小樂數學科普：動漫迷們是如何偶然發現數學證明的——譯自Scientific American科學美國人

當某部熱門動漫劇集的粉絲想要以各種可能的順序觀看劇集時，他們提出了一個讓組合數學家困惑多年的問題。

經典動漫劇集的粉絲們希望知道：

需要多長時間才能以盡可能高的效率

按所有可能的順序觀看一部14集的動漫。

圖源：Yuriko Nakao/Getty Images

點擊zzllrr小樂公眾號主頁右上角設為星標★數學科普不迷路！

作者：Manon Bischoff 編輯：Daisy Yuhas 2025-3-3

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-3-19

數學問題的答案可以在意想不到的地方找到，包括互聯網的黑暗領域。2011年，一位匿名發帖者在如今臭名昭著、備受爭議的圖片板4chan上提出了一個關于經典動漫劇集《涼宮春日的憂郁》（The Melancholy of Haruhi Suzumiya）的數學難題。盡管這個公告板上充斥著仇恨、暴力和極端的內容，但最初的帖子卻為這個復雜的數學問題提供了解決方案。

這部動漫劇集的第一季共有14集，你可以按照自己喜歡的順序觀看。（對于像我一樣不熟悉動漫世界的人來說：Netflix上的一部名為《萬花筒》（Kaleidoscope）的8集真人驚悚片也遵循了同樣的原則。）在2011年4chan上關于該劇集的討論中，有人問他們至少要看多少集才能以所有可能的順序觀看。

事實上，這個問題與所謂的超排列（superpermutation）有關。事實證明，這個數學領域存在許多難題：直到今天，數學家仍然無法完全回答4chan用戶提出的問題。

但令人驚訝的是，在那次討論中，一位匿名用戶用一種數學家以前不知道的方法估算了觀看所有劇集的最低數量。“我需要在多篇帖子中[詳細闡述]這一點。請仔細檢查我可能遺漏的任何漏洞，”這位用戶寫道，他分幾個步驟解釋了他們是如何得出這個估計的。其他用戶隨后也提出了這些論點并進行了討論——但在4chan之外，這些都沒有引起任何轟動。似乎沒有人注意到。

極度沉迷刷劇

在數學中，兩個對象在重新排列或重新組合時會發生置換。例如，你可以將AB置換為BA。如果一部動漫劇集只包含兩部分，你可以先看第一集，然后看第二集（1-2），也可以先看第二集，然后看第一集（2-1）。

如果你想以多種方式觀看一部電視劇（也許是為了弄清楚哪種劇集順序最合理），你需要一個超排列。這是所有可能排列的序列。想象一下一場馬拉松式的節目，你先看第一集，然后看第二集，然后看第二集，再看第一集（1-2-2-1）。為了避免連續兩次觀看第二集，較短的超排列將是1-2-1；你只需要看三集就可以涵蓋所有可能的順序。

如果一部劇集由三集組成，那么找到最短的超排列就會變得有點棘手。在這種情況下，有 3!=6 個不同的序列：1-2-3、1-3-2、2-3-1、2-1-3、3-1-2、3-2-1。

幸運的是，你不必觀看3×6=18集，但可以找到一個巧妙的捷徑，在這種情況下：1-2-3-1-2-1-3-2-1。該順序包含數字1、2和3的所有可能排列，即你只需觀看9集!

數學家還計算了由n=4和n=5集組成的劇集的最短超排列（分別為33集和153集）。然而，除此之外，他們一無所知。n>5的最短超排列尚不清楚。

事實上，這個挑戰與算法中最難解決的問題之一有關：旅行商問題（TSP - Traveling Salesperson Problem，也稱旅行推銷員問題）。在這個問題中，一個人想要訪問不同的城市，最后回到家鄉。任務是找到連接所有城市的最短路線。

最短超排列是這個問題的一個變體，其中各個排列代表不同的城市。在這種情況下，你通過確定排列的重疊來分配城市之間的不同距離。例如，城市 1-2-3 和 2-3-1 有很大的重疊：第一個排列的最后兩位數字與第二個排列的前兩位數字匹配，因此它們可以組合成 1-2-3-1。

因此，我們可以在這兩個城市之間分配一個短距離。另一方面，1-2-3 和 2-1-3 不重疊。（要查看這兩個序列，你必須查看完整的六個部分；沒有捷徑可走。）因此，這些城市之間的距離很大。

要在排列中找到最短路線，你需要連接重疊最多的排列。只有一個困難：沒有已知的算法可以快速解決旅行推銷員問題。如果我們處理的是幾個城市——或者，在動漫劇集中，是幾集——這不是一個主要缺點。但一旦n變大，計算機就會無法完成任務，因為計算時間會隨著n呈指數增長。

計算機能夠計算 n=4 和 n=5 的超排列，但無法計算超過這個數字的超排列。盡管可以計算更大數字的復雜超排列，但找到最短的超排列變得更加困難。

因此，專家必須進行估算。例如，有一種算法可以幫助估算n個對象的最短超排列的長度：1!+2!+3!+ ? +n! 使用該算法，如果n=2，則得到長度為 1+2=3 的超排列。對于n=3，結果長度為 1+2+6=9。對于n=4，結果為33。對于n=5，結果為153，這對應于每種情況下的最短超排列。

然而，對于較大的n，此算法不再適用：計算機已經能夠找到比它所推導的更短的超排列。事實上，公式1!+2!+3!+ ? +n!大大高估了較大的n的最短超排列的長度。盡管該算法僅提供近似答案，但數學家將其作為起點，目的是縮小可選范圍以找到更精確的答案。

巧合與重新發現

2013年，現任新不倫瑞克省蒙特艾利森大學數學教授的納撒尼爾·約翰斯頓（Nathaniel Johnston）瀏覽了《涼宮春日的憂郁》粉絲頁面。約翰斯頓本人并不是動漫迷。他是在谷歌搜索一些與超排列相關的搜索詞后進入該網站的。在那里，他偶然發現了近兩年前在 4chan 上的討論，一名用戶將其復制到了粉絲網站上。

約翰斯頓沒有費心去計算，只是在他的博客上引用了粉絲的帖子。http://www.njohnston.ca/2013/04/the-minimal-superpermutation-problem/ 這條評論在幾年內也沒有被注意到。

2018年10月，數學家羅賓·休斯頓（Robin Houston）偶然看到了同事的博客文章。休斯頓剛剛得知，澳大利亞科幻小說作家格雷格·伊根（Greg Egan）發現了最短超排列的新最大長度，表示為：

n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)!+n-3

這本身就很奇怪。但當休斯頓開始進一步了解這個結果時，他意識到超排列的最小長度已被一位匿名動漫粉絲賦予了一個新值（他當時不知道 4chan 上的起源）。最小長度的公式為：

n!+(n-1)!+(n-2)!+n-3

同年10月23日，休斯頓在Twitter（現為X https://x.com/robinhouston/status/1054637891085918209）上分享了他的發現。“這真是一個奇怪的情況。超排列最小長度的最優下限是由一位主要關注動漫的維基匿名用戶證明的，https://mathsci.fandom.com/wiki/The_Haruhi_Problem ”他寫道。

休斯頓與他的同事、數學家杰伊·潘通（Jay Pantone）和文斯·瓦特（Vince Vatter）一起決定檢查 4chan 用戶的證明，并將其以數學方式記錄下來。研究人員于同月將他們的數學工作發布到整數序列在線百科全書OEIS https://oeis.org/A180632/a180632.pdf ，第一作者被列為“匿名 4chan 發帖者”。

那么這些公式告訴我們什么呢？如果你想以所有可能的組合觀看一部n集劇集，你必須至少看完n!+(n-1)!+(n-2)!+n-3 集（這是4chan用戶的貢獻），最多看完n!+(n-1)!+(n-2)!+(n-3)!+n-3集，這是我們通過 Egan 的工作知道的。

對于8集的連續劇《萬花筒》，你至少要看46085集，最多要看46205集。對于14集的《涼宮春日的憂郁》，這個數字急劇增加：最少 93884313611 集，最多 93924230411 集。

回想一下，這不是一個完整的解——它只是為超排列的大小設置了一個范圍，讓你能夠以任何可能的順序高效地觀看該劇集。

幸運的是，Egan 還提供了一個構建相應超排列的算法。這讓《春日》（Haruhi）粉絲們能夠找出最佳的劇集觀看順序。但考慮到每集平均長度約為24分鐘，觀看完這個超排列需要大約400萬年。

參考資料

https://www.scientificamerican.com/article/the-surprisingly-difficult-mathematical-proof-that-anime-fans-helped-solve/

http://www.njohnston.ca/2013/04/the-minimal-superpermutation-problem/

https://x.com/robinhouston/status/1054637891085918209

https://mathsci.fandom.com/wiki/The_Haruhi_Problem

https://oeis.org/A180632/a180632.pdf

科普薦書

【更多讀者好評數學書單推薦、數學科普作家自薦、出版社書單推薦通道已陸續打開，敬請期待】

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉載、投稿

查看原始文章出處

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

數學科普不迷路！