊。

Persi Diaconis 的職業(yè)生涯始于職業(yè)魔術(shù)師，之后轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)。此后，他證明了許多關(guān)于撲克牌的結(jié)論，包括著名的“需要洗牌七次才能保證牌完全隨機”的原理。事實證明，通過探究魔術(shù)的本質(zhì)，你可以學(xué)到很多關(guān)于隨機性、概率等方面的知識。Erica Klarreich 于2015年為量子雜志報道了部分相關(guān)研究成果 https://www.quantamagazine.org/persi-diaconis-mixes-math-and-magic-20150414/ 。

像拓撲學(xué)這樣更抽象的研究領(lǐng)域聽起來可能很奇特，但我們每天早上都會遇到它們。數(shù)學(xué)家用兩種早餐食品來解釋拓撲學(xué)：咖啡杯和甜甜圈是等同的。我們出門前會用拓撲結(jié)系鞋帶。數(shù)學(xué)家們一直在探索構(gòu)造許多拓撲形狀的最極端版本，包括最粗的莫比烏斯帶和最優(yōu)三葉結(jié)。

Kevin Hartnett去年的一篇文章分析了最近四項此類突破 （https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-the-best-versions-of-iconic-shapes-20240105/ ），并探討了數(shù)學(xué)家如何利用這種理解來提出更深層次、更抽象的問題。

幾個月前，又一場構(gòu)建奇特事物的競賽終于落下帷幕。四面體——一種由四個三角形面組成的金字塔狀結(jié)構(gòu)——是最基本的立體之一，但正如量子雜志撰稿人 Elise Cutts 今年夏天所寫 https://www.quantamagazine.org/a-new-pyramid-like-shape-always-lands-the-same-side-up-20250625/ ， “幾千年過去了，即使是最簡單的形狀，也依然充滿了謎團”。她的文章描述了其中一個謎團是如何被破解的——不僅在證明中，而且在物理世界中。數(shù)學(xué)家們構(gòu)造了一個只能靠四條邊中的一條支撐的四面體，這讓他們對這種基本形狀的性質(zhì)有了更深入的理解。

在所有這些情況下，有關(guān)瑣碎和日常的問題對于使數(shù)學(xué)世界變得更加豐富、更加有趣都至關(guān)重要。

網(wǎng)絡(luò)上的內(nèi)容

我們都曾在機場等飛機，無聊得盯著大廳的瓷磚地板。但有多少人會用 MathOverflow 來討論瓷磚的數(shù)學(xué)問題呢？我收藏了 https://mathoverflow.net/questions/478547/is-there-mathematical-significance-to-the-laguardia-floor-tiles ，下次從拉瓜迪亞機場出發(fā)時再用。

視覺藝術(shù)的核心是線條和空間，數(shù)學(xué)家們當然也會對此爭論不休。阿爾布雷希特·丟勒創(chuàng)作版畫 《憂郁一號》 五百年后，他們?nèi)匀粺o法確定他筆下憂郁的天使究竟凝視著哪個三維形狀，或者他只是不擅長透視。Wolfram MathWorld 上的這篇文章 https://mathworld.wolfram.com/DuerersSolid.html 給出了最受歡迎的答案，但完整的爭論請見維基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_triangular_trapezohedron%C3%BCrer's_solid 。

Ars Technica 報道了四位數(shù)學(xué)家聯(lián)合發(fā)明的全新骰子，形狀奇特卻絕對公平。如果你也像我一樣，打算讓你的 D&D 小組從現(xiàn)在開始擲犰狳骰子，該團隊發(fā)布了 STL 文件 https://hbaktash.github.io/projects/putting-rigid-bodies-to-rest/index.html ，方便3D打印。

在滑鐵盧大學(xué) Craig Kaplan 的這篇精彩的 Mastodon 帖子中，數(shù)學(xué)家們努力解釋一個所有 D&D 玩家都討厭的現(xiàn)象 https://mathstodon.xyz/@csk/114931260772358327 ——為什么 D12 骰子似乎總是會從桌子上飛出去。Kaplan 通過電子郵件告訴我，這個問題仍未得到解決，但他迫切地期待著一個嚴格的證明。

參考資料

https://mailchi.mp/quantamagazine.org/why-colliding-particles-reveal-reality-4867360

https://www.quantamagazine.org/the-new-math-of-wrinkling-patterns-20220922/

https://www.quantamagazine.org/the-atomic-theory-of-origami-20171031/

https://www.quantamagazine.org/l-mahadevan-finds-math-inspiration-in-the-mundane-20201026/

https://www.quantamagazine.org/persi-diaconis-mixes-math-and-magic-20150414/

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-the-best-versions-of-iconic-shapes-20240105/

https://www.quantamagazine.org/a-new-pyramid-like-shape-always-lands-the-same-side-up-20250625/

https://mathoverflow.net/questions/478547/is-there-mathematical-significance-to-the-laguardia-floor-tiles

https://mathworld.wolfram.com/DuerersSolid.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Truncated_triangular_trapezohedron%C3%BCrer's_solid

https://hbaktash.github.io/projects/putting-rigid-bodies-to-rest/index.html

https://mathstodon.xyz/@csk/114931260772358327

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