從熱力學“推導”統計物理

|作者：翟若迅 孫昌璞

(中國工程物理研究院研究生院）

本文選自《物理》2026年第3期

摘要熱現象是微觀粒子統計行為的結果，傳統上習慣于從統計物理出發“推導”出熱力學定律。然而，統計物理所依賴的基礎假設，如等概率原理和各態歷經(遍歷性)假設等，難以通過直接實驗驗證。相比之下，熱力學建立在熱機和熱循環等實驗的堅實基礎之上，因此從熱力學基本原理反推平衡態統計分布具有重要意義。文章在過去二十年關于量子熱力學的系列工作基礎上，通過在量子態上(待定的)統計分布定義內能，并利用功的力學定義自洽建立熱的概念，推導出統計物理基本要素——幾率分布，而逆溫度β作為熱的積分因子自然出現。其中的關鍵方法是將Carathéodory于1909年提出的可積性思想推廣到微觀，引入“量子熱力學可積性”，給出統計分布和溫度滿足的熵可積方程。這個方程在細致平衡情況下的特解恰好是平衡態的正則分布，而一般的非正則解描述遠離熱力學極限的有限系統，能夠刻畫黑洞信息轉換為輻射物質關聯的信息丟失佯謬。

關鍵詞量子熱力學可積性，正則分布，非正則分布，有限系統，黑洞信息丟失佯謬

01

統計物理基礎的一些問題

人們通常將統計物理學看作宏觀熱力學的微觀基礎。通過對大量微觀粒子統計行為的分析，可以推導出熱力學的基本定律，從而在系統的宏觀性質與微觀機制之間建立起邏輯的橋梁[1—4]。平衡態統計物理的正則分布(或稱玻爾茲曼分布、吉布斯分布)，在對物質熱力學性質的分析中舉足輕重。然而，盡管統計力學意義深遠、應用廣泛，但在其基本原理方面，各種觀點卻莫衷一是：遍歷性假設[2，4，5]、系綜理論[2，4，5]、最大熵原理[6—8]、基于量子糾纏的正則典型性[9—12]……

事實上，所有這些統計物理原理都建立在難以直接實驗證實的命題上。玻爾茲曼在19世紀末提出了遍歷性假設：在一個孤立系統的長期演化中，系統的狀態會“遍歷”相空間中所有滿足約束的微觀狀態。由此可以推斷，該系統對物理量的長時間平均與相空間上的統計平均相等。而從遍歷性理論出發的統計熱力學遭到了嚴厲的批評：簡單的估算表明，在一立方米的盒子里，一個氣體分子要遍歷相空間中所有的狀態，大約要經過近50億年的時間，這已經與宇宙年齡可比！這意味著對于相空間更加龐大而復雜的多體系統，實現遍歷在可預期的時間內是不可能的。楊振寧先生在2001年對他的訪談中坦言，遍歷論在統計力學的基礎上并不能給予了我們有用的見解[13]。他指出：

“在統計力學的早期階段，遍歷理論的確曾引發了廣泛的討論。尤其對于數學家而言，涉足這一課題極具價值；然而在20世紀，統計力學的發展主要集中在平衡統計力學領域，并且基本上是在很少依賴遍歷理論的情況下獨立推進的。這并不意味著未來不應繼續研究遍歷理論，但我懷疑在21世紀，遍歷理論不會對統計力學的發展產生實質性的影響。”

然而，與統計力學相反，宏觀熱力學卻是建立在堅實的實驗證據之上的學科。它發軔于瓦特開創的蒸汽機時代，熱力學的基本定律在無數以熱機應用和熱力學循環實驗的千錘百煉中逐漸成形，并最終成為了宏觀世界牢不可破的鐵律。上述事實蘊含著一個基礎性的問題：將熱力學這樣一個證據堅實的宏觀理論建立在統計力學所依賴的抽象假設之上，邏輯上是否合理？更進一步說，我們是否能反其道而行之，從熱力學基本原理推演得到系統平衡態的微觀統計分布？(圖1)

圖1 熱力學和統計物理的基礎性問題

不過，盡管熱力學具有堅實的實驗基礎，其邏輯基礎仍然存在問題。要將熱力學作為統計物理的基礎，需要澄清該理論自身的邏輯問題。熱力學理論是圍繞著傳熱與內能這兩個獨特的概念 建立起來的，其第一和第二定律也都在刻畫它們的性質。在通常的熱力學理論中，系統的內能被定義為絕熱過程中的做功，則根據熱力學第一定律，傳熱為非絕熱過程中的內能變化減做功；于是，絕熱過程的定義變得至關重要。若將其簡單的定義為“傳熱等于0”的過程，則會導致邏輯上的循環：內能依賴于絕熱，傳熱依賴于內能，絕熱依賴于傳熱。該問題的提出可以追溯到1909年，Carathéodory試圖通過不依賴于熱量定義絕熱過程來規避這一點。王竹溪先生在《熱力學簡程》中明確提到了這一點[14]：

“喀喇氏(注：即Carathéodory)同時指出，既然在用熱過程來定內能的時候還沒有引進熱量這一概念，而是在內能確定之后通過(3)式才引進熱量的，那么在邏輯上絕熱過程的定義中就不應當包含熱量。”

Carathéodory以絕熱過程為理論的出發點，重新構建了熱力學的公理化體系[4，14—16]，尤其是將絕熱過程存在不可達點的性質與熱力學第二定律聯系起來，提出了熱力學第二定律的Carathéodory表述：

“在任意初態的任意鄰域中，總存在不能通過狀態的絕熱變化任意接近的點。”

這種絕熱不可達性表明，僅僅通過力學變量不足以完整描述熱力學的狀態空間。對于平衡態系統，這意味著存在一個描述系統狀態的額外熱力學參數。根據Carathéodory的可積性定理[4，15，16]，可以證明經典熱力學中傳熱具有可積性[3，4，16—19]。在該方法中，傳熱的積分因子起到了額外的熱力學參數的作用。下面我們用簡單的例子說明為什么β可以用作系統的溫度。考慮一個有兩部分的系統的微分過程，其兩部分與外界的傳熱分別為δQ1和δQ2，它們的積分因子分別為β1和β2。在該過程中它們的熵變寫為dS1=β1δQ1，dS2=β2δQ2。如果兩個系統處于平衡態，則整個系統的傳熱δQ=δQ1+δQ2也有積分因子β。系統的總熵是一個可加的函數，即dS=dS1+dS2，則上述方程給出β=β1=β2。這意味著達到熱平衡態的物體之間傳熱的積分因子β相等，這恰好與溫度的性質相吻合。上述討論意味著，溫度是通過熱力學定律自然“演生”出的新概念。

然而，以往對絕熱過程的定義在科學邏輯上不能盡如人意。這些定義通常依賴于經驗性描述，而完美的絕熱在經驗中是不存在的。Carathéodory也并沒有完全繞開這個問題，其對絕熱過程的數學描述也使用了代表傳熱為零的Pfaff方程δQ=0。因此，對熱力學絕熱過程的定義仍然需要進一步的澄清。事實上，僅僅從宏觀熱力學的框架出發，很難對絕熱過程做出嚴格且自洽的定義，想真正嚴格定義絕熱過程和傳熱的概念，就必須從微觀的視角出發，量子熱力學理論的發展恰好了完成了這項任務，它搭建起從熱力學基本定律通向平衡態統計物理的橋梁。

本文將從量子熱力學出發，嚴格定義熱力學中的核心概念——傳熱和內能。將量子熱力學中傳熱的定義與熱力學可積性相結合，就引入了量子熱力學可積性的概念。再利用量子熱力學可積性與細致平衡假設，推導出平衡態系統的統計分布——正則平衡態分布，即吉布斯分布或玻爾茲曼分布。同時，如果不考慮熱力學極限相關的細致平衡原理，量子熱力學可積性還給出有限系統的非正則分布。這類分布在有限系統中廣泛存在，其引發的信息關聯可以作為黑洞信息丟失佯謬的解釋。

02

量子熱力學中的做功與傳熱

在20多年前，我們思考了一個十分樸素的問題[20—22]：既然量子計算機利用其基本部件(量子比特)量子特性，原則上在執行某些計算任務時顯著超越經典計算機，那么，若熱機的工作物質具備量子性，它是否也會表現出不同于(甚至超越)經 典熱力學的行為？針對這個問題，我們對量子做功物質的熱力學過程(特別是熱循環過程)進行了系統深入的研究，形成了量子熱力學的基本框架(表1)，并進一步與介觀(有限尺度和有限時間)熱力學的研究相結合，在量子熱力學循環及其熱機功率效率優化方面取得了一些成果[21—27]。

表1 量子經典熱力學中基本概念的對比

其實，研究量子物質的熱力學性質，必須對量子體系明確界定傳熱、絕熱等熱力學的基本概念，不然就可能在量子框架中出現違背熱力學第二定律的各種“佯謬”[20，28]。當這些基本物理量被自洽地定義后，研究結果表明，量子熱機在某些參數條件下的確可能表現出優于經典熱機的性能[29，30]，但依然未能突破熱力學定律的約束。同時，量子熱力學中功與熱的嚴格定義，也為經典熱力學中傳熱概念提供了更為精確的刻畫。

下面我們對量子熱力學中內能和傳熱的微觀定義做詳細說明。設量子系統的能級為E1, E2,…，處在每個能級的概率(布居)為P1, P2 ,…。量子熱力學首先給出內能的定義，即量子系統的總能量，其微分可以分解成兩部分：

其中左邊第一項代表了由于布居數改變導致的內能變化，第二項代表了能級改變導致的內能變化。在量子熱力學的框架下，第一項被稱為傳熱，第二項則是做功。

圖2 無限深勢阱的量子絕熱過程

接下來我們具體說明第二項為什么代表了做功。以如圖2所示的一維無限深勢阱內的粒子為例，其外參數λ在該問題中是勢阱的寬度L，每個能級的能量為En=π2?2n2/2mL2。考慮系統的外參數L無窮緩慢地從L變化到L'，則根據量子絕熱定理，這種緩慢的變化不會引起瞬時本征態之間的躍遷，各個能級的布居Pn保持不變。能級n對外參數的廣義力由Feynman—Hellmann定理給出[31，32]，Xn=?En/?L。于是宏觀的廣義力是其平均值
。此過程中內能的變化等于做功，這正符合熱力學絕熱過程中做功和內能的關系。上述討論意味著量子絕熱過程實際上就是一個熱力學絕熱過程[33]，同時應指出，熱力學絕熱過程并非總是量子絕熱過程。于是，在量子熱力學的框架內，內能和做功的微觀表達式為

根據熱力學第一定律，我們就得到了傳熱的微觀表達式：

這個結果可以直接推廣到宏觀——由相空間的分布定義內能和傳熱。可以看到，在量子熱力學的框架內，內能和傳熱的定義邏輯上不再循環：先通過哈密頓量(能量)的期望值定義內能，然后通過量子絕熱過程的討論確定做功。再通過熱力學第一定律，我們得到了傳熱的定義。這意味著量子力學可以從微觀角度澄清熱力學基礎概念問題。

03

量子熱力學可積性：從平衡正則態到非正則態

下面我們介紹量子熱力學可積性的基本思想。對于量子系統，其平衡態正則分布為

這個概率分布滿足如下方程：

這意味著在能量子流形ESM≡{E=(E1, ?, EN)}上的做功和傳熱是可積的，因為其積分與路徑無關：

這種量子熱力學可積性與熱力學第二定律有著深刻的關聯：上面的公式意味著對給定的逆溫度β，任意閉合回路都不能輸出非零的功。假設公式(4)中的積分為a，對于a>0，則通過該回路可以從單一熱源提取功；對于a<0，可以通過其逆回路從單一熱源提取功。根據熱力學第二定律的開爾文表述，只能有a=0。那么，方程(3)是否可以作為統計物理的基本方程呢？如果將溫度也納入考量，則量子熱力學可積性又表現出什么其他的性質呢？

圖3 量子熱力學可積性在不同空間中的表現

我們將Carathéodory原理保證的熱力學變量β也納入考慮，將量子熱力學可積性推廣到更大的空間中(圖3)——熱力學流形TDM≡(β,E)。根據經典熱力學可積性，傳熱存在積分因子β，即d(βδQ)=0。我們證明，在宏觀的量子熱力學可積性，可由微觀量子熱力學流形中的可積性條件確定。微觀量子熱力學可積性自然要求方程(3)成立，此外還要求另一個方程：

我們稱方程(3)和方程(5)為描述微觀熱力學可積性的熵可積方程(entropy integrable equations ,EIE)，它使得熱力學定律給出平衡態微觀分布的限制。

第一個熵可積方程(3)意味著在ESM中存在一個熱力學態函數F(β,E)，使得概率分布是它的梯度，即P=?F。概率的正定性要求對于任意的En都有?F/?En≥0。由此容易驗證dS=βδQ=d[β(U-F)]。不失一般性，我們將熱力學熵定義為S=β(U-F)，這等價于F=U-TS。對正則分布，F就是熱力學中的Helmholtz自由能，于是我們將這里的F稱為廣義自由能，從微觀的角度看，它是概率分布的生成函數。

正則平衡態分布是熵可積方程的特解，但僅有熵可積方程不足以給出正則分布。要想將平衡態統計物理建立在量子熱力學可積性的基礎上，我們需要考慮額外的基本假設——細致平衡假設[34]。如果系統的躍遷滿足如下動力學
，則其一般的穩態應當滿足。而對于具有時間反演對稱性的平衡態，每兩個能級之間的躍遷過程都應當被其逆過程所平衡，于是兩個能級的相對概率等于躍遷率之比。這里Tn→m取決于系統的各個能級的能量。在對熱力學的“微觀”思考中，我們將系統和環境分開討論，這一點只有在系統和環境的耦合相比其自身哈密頓量很弱時才能辦到。這種很弱的耦合通常是造成系統各個本征態之間躍遷的原因。量子力學的微擾理論告訴我們，這種耦合導致的量子態之間的躍遷到一階時不受到中間態的影響。根據這一點，我們進一步做一個假設：能級之間的躍遷率Tn→m僅僅與n和m的兩個能級的能量Em和En有關，即fmn=fmn(β, Em, En)。結合上述細致平衡原理與量子熱力學可積性，方程(2)最終給出正則平衡態的分布。

至此我們從量子力學功和熱的定義出發，與熱力學第一、二定律相結合，得到了熵可積方程描述的量子熱力學可積性[25]。再結合細致平衡原理，從量子熱力學可積性中確定了正則平衡態的分布。在上述過程中，量子熱力學可積性和細致平衡原理事實上起到了與正則系綜理論類似的作用，即推導統計分布。在這種意義上，量子熱力學可積性可以看作是具有平衡態統計物理學的邏輯自洽、具有堅實實驗基礎的基本原理。

04

量子熱力學可積性，非正則統計及其標度性質

到目前為止，我們涉及了三個物理假設：量子熱力學可積性、細致平衡條件和能級交換對稱性，它們重現了正則平衡態的結果，并沒有給出“新的物理”。然而超越正則平衡態的結果可以出現在系統與熱庫的尺度有限的時候。此時，系統與熱庫的相互作用相比熱力學極限時更強，進而系統對熱庫的反作用逐漸變得不可忽視，此時一階微擾不再適用，系統能級之間的躍遷對中間態的依賴就體現了這種影響。這意味著前文提到的“細致平衡原理”被破壞，能級之間相對概率與其他能級的能量有關，導致系統不再處于正則平衡態[35—37]。

為了描述這樣的系統，我們考慮熵可積方程的非正則解。在這些非正則解中，溫度不再有良好的定義，而是通常在給定β附近有一個“漲落”[38—40]：這就是熵可積方程給出的一個特殊的非平衡穩態——不同溫度下正則態的疊加。非正則態的廣義自由能為

其中F(β',E)是正則態的自由能，而Γ(β, β' )是逆溫度β' 的疊加系數，β是逆溫度的“平均值”。為保證非正則態是熵可積方程的解，疊加系數Γ應當滿足方程，該方程進一步給出Δβ2=σ2β2，其中σ2代表了溫度的相對漲落。該相對方差趨于0時非正則態回到平衡正則態。當σ很小時，非正則分布可以作展開，其概率分布變為

后面我們指出，這個非正則解正好描述分布中的關聯，可以用于分析黑桐信息丟失之謎。

對偏離熱力學極限的系統來說，這種溫度的“漲落”具有顯著的效應，那么這種漲落以怎樣的方式與系統的有限尺寸聯系在一起？要回答這個問題，就要定量描述系統偏離熱力學極限時的行為，漲落在相變系統中表現。在熱力學極限下，有些系統的熱力學性質會在一些點發生突變，這些點被稱為臨界點。在臨界點附近，各種物理量對臨界點的距離呈現標度關系，這些標度關系的冪指數被稱為臨界指數。以二維Ising模型為例[41，42]，其序參量為磁化率m，在臨界點附近，系統的自發磁化滿足標度關系m∝t1/8，t=(βc-β)/βc是到臨界指數的距離，其中
是模型的臨界點。磁矩的臨界指數為1/8。對于二維Ising模型的非正則態，設其溫度疊加系數Γ(β, β' )是一個高斯函數，數值計算發現其在臨界點處的奇異行為被“平滑化”了，如圖4所示。

圖4 二維Ising模型在臨界點附近非正則態的自發磁化和熱容

這與相變系統在尺度有限時的行為如出一轍[43—46]。那么，這種非正則態是否具有與有限尺度相變系統更深層的聯系呢？我們可以定量證明，非正則態對溫度相對漲落σ=Δβ/β滿足如下標度關系：

而對于特征尺寸為L的有限二維Ising模型，其磁化強度滿足標度：

如果我們假定對應σ～1/L，則非正則態給出和有 限尺度標度理論一致的標度行為。

05

非正則分布導致的關聯與黑洞輻射

非正則態的另一個重要的效應是使系統無相互作用部分之間產生信息關聯。正則平衡態系統的各個無相互作用的子系統的分布都相互獨立，即總體的密度矩陣為子系統密度矩陣的直積。系統的總信息熵也是各子系統熵的直接相加，子系統之間不存在關聯。然而，當系統處于非正則狀態時，總密度矩陣不再是各系統的直積，此時系統的總信息熵不再是各個子系統信息熵的簡單相加。這種非正則效應導致的信息關聯是解釋黑洞信息丟失佯謬的有力候選者[47，48]。

廣義相對論預言任何物質都無法逃逸出黑洞，然而如果考慮視界附近量子場的漲落，黑洞仍然會向外“輻射”能量。在視界面附近，真空漲落會導致帶正負能量的虛粒子對出現。如果負能量的虛粒子掉入黑洞，正能量的粒子就有可能變成實粒子進而有可能逃逸出黑洞。對于無窮遠的觀察者來說，該過程好像黑洞對外輻射出了粒子，這就是霍金輻射[49，50]。霍金輻射的譜是熱輻射譜，其逆溫度β正比于黑洞的質量M，即輻射出一個能量為ω的粒子的概率為Γ～exp(8πωM)。對于這樣的輻射譜，簡單的計算表明黑洞輻射殆盡后剩余輻射場的總熵大于輻射初態黑洞的面積熵。量子力學的幺正演化要求作為孤立系統的黑洞+輻射場的總熵(信息)保持不變，而輻射過程卻伴隨著熵增。這產生了表觀的矛盾：黑洞初態的信息在霍金輻射的過程中丟失了。

當黑洞的質量較小時，單個粒子的輻射會使黑洞的質量減少，對進一步輻射產生反作用。這種反作用也會影響黑洞的狀態本身，粒子對外的輻射會影響自身，進而使得輻射譜變成非正則的[51]，導致其輻射譜偏離熱譜。對史瓦西黑洞，其逆溫度為β=8πM，熱容為C=-8πM2。通過熱容，我們可以估算黑洞溫度的漲落：Δβ2≈|β2/C|=8π。對于處于由公式(6)給出的非正則分布的輻射譜，可以證明[25]其粒子的非正則輻射譜近似為

因子中的ω2項就代表了對非正則態的偏離。該輻射譜也可以通過量子隧穿、黑洞場論、正則典型性等各種方法計算[51，52]。這種非正則輻射導致黑洞先后輻射出的兩個能量分別為ω1和ω2的粒子存在信息關聯：

這意味著連續輻射這兩個粒子的概率僅僅與這兩個粒子的總能量有關[53]。對于不同類型的有限尺寸黑洞，其非正則輻射譜都滿足公式(8)給出的關系。用這樣的非正則輻射譜計算輻射場與黑洞的總熵，則會發現它保持不變。從這一點來看，黑洞信息丟失問題不復存在，其“丟失”的信息都被隱藏在了輻射場的關聯中[47，48，53，54]，換句話說，如果我們對黑洞輻射出的粒子進行關聯測量，則可以將“丟失”的信息“復原”出來(圖5)。由此可見，利用熵可積方程的非正則解可以得到滿足這種關聯的非正則輻射譜。

圖5 黑洞蒸發過程中“丟失”的信息被保留在輻射粒子之間的關聯中，如果對這些輻射進行關聯測量，則可以得到這些信息

06

結束語

本文在總結我們過去系統工作的基礎上，闡述了這樣一種觀點：統計物理通常被視為熱力學的微觀基礎，然而其所依賴的基本假設缺乏直接的實驗證據，遠不及熱力學定律那般堅實可靠，這表現了現象的宏觀與微觀描述的內在張力。我們通過量子力學嚴格界定了內能、功與熱的微觀表達，解決了經典熱力學中“絕熱過程”定義的邏輯循環問題。由此引入的“量子熱力學可積性”框架，在量子層面自洽地得到了熱與熵的定義，避免了模糊的經驗性描述。在這一框架中，我們建立了統計分布滿足的熵可積方程，并證明正則分布是其滿足細致平衡條件時的唯一解。這一結果揭示了熱力學定律與平衡態統計分布之間的深層關聯。更為重要的是，熵可積方程的解并不局限于正則分布。在有限體系或強環境耦合的情況下，系統可能處于非正則態，其表現為溫度的漲落與分布的非平庸修正。我們發現這些非正則態與有限尺度效應之間存在直接對應關系，尤其在臨界系統中，非正則分布能夠自然再現有限尺度標度律。這為統計物理與臨界現象的研究提供了新的視角。與此同時，非正則分布所代表的子系統間關聯，為黑洞信息丟失問題解釋提供了新的可能。小黑洞的霍金輻射由于有限尺寸效應而偏離嚴格的正則熱譜，這種非正則修正導致輻射粒子之間產生信息關聯，從而避免了嚴格熱譜所導致的信息丟失悖論。

綜上所述，本文展示了從熱力學定律出發推導平衡態分布的可能路徑，提出了“量子熱力學可積性”及其對應的熵可積方程，從而為統計物理提供了一種不依賴遍歷性與等概率原理的新基礎。這一框架不僅澄清了熱力學與統計物理之間的邏輯關系，也揭示了有限系統、非平衡態乃至黑洞物理中的深刻聯系。

致 謝感謝北京大學全海濤教授、中國工程物理研究院研究生院董輝研究員、北京師范大學馬宇翰副教授的討論。

參考文獻

[1] Schr?dinger E. Statistical Thermodynamics. Cambridge：Cambridge University Press，1952

[2] Landau L D，Lifshitz E M. Statistical Physics，Vol. 5. Oxford：Elsevier，2013

[3] Ma S K，Fung M K. Statistical Mechanics. Philadelphia and Singapore： World Scientific，1985

[4] 吳大猷 . 理論物理：熱力學、氣體運動論及統計力學，卷 5. 北京：科學出版社，2010

[5] Khinchin A I，Gamow G. Mathematical Foundations of Statistical Mechanics. New York：Dover Publications，1960

[6] Rosenkrantz R D. E. T. Jaynes：Papers on Probability，Statistics and Statistical Physics. Dordrecht：Springer Netherlands，1983

[7] Jaynes E T. Phys. Rev.，1957，106(4)：620

[8] Jaynes E T. Phys. Rev.，1957，108(2)：171

[9] Goldstein S，Lebowitz J L，Tumulka R et al. Phys. Rev. Lett.，2006，96(5)：050403

[10] Popescu S，Short A J，Winter A. Nat. Phys.，2006，2：754

[11] Dong H，Yang S，Liu X F et al. Phys. Rev. A，2007，76(4)：044104

[12] Gogolin C，Eisert J. Rep. Prog. Phys.，2016，79(5)：056001

[13] Huang K. Interview of C. N. Yang for the C. N. Yang Archive. The Chinese University of Hong Kong，2001

[14] 王竹溪. 熱力學簡程. 北京：人民教育出版社，1964

[15] Carathéodory C. Math. Ann.，1909，67(3)：355

[16] Born M. Phys. Zeit.，1921，22：218

[17] Pauli W. Pauli Lectures on Physics：Thermodynamics and the Kinetic Theory of Gases，Vol. 3. Cambridge，Mass：MIT Press，1973

[18] Zorich V. Mathematical Analysis of Problems in the Natural Sciences. Berlin and Heidelberg：Springer，2011

[19] Ma Y H，Dong H，Quan H T et al. Fundam. Res.，2021，1(1)：6

[20] Quan H T，Zhang P，Sun C P. Phys. Rev. E，2006，73(3)：036122

[21] Quan H T，Liu Y X，Sun C P et al. Phys. Rev. E，2007，76(3)：031105

[22] 全海濤，董輝，孫昌璞. 物理學報，2023，72(23)：230501

[23] Quan H T，Zhang P，Sun C P. Phys. Rev. E，2005，72(5)：056110

[24] Quan H T. Phys. Rev. E，2009，79(4)：041129

[25] Zhai R X，Sun C P. Phys. Rev. Lett.，2025，134(16)：160404

[26] Chen J F，Sun C P，Dong H. Phys. Rev. E，2019，100(6)：062140

[27] Ma Y H，Su S H，Sun C P. Phys. Rev. E，2017，96(2)：022143

[28] Scully M O，Zubairy M S，Agarwal G S et al. Science，2003，299(5608)：862

[29] Kieu T D. Phys. Rev. Lett.，2004，93(14)：140403

[30] Kieu T D. Eur. Phys. J. D，2006，39(1)：115

[31] Feynman R P. Phys. Rev.，1939，56(4)：340

[32] Hellmann H. Z. Phys.，1933，85(3)：180

[33] 孫昌璞. 物理，2010，39(5)：362

[34] Breuer H P，Petruccione F. The Theory of Open Quantum Systems. Oxford：Clarendon Press，2009

[35] Xu D Z，Li S W，Liu X F et al. Phys. Rev. E，2014，90(6)：062125

[36] Richens J G，Alhambra á M，Masanes L. Phys. Rev. E，2018，97(6)：062132

[37] Chung W S，Hassanabadi H. Physica A，2019，532：121720

[38] Beck C，Cohen E G D. Physica A，2003，322：267

[39] Falcioni M，Villamaina D，Vulpiani A et al. Am. J. Phys.，2011，79(7)：777

[40] Fei Z，Ma Y H. Phys. Rev. E，2024，109(4)：044101

[41] Onsager L. Phys. Rev.，1944，65(3-4)：117

[42] Yang C N. Phys. Rev.，1952，85(5)：808

[43] Fisher M E. Phys. Rev. Lett.，1967，19(4)：169

[44] Ferdinand A E，Fisher M E. Phys. Rev.，1969，185(2)：832

[45] Binder K. Physica，1972，62(4)：508

[46] Privman V，Fisher M E. Phys. Rev. B，1984，30(1)：322

[47] Zhang B，Cai Q Y，You L et al. Phys. Lett. B，2009，675(1)：98

[48] Cai Q Y，Sun C P，You L. Nucl. Phys. B，2016，905：327

[49] Hawking S W. Commun. Math. Phys.，1975，43(3)：199

[50] Hawking S W. Phys. Rev. D，1976，14(10)：2460

[51] Parikh M K，Wilczek F. Phys. Rev. Lett.，2000，85(24)：5042

[52] Keski-Vakkuri E，Kraus P. Nucl. Phys. B，1997，491(1)：249

[53] Dong H，Cai Q Y，Liu X F et al. Commun. Theor. Phys.，2014，61(3)：289

[54] Ma Y H，Cai Q Y，Dong H et al. Europhys. Lett.，2018，122(3)：30001

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《物理》是由中國科學院物理研究所和中國物理學會主辦的權威物理類中文科普期刊，注重學科性與科普性相結合，秉承“輕松閱讀，享受物理”的辦刊理念，集學科大家之力，追蹤物理學成果，服務物理學領域，促進學科交叉，讓科學變得通俗易懂。已成為我國眾多物理專業的大學生、研究生、物理學家案頭常讀的刊物之一。

作者：眾多活躍在科研、教學一線的院士、專家。

讀者：物理學及其相關學科(如化學、材料學、生命科學、信息技術、醫學等)的研究人員、教師、技術開發人員、科研管理人員、研究生和大學生，以及關注物理學發展的讀者。

欄目：特約專稿、評述、熱點專題、前沿進展、實驗技術、研究快訊、物理攫英、物理學史和物理學家、物理學漫談、物理教育、人物、科學基金、物理新聞和動態、書評和書訊等。

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