數學到底是什么？最聰明的數學家長年累月的思考方法與小學生相似？

數學到底是什么？

數學及其思想是如何從古代、中世紀、近代一路走向現代的？

這其中經歷過怎樣的轉折？

我們為什么要了解數學的發展脈絡？

學問發展的一個有趣之處就是“最前沿”與“最簡單”相連通，數學家經過長年累月的思考，所研究的最難之處，其思考方法卻與小學生的思考方法相似。現代數學的思考方法（僅指思考方法）與小學生所學習的數學非常接近。

遠山啟在其《數學與生活》系列中非常注重不同數學領域、不同數學知識之間的聯系，而且是既有知識之間邏輯推理的聯系，也有歷史發展的先后承繼的聯系，讓讀者對數學產生可親近感。

新書《數學與生活5》更是延續以往風格，著眼于數學思考方法的歷史發展，引導讀者對數學產生更深刻的理解。

《數學與生活5：數學的歷史、現代與方法》

作者 | [日]遠山啟

譯者 | 武曉宇

01

數學的變遷

數學一直在變化，我想和大家聊聊這個話題，這將非常有助于各位理解數學，弄懂數學究竟是什么。

或許有人納悶：“數學真的在變化嗎？”這里說的“變化”，其實是數學在“容貌”上的變化。雖然數學的本質沒有改變，但其“容貌”在從古代到現代的歷程中產生了諸多變化。了解這些變化，將能更好地從本質上理解數學。

在所有學問中，數學恐怕是最古老的一門學問了。早在幾千年前人類文明剛剛開始的時候，數學這門學問便已萌芽。從這個意義上說，數學真可謂源遠流長。

為了考察跨越幾千年的數學歷史，我們最好將其劃分為幾個時代，這樣會比較方便。本書的劃分方法并非學界定論，而是我根據數學的發展做出的劃分。我認為這種劃分方法能讓各位更好地理解數學“容貌”的變化。

我將數學的歷史劃分為古代、中世紀、近代、現代四個時代，并將在后文中分別說明數學在這四個時代是如何變化的。

古代數學，是指古代文明時期誕生的數學。古代文明是指古埃及、古巴比倫、古印度和中國。這些文明以農業為中心而誕生。這個時期的數學，現在多出現在小學數學的課程中。在古代與中世紀的交替之際，古希臘人開辟了全新的數學，之后數學就進入了中世紀。在漫長的中世紀時期，為數學史劃分出下一個時代邊界的是17世紀的笛卡兒。大家可能都非常熟悉，笛卡兒構想出了坐標，而這就是近代數學的開端。近代數學從17世紀持續到19 世紀，而從20世紀起，數學就進入了現代數學的階段。

現代數學是進入20世紀之后的數學，是數學史中最新的那一段，也是數學發展的前沿。正因為如此，有些讀者可能覺得，現代數學的思想相當難，不是一兩天就能理解的。但實際上，從某種意義上來說，現代數學反而比古代、中世紀、近代的數學更好理解，因為它有更加接近常識的一面。

從20世紀開始的現代數學，從某種意義上說，其思考方法（僅指思考方法）與小學生所學習的數學非常接近。也就是說，“最前沿”與“最簡單”相連通，這也是學問發展的一個有趣之處。數學家經過長年累月的思考，所研究的最難之處，其思考方法卻與小學生的思考方法相似，真是有趣。

現代數學中的很多構想，比如集合，已經逐漸進入了學校的數學教科書中。而對于這些內容，一些學生家長當年上學時可能根本沒學過，當孩子問家長相關內容時，家長也就不知如何應對。本書或許也能對這類家長有所幫助。

古代數學其實并沒有數學中常見的“定理—證明”體系，可以說是非常經驗性的東西。古代數學時期的著作，現在留存不多。這些書中會有一些名為“定理”的“一般性法則”，但這些所謂的“定理”并不是以“證明”的形式產生的。古代數學的著作，其形式多是收錄很多問題，并記錄這些問題的解答方法。

02

古代數學——古埃及、中國

想了解古代數學，其實只要回想一下小學的算術即可。公元前三四千年時，古埃及的數學書記錄的便是這類內容。這些數學書的各章記載了相似的問題，并講述了問題的解法。此時的數學書沒有記錄“一般性法則”，而是通過讓研讀者不斷解題，最終自行獲得一般性的解法。

另外，中國有本較為古老的數學書叫《九章算術》。這部數學書總共由九章構成，故得其名。《九章算術》具體的成書年代不詳。據研究者的推測，其內容原本大約出現在中國的戰國時期，秦統一天下后，秦始皇焚書坑儒，《九章算術》這類數學書也未能幸免。在秦之后的漢代，有人搜集了散落在各地的殘章，重新整理、增補，編纂出了《九章算術》。中國有很多數學著作，《九章算術》是其中較為古老的一部，其寫作方式也與我們前文提到的相同：它沒有使用“定理—證明”的體系，而是收錄許多類似的題目，然后記錄這些題目的詳細解法。值得一提的是，與同時代其他地方的數學著作相比，《九章算術》的內容是最先進的。

《九章算術》第八章的題目為“方程”。這便是現在數學中經常使用的“方程”的術語起源。由此也可以看到，“方程”可謂歷史悠久的古物。“方”是“比較”之意，“程”則指大小，也就是“量”之意。也就是說，“方程”即“對量進行比較”。現在的方程其實也有這層含義，即“對等號左右兩邊的量進行比較，使其相等”。這就是我們今天所說的一次方程。《九章算術》非常系統地記錄了這類方程的解法。但即便是《九章算術》這樣優秀的數學著作，也沒有使用“定理—證明”的體系來撰寫，所以我之前才說古代數學是經驗性的。

在當時，《九章算術》是為官吏（政府的工作人員）學習數學而編寫的。之前我們提到過的古埃及的數學書也是如此。這類書相當于現在國家公務員考試的參考書，而不是大眾讀物。也就是說，如果不掌握這些書上的數學知識，那么當時政府的工作人員就無法順利完成工作。例如，計算田地的面積就需要掌握四邊形、三角形、圓面積的相關知識。而且，在古代數學中，出現過即便從現在的角度看，水平也相當高的數學內容。例如，在古巴比倫的數學中，出現過現在的二次方程的解法。

數學究竟是如何發展出這些內容的呢？

我認為是當時的社會發展對數學提出了這種程度的要求。例如，維持國家的運轉需要有效的行政系統，那自然就需要建立稅收系統。另外，修建道路、興建治理河流的水利工程以及建造金字塔之類的大型建筑，這些都需要管理者具備相當高水平的數學知識。

由此可見，數學果然不是頭腦中單純的思維游戲，它的發展是在社會發展需求的刺激下產生的，在古代文明時期尤其是這樣。

在以農業為主的古代文明國家中，還有一門學問與數學一起獲得了發展，那就是天文學。古代天文學的發展，絕不是因為古代人出于樂趣去眺望星空，而是為了滿足農業上的需求。

對于農業而言，了解氣候，也就是了解季節之事是最重要的。我們現在都知道，一年有365天，但古時候的人們最初并不知道這一點，這其實是長時間觀星而得出的結果。如果不明白這一點，那么人們就無法知道應該在什么時候播種。了解時節變化，把握季節更替，對于農業國家而言至關重要。即使到了現代，雖然住在城市里的人已不用再過多關注季節變化，與播種之類的事情也漸行漸遠，但對于依舊從事農業的人而言，不了解季節之變可以說就無法生存。所以，以農業為主的古代國家，其天文學自然會得到發展。

天文學的發展中會出現計算方面的需求，而這則會刺激數學的發展。可以說，這是數學發展的基礎。古代數學的“容貌”，大致就是如此了。

03

古希臘數學與泰勒斯

古代數學進化到下一階段，其契機來自古希臘文明。大約在公元前6世紀到公元前5世紀，古希臘文明登上歷史舞臺。與古埃及、古巴比倫等文明不同，古希臘的農業并不繁榮，出產的農作物多是橄欖、葡萄等。

古希臘以商業貿易為主，即將橄欖、葡萄等產物用船賣到地中海附近的地區。也正因為如此，古希臘所需要的數學知識也不同于之前那些以農業為主的文明古國。

各位讀者可能在課堂中聽說過古希臘的七賢之首泰勒斯（約前624 —約前547）。泰勒斯常被稱為古希臘哲學的開山鼻祖，他其實也是古希臘數學的開山鼻祖。另外，據說泰勒斯還是一位商人，頭腦非常好，做生意做得也挺成功。

那個時期的古希臘人會頻繁到古埃及和古巴比倫做生意，得益于此，古希臘人也學習了古代數學的成果。之后，古希臘人用一種全新的思考方法將數學推進到了一個全新的階段。這種新的思考方法是什么呢？那就是古代數學中所欠缺的“證明”。

泰勒斯本人并沒有撰寫過任何著作。在那個時期，人們似乎并不把寫書看作了不起的事情。當時的著書者，多被世人看作二流之人，而非一流。例如，耶穌本人沒有寫過書，釋迦牟尼也沒有。佛經多是釋迦牟尼的弟子對其說教的記錄。蘇格拉底（前470 — 前 399）自己也未曾寫書，其話語大多由他的弟子柏拉圖（前427 — 前 347）以“對話”的形式記錄下來。中國的孔子也是如此，《論語》也是由其弟子記錄孔子的言論而寫成的。在那個時期，偉大的思想家自己都不怎么寫書。

泰勒斯也是此類“不著書者”之一。他思考的事情，以及他是如何思考的，也都是由他人記錄下來的。當然，這些記錄中也包括他對數學的思考。據說，泰勒斯的數學成就之一便是提出了三角形全等的判定定理，即兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。換言之，如果三角形的兩個角及其夾邊確定，那么這個三角形便確定了。泰勒斯最先提出了這個三角形全等的判定定理，并對其進行了證明。

其實，泰勒斯之所以會提出這個定理，與他所從事的生意有很大的關系，或者說和他父親是往返于地中海的商人有很大的關系。如果想通過海岸線上的兩點來判斷在近海上航行的船只的位置，那么就可以使用這個定理。例如，可以測量陸地海岸線上的兩個點分別到船只方位的角度，知道了這兩個角度以及兩點間的距離，便可以確定一個三角形，也就可以確定船的位置。另外，據說泰勒斯還證明了“等腰三角形的兩個底角相等”。

泰勒斯將“證明”一詞帶到了數學中。此后，“證明”，即“描述一般性法則，并對其進行證明”，成了數學中不可或缺之物。從這層意義上說，古希臘以前的數學與古希臘之后的數學，可謂大不相同。就這樣，古希臘人開辟了數學的新時代。

《數學與生活5：數學的歷史、現代與方法》

作者：[日]遠山啟

譯者：武曉宇

• 走向現代數學的通道：一本書講明現代數學的本質和意義，讀懂百年數學。高中生應該人手一冊。

• 現代數學的“通關地圖”：針對數學教育中的“知識碎片化”問題，獨創性地用“結構”（群/域/拓撲空間）串聯現代數學核心領域，通過同構、同態等統一視角，將離散的代數、幾何、分析知識整合為有機體系。

本書是關于“數學是什么”的通俗科普讀物。作者著眼于數學思考方法的發展，將數學劃分為古代數學、中世紀數學、近代數學、現代數學，以生動的講述方法清晰呈現了數學的發展脈絡，并結合日常經驗講述了諸多數學概念與思想的來源與發展。此外，本書還通俗地講述了現代數學中的重要概念與方法，引導讀者對數學產生更深刻的理解。

《數學與生活》系列

作者：[日]遠山啟

譯者：武曉宇等

勾勒數學“通關地圖”，開創數學“全局認知”

生活故事 詮釋小學至大學數學的原理與精髓！

人性思維 消解“應試數學”帶來的數學恐懼感！

• 《數學與生活》：五年級以上中小學生，生活與數學的緊密結合

• 《數學與生活2：要領與方法》：五年級以上全體學生，數學學習法、思考法

• 《數學與生活3：無窮與連續》：初中以上，無窮、極限、微積分等概念入門

• 《數學與生活4：函數》：初中以上，函數入門

• 《數學與生活5：數學的歷史、現代與方法 》：初中以上，高中生和大本階段尤其需要好好讀