自然·物理：當拓撲“動起來”，高階網(wǎng)絡重塑動力學

導語

在復雜系統(tǒng)研究中，我們早已習慣用“網(wǎng)絡”來理解世界：節(jié)點代表個體，邊代表相互作用，動力學寫在節(jié)點上，同步、擴散、滲流隨之發(fā)生。但如果你認真思考神經(jīng)系統(tǒng)、氣候系統(tǒng)或社會協(xié)同行為，就會發(fā)現(xiàn)一個被長期忽略的事實——真正起關鍵作用的，往往不是節(jié)點，而是連接本身，甚至是多體關系形成的結構形狀。

這篇2025年2月19發(fā)表于 Nature Physics 的 Perspective《Topology shapes dynamics of higher-order networks》提出了一種正在成形的新范式：高階拓撲動力學。在這里，系統(tǒng)的狀態(tài)不再只屬于節(jié)點，而是分布在邊、三角形乃至更高維單元上；拓撲不再只是“描述結構”，而是直接決定系統(tǒng)能否同步、如何形成圖案、以及滲流是否會走向混沌。這不是對傳統(tǒng)網(wǎng)絡理論的修補，而是一種視角上的躍遷。

關鍵詞：高階網(wǎng)絡（Higher-order networks）、拓撲動力學（Topological dynamics）、同步（Synchronization)、滲流（Percolation）

鄭鴻盛丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Topology shapes dynamics of higher-order networks 論文鏈接：https://doi.org/10.1038/s41567-024-02757-w 發(fā)表時間：2025年2月19日 論文來源：nature physics

在過去二十多年里，網(wǎng)絡科學為理解復雜系統(tǒng)提供了一種極其成功的范式：用節(jié)點表示系統(tǒng)的組成單元，用邊表示它們之間的相互作用，并把動力學變量定義在節(jié)點上。從傳染病傳播到神經(jīng)同步，從電力網(wǎng)絡到社會輿論演化，這套“節(jié)點中心”的建模方式幾乎成了默認選項。

但是，在 Nature Physics 的這篇 Perspective 《Topology shapes dynamics of higher-order networks》中強調，這種成功正在顯露出它的邊界。真實世界中的許多關鍵過程，并不發(fā)生在“個體”層面，而是發(fā)生在關系本身，甚至是多體關系之中。突觸信號并非單個神經(jīng)元的屬性，而是連接的屬性；氣候系統(tǒng)中的通量、環(huán)流與遙相關，本質上是空間區(qū)域之間的協(xié)同結構；社會與生態(tài)系統(tǒng)中的協(xié)作、抑制和調控，往往涉及三方甚至更多主體的共同作用。

正是在這一背景下，高階網(wǎng)絡（higher-order networks）逐漸從“技術細節(jié)”轉向“理論核心”。而這篇文章要傳達的核心思想更進一步：復雜系統(tǒng)中的動力學行為，并不只是發(fā)生在既定結構之上，而是由高階結構所承載的離散拓撲塑造；當高階相互作用、拓撲與非線性動力學耦合在一起時，拓撲將不再只是描述結構的工具，而是會參與決定系統(tǒng)能夠呈現(xiàn)出怎樣的動力學行為。

從“成對關系”到“多體結構”：為什么必須引入高階網(wǎng)絡

傳統(tǒng)網(wǎng)絡的一個根本假設是：所有相互作用都可以分解為成對關系。但在許多系統(tǒng)中，這種分解并不成立。神經(jīng)元的功能往往依賴于環(huán)路與回路結構；社會傳染中的“從眾效應”需要至少三人的共同暴露；生態(tài)系統(tǒng)中，第三方物種可能會調節(jié)另外兩種物種之間的競爭或共生關系。

高階網(wǎng)絡正是為刻畫這類現(xiàn)象而提出的。與只描述成對相互作用的傳統(tǒng)網(wǎng)絡不同，高階網(wǎng)絡將三角形、四面體等多節(jié)點結構納入基本表示單元，使一次相互作用可以同時涉及多個節(jié)點，從而更貼近復雜系統(tǒng)中真實存在的多體協(xié)作與調控關系。這樣的表示不僅顯著拓展了網(wǎng)絡能夠表達的結構層次，更關鍵的是，它改變了動力學過程所依托的結構基礎，進而影響系統(tǒng)整體演化的方式與特征。

然而，僅僅在網(wǎng)絡中“允許三角形或多體相互作用的存在”仍然不足以解釋這些現(xiàn)象，真正的關鍵在于作者將代數(shù)拓撲中的同調理論引入對動力學的刻畫之中。與關注局部連接細節(jié)不同，拓撲關心的是整體結構中是否存在環(huán)、洞或空腔等全局特征。這些由同調理論刻畫的拓撲不變量（如 Betti 數(shù)），并非抽象的數(shù)學標簽，而是直接決定了系統(tǒng)中哪些集體動力學模式能夠出現(xiàn)、以及它們如何在結構中分布。

圖 1 | 復雜系統(tǒng)高階拓撲動力學的新興領域。該領域融合了高階相互作用、拓撲學與非線性動力學，催生了蘊含特定信息的涌現(xiàn)現(xiàn)象 —— 這些信息既能極大地改變我們對大腦、氣候等復雜系統(tǒng)的認知，也能助力研發(fā)受物理學啟發(fā)的高效新型人工智能算法。

拓撲旋量：系統(tǒng)狀態(tài)不再只屬于節(jié)點

本篇文章提出的第一個關鍵概念，是拓撲旋量（topological spinor）。在傳統(tǒng)網(wǎng)絡動力學中，系統(tǒng)的狀態(tài)通常由一個節(jié)點變量向量來描述。但在高階網(wǎng)絡中，這種描述方式顯得過于狹窄。

在高階網(wǎng)絡中，一個完整動力學狀態(tài)，應該由定義在不同維度單元上的信號共同組成：節(jié)點上的信號、邊上的信號、三角形上的信號，乃至更高維單元上的信號。它們共同構成一個統(tǒng)一的狀態(tài)向量 Ψ。

為了刻畫這些信號如何相互作用，文章引入了邊界算子和 Hodge 拉普拉斯算子。它們不僅是數(shù)學工具，更是動力學規(guī)則的編碼方式。Hodge 拉普拉斯描述了信號如何在同一維度的單元之間擴散，而邊界算子則刻畫了不同維度之間的關系。

一個極其重要的結果是：第 n 維 Hodge 拉普拉斯算子（L?）的零模數(shù)量，等于第 n 個 Betti 數(shù)（β?）。換言之，網(wǎng)絡中存在多少個 n 維“洞”，就存在多少個對應的“調和模態(tài)”。這些模態(tài)并非數(shù)學抽象，而是動力學系統(tǒng)中可以承載長期行為的自由方向。

圖 2 | 高階網(wǎng)絡的動力學狀態(tài)。用時間序列的方式，展示了一個高階網(wǎng)絡中三種不同“位置”的動力學變量：節(jié)點上的信號、邊上的信號、以及三角形上的信號。它們共同組成系統(tǒng)的狀態(tài)向量——拓撲旋量 Ψ。

當同步取決于“洞”：

高階 Kuramoto 模型的顛覆性結論

在這一理論框架下，作者重新審視了一個經(jīng)典的非線性動力學問題：同步。同步現(xiàn)象是非線性動力學中研究最為深入的現(xiàn)象之一，而Kuramoto 模型則是描述同步轉變的標準工具。

然而，情況在高階網(wǎng)絡中發(fā)生了根本性變化。當振子不再局限于節(jié)點，而是分布在邊或更高維單元上時，同步的發(fā)生與否不再僅依賴于耦合強度。高階拓撲 Kuramoto 模型揭示了一個出人意料的發(fā)現(xiàn)：n 維拓撲信號的同步，只有當網(wǎng)絡中存在至少一個 n 維“洞”時才有可能發(fā)生。

如果相應維度的洞不存在，系統(tǒng)的動力學將會凍結，即使耦合強度再大，也無法形成同步態(tài)。這意味著，同步不再是一個單純依賴“參數(shù)足夠大”的普遍現(xiàn)象，而是受到拓撲結構“許可”的結果。

更進一步，即使同步發(fā)生，它也不會像傳統(tǒng)的 Kuramoto 模型那樣在整個系統(tǒng)中均勻展開。同步狀態(tài)通常局限在與洞對應的調和模態(tài)上。如果系統(tǒng)中存在多個洞，同步態(tài)可能集中在某個洞的模態(tài)上，也可能是多個洞模態(tài)的線性組合。換句話說，同步模式本身是洞結構的直接反映。

圖 3 | 拓撲 Kuramoto 模型與全局同步。拓撲信號的同步由高階網(wǎng)絡中 n 維洞的存在所驅動。高階 Kuramoto 模型中一個極其反直覺的結果：同步是否發(fā)生，取決于網(wǎng)絡中是否存在對應維度的“洞”。左圖對比了“空洞”和“被填充的洞”所導致的完全不同的動力學；右圖則展示了在特殊拓撲（環(huán)面）上實現(xiàn)的全局同步。

這一結果也帶來了一個極具啟發(fā)性的視角：動力學不僅被拓撲塑造，動力學本身也可以用來“探測”拓撲結構。僅通過觀察同步模式，就有可能反推出網(wǎng)絡中哪些洞是空的，哪些已經(jīng)被填充。

Dirac 算子：讓不同維度的信號真正耦合

盡管 Hodge 拉普拉斯為理解高階擴散和同步提供了強有力的工具，但它主要處理的是“同一維度內部”的動力學。而在真實系統(tǒng)中，節(jié)點、邊和面之間往往存在不可忽略的跨維耦合。

為此，文章引入了拓撲 Dirac 算子。Dirac 算子可以被理解為 Hodge 拉普拉斯的“平方根”，它允許拓撲信號在不同維度之間上下投影，從而實現(xiàn)真正的跨維度動力學耦合。

基于 Dirac 算子，作者展示了一系列新的動力學現(xiàn)象。其中最引人注目的是Dirac 同步：一種節(jié)點與邊信號共同參與的同步形式。在這種模型中，同步轉變可能是爆炸式的，且序參量本身會隨時間產(chǎn)生自發(fā)振蕩。這為理解生物節(jié)律和氣候系統(tǒng)中的周期性行為提供了新的建模思路。

Dirac 算子還使得拓撲版 Turing 圖案成為可能。與傳統(tǒng)圖案形成不同，這里的空間結構不僅可以出現(xiàn)在節(jié)點上，也可以出現(xiàn)在邊或更高維單元上，從而顯著拓展了圖案動力學能夠呈現(xiàn)的形式。

圖 4 | 拓撲狄拉克算子與拓撲狄拉克方程的性質。拓撲 Dirac 算子在真實真菌網(wǎng)絡上的譜結構與本征態(tài)分布。節(jié)點和邊被同時著色，展示了 Dirac 方程本征態(tài)如何分布在不同維度的網(wǎng)絡單元上。

當拓撲也開始演化：

三體滲流與通向混沌的路徑

高階結構和跨維耦合已經(jīng)足以顯著改變系統(tǒng)的動力學行為，但在許多真實系統(tǒng)中，變化的不只是狀態(tài)本身，網(wǎng)絡結構也會在相互作用的過程中不斷調整。拓撲并非總是靜態(tài)的背景，而是可能隨時間一起演化。

三體相互作用提供了一種刻畫這種結構演化的簡單機制。在這種相互作用中，一個節(jié)點可以增強或抑制另外兩個節(jié)點之間的連接，從而直接參與網(wǎng)絡結構的更新。基于這一機制，作者提出了三體滲流模型。在這一模型中，巨型連通分量不再是一個靜態(tài)結果，而是成為一個隨時間演化的動力學對象。

令人驚訝的是，引入三體調控后，滲流行為呈現(xiàn)出與傳統(tǒng)情形截然不同的特征。序參量不再經(jīng)歷標準的二階相變，而是沿著類似 logistic 映射的分岔路徑演化，并在一定參數(shù)范圍內進入混沌狀態(tài)。原本用于描述靜態(tài)相變的“相圖”，在這里被一個刻畫時間演化軌跡的“軌道圖”所取代。這說明，當高階相互作用使拓撲結構本身參與動力學演化時，即便是看似成熟的經(jīng)典問題，也會展現(xiàn)出全新的非線性行為和動力學復雜性。

圖 5 | 帶符號三元相互作用與三元滲流的相圖。三體相互作用將傳統(tǒng)滲流過程轉變?yōu)橐粋€真正的動力系統(tǒng)：從穩(wěn)定態(tài)到周期振蕩，再到混沌時間序列。原本的“相圖”，被一個類似 logistic 映射的軌道圖所取代。

拓撲，正在成為動力學的因果結構

這篇 Perspective 并未試圖用某一個模型去“解釋一切”，而是清晰地勾勒出一個正在成形的理論范式。在這一范式中，拓撲不再只是結構層面的修飾或事后分析的工具，而是直接限定并塑造系統(tǒng)動力學可能性的因果結構。哪些集體行為能夠出現(xiàn)、哪些同步模式可以存在、哪些演化路徑會被禁止，已不再僅由參數(shù)大小或局部相互作用決定，而是由整體拓撲形態(tài)所許可。

高階拓撲動力學為理解大腦、氣候系統(tǒng)以及復雜人工系統(tǒng)提供了一種全新的語言。在這種語言中，動力學不只是“在網(wǎng)絡上發(fā)生”，而是在洞、回路與高維結構所張成的空間中展開。系統(tǒng)的演化軌跡，本質上是在拓撲所定義的可能性空間中移動。

這也提示我們，要真正理解復雜系統(tǒng)的涌現(xiàn)行為，已經(jīng)不再足夠只問“誰與誰相連”。更關鍵的問題在于：這些連接共同形成了怎樣的整體形狀，而正是這些形狀，在更深層次上允許或禁止了某些動力學過程的發(fā)生。

在高階拓撲動力學中，結構不再只是舞臺，拓撲本身開始決定劇情能否發(fā)生、如何展開，以及是否走向混沌。

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你是否曾思考過：為什么咖啡杯在數(shù)學上可以變成甜甜圈？為什么混沌系統(tǒng)中會出現(xiàn)周期軌、可約化結構和“奇怪吸引子”模式？為什么神經(jīng)網(wǎng)絡、量子物理甚至心理結構，都可以從“拓撲”角度理解？

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