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打卡
|思考與練習
問題: 試問下列求極限過程對嗎? 如果不對, 錯誤的原因是什么? 請指出錯誤并給出正確解答過程.
判 斷 極 限 的 存 在 性
【注1】打卡內容為基本概念、基本思想與基本方法的查漏補缺,練習和問題相對比較基礎,更多提高、強化專項訓練專題可以查閱。所有練習適用于非數學專業的高等數學、微積分、工科數學分析與數學專業的數學分析課程的學習、競賽備賽與考研備考。
特別提醒:不管是基礎綜合練習,還是專項強化訓練,或者是做其他練習,一定不要做完、核對完答案后就不管了!這些題目都具有代表性,一般代表了一類問題,或者某個知識點的應用、或某個題型的求解思路與方法,不僅對于解題思路要理解、掌握,同時對于涉及的知識點、解題思想與方法要總結,對于其中的一些結論、結果最好能夠記住。同時,對于給出的參考解答過程,要仔細推敲一下,為什么這么做?問題解決的突破口在哪里?還有沒其他更好的方法,自己的方法為什么不對,或者自己想不到求解思路的主要原因是什么?最后要注意及時查漏補缺,保證在再出現類似問題時,能夠重現求解思路與過程,從而保證訓練的有效性!
【注】數學內容推文整理分享、閱讀都不容易,費時費力更費腦!參考解答僅供參考,解答過程與思路僅代表作者對問題的理解,解答過程不一定嚴謹或完全正確,或者是最優的,希望在對照完以后,不管是題目有問題,還是參考解答過程有問題,希望學友們在文后留言不吝指出!如果有更好的解題思路與過程,也歡迎通過管理員郵箱、微信或QQ以圖片、或Word文檔形式發送給管理員,對于分享的完整思路與解答過程,管理員將盡可能在第一時間推送和大家分享,謝謝!
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練習參考簡答
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解答:(1) 不對。因為改寫后的極限式與原極限式不等價。原極限式中僅僅是 ,而改寫后的極限式中要求 且 ,即改寫后的極限式比原來極限式少了一條逼近的路徑,因而由右端的極限式的極限的存在性不能斷定原極限存在,所以由右端極限等于 不能斷定左端極限也等于 。
正確方法:[法1]對任意的 ,由 ,故有
所以由夾逼準則可知 。
[法2]因為是 ,故可考慮極坐標方法,令 , ,則當 時,不管 如何變化,都有 ,故
于是由等價無窮小與有界量乘以無窮小, 得
(2) 正確。
(3)[法1]選取路徑 ,則
選取路徑 ,則
所以 時,二重極限不存在。
[法2]由極坐標方法,令 , ,則
如果 與 無關,直接的結論應該是極限等于 ——這個與[法1]矛盾? 也可以是 的函數,通過 的變化轉換為趨于 的過程。如 ( , ),即 按照這個正弦曲線路徑趨于 ,則代入上面極限式,得
對于上式,如果取 ,則以上極限為
如果取 ,則以上極限
所以 時,二重極限不存在。
注:關于二重極限的注意事項:
二重極限存在,要求 按照任意路徑趨于 的極限都存在且相等。如果有兩條不同的路徑極限都存在,但是極限值不等,則二重極限不存在;如果有一條路徑極限不存在,同樣二重極限也不存在。對于 ,常用的路徑取為沿坐標軸,如 , , , ( 為實常數),當然也可以取為其他路徑,比如 等。
一般一元函數求極限的思想與方法也適用于二重極限,但要注意在改寫函數表達式時要注意是恒等變換,如果不是恒等變換,要對可能出現的情況專門進行說明與討論。
極坐標方法求極限一般適用于 ,同時要注意 不僅可以取任何值,而且可以取為 的函數變化,當然 本身的變化也可以取為趨于 某個定值的過程,而比如當 ,此時 可以取為 的變化過程,也可以取為 的變化過程。
其中(3)題來自于《高等數學、數學分析綜合提高練習冊》,點擊推文:.
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