學生為何想不到？——函數壓軸題思維困局探討

學生為何想不到？——函數壓軸題思維困局探討

九年級復習備考過程中，對于二次函數壓軸題的解題教學，所有教師追求的境界，無一不是讓學生獲得突破思路，從而完成解答，我們在歷次研題過程中，一直在探索如何讓學生想到。作為數學教師，自身能解題，能講題，是兩個不同的層次，能解是基礎，能講是目標，學生學會是結果，在多數情況下，學生想不到，因此有很必要研究一個問題，那就是學生為何想不到，以一道九年級測試壓軸題為例。

題目

如圖1，已知拋物線C1：y=-x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(A在B的右側)，交y軸于點C.

(1)直接寫出AC的中點D的坐標；

(2)直線y=kx+b(k，b為常數)過AC的中點，與拋物線C1交于E，F(E在F的右側)，若點E，A的水平距離與點F，B的水平距離相等，求k的值；

(3)如圖2，將拋物線C1向右平移得到過原點的拋物線C2，拋物線C2的對稱軸為直線l，直線y=mx+n(m,n為常數且m≠0)與拋物線C2有唯一公共點P，且與直線l交于點M，點M關于x軸的對稱點為N，PQ⊥l于Q，求線段NQ的長.

解析：

01

(1)在讀題過程中，求出點A(4,0)，點C(0,4)，利用中點公式得到D(2,2)；

02

(2)逐句解讀題目條件：

“直線y=kx+b過AC中點”，我們將點D(2,2)代入，得b=2-2k，它的作用是消元，則直線y=kx+2-2k；

“與拋物線C1交于E，F”，我們聯立方程kx+2-2k=-x2+3x+4，顯然這個方程不能求數值解，只能得到含參解，并且較為復雜，雖然這也是一條路，但我們有更好的選擇——韋達定理，整理后得到x2+(k-3)x-2k-2=0，得x1+x2=3-k，x1·x2=-2k-2；

“若點E，A的水平距離與點F，B的水平距離相等”，我們需要表示出點E，F的坐標，尤其是橫坐標，不妨用x1和x2，由于并不清楚E，A或F，B的左右位置，需要加上絕對值，得|x1-4|=|x2+1|。于是可分類討論，得到x1-4=x2+1，或4-x1=x2+1；

當x1-4=x2+1時，得x1-x2=5，則(x1-x2)2=25，利用韋達定理得到的兩個等式，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1·x2=(3-k)2-4(-2k-2)=25，整理得k2+2k-8=0，解得k1=2，k2=-4；

當4-x1=x2+1時，得x1+x2=3，于是3-k=3，解得k=0；

綜上，k有三個結果，分別是0，2，-4；

03

(3)當拋物線平移時，原拋物線C1的頂點是(3/2，25/4)，平移后經過原點，相當于原拋物線上的點B平移到了原點，即向右平移了1個單位，則新拋物線C2的頂點為(5/2,25/4)，于是解析式為y=-(x-5/2)2+25/4；

直線y=mx+n與拋物線C2有唯一公共點P，我們聯立方程mx+n=-(x-5/2)2+25/4，整理得x2+(m-5)x+n=0，其中△=(m-5)2-4n=0，于是n=1/4·(m-5)2；

將其代回到聯立方程中，解得x=(5-m)/2，即點P橫坐標，于是P((5-m)/2，(5-m)m/2+n)，而點Q縱坐標與點P相同，于是Q(5/2，(5-m)m/2+n)；

拋物線C2的對稱軸為x=5/2，則直線y=mx+n與它的交點M為(5/2，5m/2+n)，由對稱性得N(5/2，-5m/2-n)；

現在我們得到了Q與N坐標，所以能表示出NQ=(5-m)m/2+n-(-5m/2-n)，推導如下：

最后發現參數m全部消掉，只剩下NQ=25/2.

解題反思

我們發現，在學生尋找解題思路的過程中，存在三處難點待突破：

第一個難點是在第2小題中，理解E，A的水平距離與F，B的水平距離相等這句話，水平距離即兩點橫坐標的差，在不清楚左右位置關系的前提下，需要加絕對值，然后分情況討論；還要與韋達定理結合起來，這又回到我們何時該使用韋達定理的問題上了，通常情況下含參一元二次方程，不能得到數值解時，會使用韋達定理來尋找兩根和與積的關系，這也是當初我們在課堂上學習韋達定理時，要向學生明確的事實，即告知學生這個定理的使用條件；

第二個難點是直線與拋物線有唯一公共點，解讀為聯立方程，然后判別式△=0，得到一個含m，n的等式后，不知道如何用，當我們得到含兩個參數的等式，一般會利用其中一個參數來表示另一個，這也是我們在學習二元一次方程組解法時的重要數學思想——消元。

第三處難點，就是學生在面對一個含多參的代數式時，會出現畏難情緒，我們發現本題實質上并沒有對二次函數本身的圖像性質有多么深入的探究，仍然是基于動點的線段長度研究，這在宜昌歷年中考壓軸題中都有出現，算是宜昌特色的考察方式。無論是存在性問題、定軸動區間類問題、定點定長問題、恒過定點或恒不過定點問題等，都以較復雜的代數恒等變換、多參數聞名，而這些所謂的“難”，在熟練掌握了以上技巧的學生面前，顯得非常容易，所以我們在很多次中考后，聽學生評價，這種題目，死算即可，不禁感到有些悲哀，數學可不僅是死算，素養也不僅是技巧。

學生在面對這些難點時，需要從題目條件出發去分析，在平時課堂上，總有少數學生，在看到題目之后，先問老師“有輔助線嗎？”在得到肯定答復后，便開始猜在哪里畫線，這種做法是本末倒置，條件都未開始分析，便去尋找輔助線，除了盲猜浪費時間，沒有別的用處。

更有部分學生，特別是中等生，面對參數，手足無措，毫無頭緒，這和平時課堂上聽講關系很大，可以斷定他們在聽老師分析題目時，沒有認真或沒有理解，只是抄寫老師板書，然后認為自已懂了，課后也沒有反思，所以那些解題方法，沒有被大腦記錄下來，只留下了“老師講過”這種最淺顯的意義。

對于課堂的意義則在于，教師在分析題目條件時，需要從學生認知出發，而不是自已的認知，很多解題高手，不一定是教學高手，原因正在于此。教師解題的思維模式和學生解題不盡相同，教師積累了大量解題經驗，反復多年進行教學，“看出”輔助線在何處，然后用口訣讓學生去記，并沒有完成授業傳道，更不用提解惑。很多解題模型，教師研究得非常深入，但學生沒有，當我們把研究很深之后的結論給學生，其實是把壓縮包給了學生，沒有解壓縮，里面的內容學生沒有理解，只記住了壓縮包的名稱。不妨問下自已，在教學生之前，這些解題模型能夠自已歸納完整，自已是如何歸納的，這才是需要教給學生的東西。

2023年部分省市優秀函數壓軸題如下：

安徽省考卷

福建省考卷

河北省考卷

湖北武漢卷

上海卷

天津卷

北京卷

這些都屬于比較有代表性的二次函數壓軸題，它們的難度各不相同，有些比本題簡單，但思維含量很高，即區分度很優秀。

當然，作為一套科學的中考數學試卷，不會把區分度押寶到最后的幾道題目上，難度應呈斜鋸齒狀分布，科學命題，任重道遠。