憶萊格特教授：“放棄”格林函數的物理大師

本文是西湖大學吳從軍教授為懷念萊格特（A. J. Leggett）教授而作。作者回憶了早年在UIUC受教于萊格特的親身經歷，著重刻畫了他獨特的治學風格：拋開晦澀的數學形式，轉而使用最樸素的方法，追求對物理圖景的領會。這種不拘教條、啟迪思想的治學、育人之道，是一場“以心傳心”的智慧交接。風姿長在，心花永傳。

撰文|吳從軍（ 西湖大學物理系 ）

托尼 ? 萊格特（ A. J. Leggett ） 教授 于 不久前 去世 ，這 個消息 令人悲傷 。

萊格特教授是著名的理論物理學家 ， 他的 一生都獻給了凝聚態物理 學的研究和教學。他在 超流、超導和宏觀量子現象 等領域內耕耘多年 ， 曾于 2003 年因為在 3 H e 超流 等 方面的貢獻獲得諾貝爾 物理學 獎。 除此之外 ，他 還對高溫超導對稱性的相位敏感探測、量子體系退相干等基本問題，做出了杰出的貢獻。

我早年在伊利諾伊大學香檳分校 （ University of Illinois at Urbana - Champaign, 簡稱 UIUC ） 學習，期間 上過萊格特教授的課 。 時間已經過去了四分之一個世紀，當年的記憶也開始模糊 ， 但是 他對我的研究和教學生涯的影響是持久的。 萊格特教授的授業解惑，不囿于表層 的 推演，而追求物理圖景的通透領會，將自 己對物理世界的深刻體悟，化作可被理解、可被傳承的真知 。 我對固體物理的直觀理解，是通過他的課才有了實質性的提升。

下面我把自己的一些 親身經歷和感受 分享給大家， 算是 對萊格特教授 的 一份懷念。

在 UIUC 上萊格特教授的課

我 在 美國讀物理學博士的頭兩年（ 2000 — 2002 年） 是在 UIUC 的 物理系度過的 。 UIUC 地處美國中部的小城， 風趣 地 說 ， 是 一座 玉米地里的名校。該校的物理系 是 公認的 凝聚態物理圣地 ， 因 1950 年代 巴丁教授（ John Bardeen ） 的加入而達到高峰 。 巴丁研究組 在 此 做出 了 常規超導 現象 的微觀理論， 被學界稱為 BCS （ Bardeen-Cooper-Schrieffer ）理論 ，是凝聚態物理最重要的成就之一。 巴丁 也因此獲得了他 的第二個諾貝爾 物理 學 獎。

那時候， 萊格特教授在教凝聚態 物理 的基礎課，包括 《 超導理論 》 和 《 固體理論 》 ， 都是 硬核的 課程 。 我 在國內的時候，已經學習過這兩門課，算是有一定的基礎。 我 當時 專 注于 鉆研 形式理論， 例如 基于格林函數的計算， 具備 一些技能 ， 但是 這 并不代表 我能夠 理解形式背后的物理。在 萊格特教授 的課上，我慢慢開了竅 。 可以說，我 對 固體物理的 理解 是 在 UIUC 的課堂上 打下的 基礎 。

為什么 我 會有這樣 的感觸 呢？

首先是 萊格特教授 的 講義 寫 得 極好 。他 用最初等的方法，把 電子 — 電子之間、電子 — 晶格之間 的相互作用 交代 得明明白白， 尤其是 對 超導和磁性等現象 解釋 得清清楚楚 。在他的講義里面， 你 幾乎 看 不到 場論和格林函數這樣比較高深的工具，甚至連 不算高深的 二次量子化 方法 也 用得 很少 。

他 的拿手好戲 是寫一次量子化的多體變分波函數 。 當你 在和他討論的時候， 他 分析 的是 電子的 運動及其對外場的 響應 ， 說的 語言 是 屏蔽、散射、交換（ exchange ）、 關聯、 相干、分子場、守恒律 、求和規則 等， 而不是 頂角、自能、 有效規范場 、禁閉 、去禁閉 等 高深 術語 。

另一方面， 萊格特教授的作業 和考試 的質量非常高， 解題 的過程非常接近于 做 真實的研究。 他 親自 將 凝聚態歷史上 的 知名工作改編 成作業和考題 ， 并且 加上他自己的見解。

那年 《固體理論》的 期末 考試 是 take - home 的。 下 圖所示的就是那年的試題 、 我的解答 和 萊格特教授批改的片段。 考試內容 采用了 一個 1990 年代末的 研究 焦點問題——二 維 電子氣中的金屬絕緣體轉變 。 這 是個相當困難的課題， 至今也沒有完全 解決 。 他 將其分解改編 成 一系列循序漸進的問題 ， 帶領我們了解實驗設置 、分析電子在其中的關聯 和散射 等 ， 極具實戰性 。 我花了幾個晚上將其解答完畢，吃力而又興奮 ，是一種和高手過招的感覺 。

圖 1. 2001 年秋季學期，萊格特教授所授《固體理論》課期末考試（ take-home ）試題、我的解答以及他的批改（片段）。他給我的成績 是 38 分（滿分 40 分），相應的批語是 “+1 bonus point (for going much further than intended on some questions)” 。

《固體理論》課程的講義、作業、考試題目，我都保留了下來。但是《超導理論》課程的資料，在后來搬家的過程中被郵局遺失，非常可惜。我后來借了同學的資料進行了復印，略微彌補了一些遺憾。

剛開始的時候，我并不習慣萊格特教授的風格，甚至還曾天真地以為他不懂格林函數，但是我很快就意識到了自己的淺薄。有一次我在圖書館查閱他早年工作的時候，發現早在 1960 年代他就是格林函數的行家了，而此方法是 1950 年代才由前蘇聯朗道學派引入到凝聚態物理的研究中的。在 1970 年代以后，他的研究風格已經成熟，就不常用格林函數了。

十幾年以后， 我 和 同行 談天，聊到萊格特教授 的 研究 風格 。 那位同行 評論 道 ， 這正 是 顯示出 他 功力 深厚 的地方 ： 格林函數 方法 有固定的程式， 正因為如此， 往往掩蓋了 鮮活的 物理 。 變分波函數 則是 把物理以最 直接 的方式 表達 出來 。 這只有當你對物理有了真正的理解之后，才能夠做到。

我深以為然。 這就像古代高明的劍客， 他 講究 的不是 優雅的套路 ，而是 如何 一招制敵。 在 凝聚態物理的歷史 上 ，最重要的兩個 理論 突破，都是通過變分波函數做出的，包括前面提到的 BCS 波函數和分數量子霍爾效應的拉夫林波函數。

萊格特教授講課的方式，也很有意思。他把講義打開，用濃重的 英國口音一字一句地讀下去。 念完一段之后， 他 抬起頭， 問一句：“ Any questions? ”如果沒有 人提問的話 ，他就默認大家都懂了，繼續往下讀。 這種教學方式很難說是先進。但是在他問話的時候，你敢于提問，那情況就大不一樣了。

我當時 在 課堂上 經常提問， 每次 答疑的時候也準備好問題向他請教。我常問的是 如何把格林函數和他 的 直觀方法對應起來。 他的評論 往往 是真知灼見 ，經常 幾句話， 就 抵得上我思索一個星期乃至更久。 不知不覺中 ，我 開始能夠“看得見”電子的運動了，開始理解它們之間的 競爭 和 協作 。

在萊格特教授的 課上，也有一些有趣的經歷。 他的課雖然不用高深的技術，可能正因為如此， 其 難度反而 很大 。 很多同學適應不了， 慢慢 地 退了課。 到了期末的時候， 課上 還剩下四個人 ，其中三個 后來 成為了物理教授 ，另外一個做了物理期刊的編輯 。 在 最后一節課 上 ， 學生們要填寫對課程的反饋，正巧 我 有事沒有去。 他 把 紙質 的 問卷放到了我的郵箱，并附上了一個便簽，上面寫道，“從軍，你也填一下吧。四缺一是 個 很大的系統誤差。”

萊格特教授對我 的 研究 和教學生涯 的影響

我在 UIUC 的時候， 導師是 E. Fradkin 教授， 跟他 在 做拉廷格液體的研究。我 的研究 進展不快， 也就 沒有余力 和 萊格特教授 在研究上面 多做 交流。

在 2002 年春季， 他 給 了我一個題目，想把他以前的量子退相干的 spin-boson 模型和拉廷格液體結合起來 ，細節已經記不清了。 可惜的是，當時我即將離開 UIUC ，這個課題也就沒有開展下去，這是一件非常遺憾的事情。

我 轉學到 斯坦福 大學 跟隨張首晟教授攻讀博士學位 。 和張老師聊天 的時候 ， 也 會 談及當代凝聚態物理學家 的工作。 張老師 對萊格特教授 也 非常 地 欽佩， 特別是 對 他 判定 3 H e 超流 證據 的工作 尤其 推崇， 讓 我細心學習體會。 這正是萊格特教授獲得諾貝爾獎 的 工作，其 基本 精神是 對稱性自發破缺導致的 相干性對微弱效應的放大[1]。

由于 3 H e 是中性原子，它 是否 處 在 超流 相 ， 不能 像超導那樣通過電阻以及抗磁性 的測量 來確定。早在 19 60 年代， 物理學家在 理論上 就 預言了 3 H e 可能 存在兩種 超流 相 。 直到 1972 年，實驗證據仍難以獲得 。 當時在低于 3 mK 的溫度下 ， 發現了兩個新 的 相 ， 然而這些相在歷史上曾被誤判 成固體 ，并未受到太多關注。隨后，核磁共振 （ NMR ） 實驗 進一步 顯 示， 在 其中一個 相 出現了神秘的共振頻率偏移，而另一個則沒有。

萊格特 教授指出 這種偏移源于 3 H e 核自旋之間的磁偶極相互作用 。 因為只有當核自旋不再守恒，才有可能導致 NMR 共振頻率的偏移， 恰恰 在 磁偶極 相互作用 中，自旋是不守恒的 。 然而 這種相互作用極 微 弱，無法解釋 觀測到的 偏移 的 幅度 。

然而 ， 如果共振頻率 的偏移 發生 在 超流相的話， 這個謎團就 可以 迎刃而解。超流體中 的 對稱性自發破缺 ， 會 導致 3 H e 原子 運動彼此同步，行話叫“相干”。 因此， 大量 3 H e 原子 的磁偶極 相互作用 會被 疊加 起來 ， 被 放大到 實驗中 觀測到 的水平 。 在 3 H e 的正常相中，原子 無序地運動 ， 這個 微弱的 相互作用 則 可以忽略 。 萊格特教授預言了 另一個相 也 是超流體，在特定條件下 也 會 出現頻率偏移，后來得到了實驗證實。 這種洞察力令人嘆服。

我在 張首晟老師指導下 做 博士論文 的工作 ， 也得益于我從萊格特教授課上學到的費米液體理論 ， 以及我從 Fradkin 教授那里受到的訓練。 論文有三個部分，其中一個 是研究費米液體理論的 磁性 相變理論，將 巡游鐵磁性推廣到具有非常規對稱性的通道 。 在做博士后期間， 我將其進一步發展，稱之 為 “ 非常規磁性 ”[2]，這是一大類新奇的量子磁性金屬物態。

在這個工作的研究中，我細心研讀了 萊格特教授 關于 3 H e 超流的 著名 綜述文章[3]，收益良多 。 非常規磁性的概念，就是 類比于 3 H e 超流的非常規對稱性提出的。 非常規磁性的 α 相和 β 相，在轉動下的對稱性質和 3 H e 超流的 A 相和 B 相是類似的 ，因此我們用 A 和 B 的 希臘字母對應 ， 來命名這些新奇的物態。

這個工作在凝聚態物理領域得到了好評。 2007 年 的時候 ，我 在找 大學里面的物理 教職， UIUC 物理系給了我 助理教授的職位 。 我想萊格特教授對這項工作應該是喜歡的。 “非常規磁性”的研究后來繼續發展。 當今凝聚態物理研究的焦點之一 —— “交錯磁性” 可以視為 “非常規磁性” 中的偶數分波 通道 的那一類 。

風姿長在，心花永傳

萊格特教授 在 2018 年寫的文章[4]，我非常推薦大家一讀 ， 最近網上也出現了這篇文章的中譯版。 其中， 他對費米液體理論有深刻的描述 。 他說在朗道以前， 凝聚態 物理學家們針對要研究的系統， 習慣于 寫下一個微觀的哈密頓量， 再 對其求解，但是對于 像 3 H e 那樣 復雜的凝聚態系統，這并不可行。 朗道轉而研究如何在可觀測量之間建立聯系，由此可以預言新的可觀測量，來供下一步實驗檢測。 這實際上就是 “ 重正化 ” 理論的 精髓。

在文章后半部分的一段里面，他批評了物理學 中 的形式主義，指出形式化的理論在數學上固然簡潔，但是對于物理的理解并非是最直接的。他評論道，“我開始的時候是一個格林函數的癡迷者（ aficionado ） ， 但是我最終看到了光明。”

不少同學喜歡做抽象的模型，但是在這些模型里面 “ 看 ” 不見電子。物理學是兩條腿走路的，形式和實在的結合 才是物理學健康的發展道路 。這可能也是萊格特教授的工作留給我們的啟示。

在當今 AI 盛行的時代，像萊格特教授這樣的長者所傳遞給后人的真知灼見，愈發顯得彌足珍貴。他的研究與教學， “ 將此 花，由我心傳至君心 ” ， 對我們這些后輩物理學家真正起到了“傳道、授業、解惑”的作用。

參考文獻

[1] A . J. Leggett: Superfluid 3 H e : the early days as seen by a theorist , R ev. Mod. Phys., Vol. 76, No. 3, July ( 2004 ).

[ 2 ] C. Wu, “ Unconventional Magnetism , ” online talk at Kavli Institute for Theoretical Physics, University of California, Santa Barbara, https://online.kitp.ucsb.edu/online/coldatoms07/wu1/ .

[3] A. J. Leggett, “ A theoretical description of the new phases of liquid 3 H e ” , Review s of Modern Physics 47, 331 (1975).

[ 4 ] A. J. Leggett, “ Reflections on the past, present and future of condensed matter physics ” , Sci. Bull. 63 (2018).

文章轉載自“返樸”公眾號