第十七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)專業(yè)B類試卷填空題詳細(xì)參考解答

注: 如果手機閱讀公式顯示不全, 請在公式上左滑手指顯示完整公式內(nèi)容. 以下題目為第十七屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽非數(shù)學(xué)專業(yè)B類試卷的填空題詳細(xì)解答, 思路與步驟僅供參考.

目錄

• 函數(shù)的第二類間斷點個數(shù)(同A)

• 一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)值

• 方向?qū)?shù)的計算

• 常值級數(shù)求和

• 定積分計算(同A)

函數(shù) 有______個第二類間斷點（填阿拉伯?dāng)?shù)字）.

解答：第二類間斷點是指：至少有一個單側(cè)極限不存在，或函數(shù)在該點附近趨于無窮大的間斷點。

由函數(shù)表達(dá)式可知，間斷點只能來自以下幾類位置：

(1) 要求 ，故 可能是間斷點；

(2) 時，即 ，可能是間斷點；

(3) 時，即 ，可能是間斷點。

下面分別討論。

（1）當(dāng) 時： 有 ， 而 所以 . 故 是第二類間斷點。

（2）當(dāng) 時： 此時在 的鄰域內(nèi)有 ，因此

利用等價無窮小： , , , 可得

于是 所以 為可去間斷點，不是第二類間斷點。

（3）當(dāng) 時： 有 , , , 因此分母趨于 ，分子趨于非零常數(shù)，從而 , 故 是第二類間斷點。

所以 第二類間斷點共有 個.

2、一元函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)值的計算

設(shè) 則

解答：先將函數(shù)改寫為

法 1：特殊法(主要項).由于要求的是 處的三階導(dǎo)數(shù)，只需關(guān)注函數(shù)在 附近的低階主項。由于 ，故 , 從而整個第二項與 同階，是比 更高階的無窮小。因此，決定三階導(dǎo)數(shù)的只有第一項 。 于是

法 2：泰勒展開法.由 可得

又 , 得

所以 于是由泰勒展開的唯一性知， 項系數(shù)為 ，因此

法 3：直接求導(dǎo)法.記

則 逐階求導(dǎo)得：

下面計算 處的相關(guān)值。首先，

再求導(dǎo)：

代入 ，得 于是

3、方向?qū)?shù)的計算

設(shè)函數(shù) 則 在點 處沿曲線 的切線方向（指向逆時針方向）的方向?qū)?shù)為

法 1：圖形法.注意到 只依賴于 ，即它是關(guān)于 的復(fù)合函數(shù)。因此，在圓 上， 恒為常數(shù)，所以 也恒為常數(shù)。也就是說，該圓正是函數(shù) 的一條等值線。 沿等值線的切線方向前進(jìn)，函數(shù)值不發(fā)生變化，因此方向?qū)?shù)為

法 2：公式法.令 則

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得

因此在點 處，

故梯度為 曲線 在點 處的法向量可取為 于是其逆時針方向的單位切向量可取為

所以方向?qū)?shù)為

4、常值級數(shù)求和

設(shè)數(shù)列 滿足

則級數(shù) 的和等于

解答:記 當(dāng) 時，

展開得 因此

于是

代入級數(shù)可得

這是一個裂項相消級數(shù)，因此

5、定積分計算

積分

解答.利用三角恒等變換：

所以原積分化為

令 , 則 且積分限變?yōu)椋?/p>

• 當(dāng) 時， ；

• 當(dāng) 時， 。

因此 . 再作萬能代換：令 , 則

積分上下限對應(yīng)為：

• 當(dāng) 時， ；

• 當(dāng) 時， , 所以

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