![]()
《元數學基礎》
該書所涉及的是數學和元數學的基礎問題,旨在以明確的、具體有限的基本版圖作為出發點,建立嚴格的元數學形式理論體系,以期實現對弗雷格 “第三領域” 以及哥德爾 “概念王國”的一種恰當解釋。
近日,北京雁棲湖應用數學研究院(BIMSA)研究員馮琦的學術著作《元數學基礎》三卷本正式出版。
在本書前言中,馮琦將討論起點追溯至一個貫穿西方思想史的根本問題:系統性確保理性思維正確性的基本原理究竟是什么。自亞里士多德以來,這一問題始終是形而上學與邏輯學關注的核心;當其被限定在數學范圍之內,便形成了經典的“數學基礎問題”。
自弗雷格、佩亞諾、懷特黑德與羅素、希爾伯特、策梅洛等學者以來,數學基礎研究圍繞著數學的基本原理、其構成方式以及可靠性持續展開。然而,在數理邏輯與集合論的發展過程中,一個長期存在的張力逐漸顯現:形式化數學理論的建立,往往仍需依賴直觀的、非形式的元理論作為出發點。
《元數學基礎》正是在這一背景下展開其理論工作。作者認為,關鍵不在于回避弗雷格法則,而在于將其作為具體、可操作的“工具與方法”加以解釋。在限定于具體、有限范圍的條件下,數學歸納法與遞歸定義可以被理解并實施為算法;而在即將跨越邊界之時,則明確終止算法的執行。
在此思路下,本書將弗雷格(1879)提出的數理邏輯基本法則,與策梅洛(1908)對康托爾樸素集合論的公理化工作,以及弗倫克爾(1922)的補充理論加以系統整合,形成作者提出的 CFZFC 理論框架( Cantor–Frege–Zermelo–Fraenkel–Axiom of Choice )。這一框架嘗試在不訴諸語義解釋的前提下,以具體、有限的邏輯工具與集合論公理,建立元數學形式理論本身。
《元數學基礎》共分三卷,循序推進上述理論構想:
第一卷聚焦純粹而具體的“有限性”理論,完成兩項基礎性工作:一是在一個具體、有限的字符表上,詳細解釋并嚴格論證全書所使用的集合論語言下一般性、確保正確性的具體工具和方法;二是逐步引入集合論語言下的基本公理與基本概念,并在此基礎上,對“有限性”“自然數”以及“基本算術律”作出形式化解釋。
第二卷在此基礎上建立基本實在無窮的具體形式理論,引入第一無窮公理,明確其對于“自然數”標準表示問題的形式解答,構建徹底有限集合的論域,并為完整形式理論概念文字的建立奠定基礎。
第三卷則完成元數學形式理論 CFZFC 概念文字的系統建構:利用徹底有限集合的資源建立一階邏輯形式系統與元數學基本概念;在集合論形式理論框架下實現一階邏輯的形式語義解釋,形式化表述塔爾斯基真實性定義并引入哥德爾完備性定理;完整建立 CFZFC 概念文字形式理論,并在這一新的概念文字系統中,進一步探討邏輯哲學中的“邏輯真理”定義問題。
作者指出,《元數學基礎》需要論證的結論本身多為眾所周知的簡單而基本的事實,但對這些結論的機械形式論證則必然是細致而冗長的。因此,作者特別提醒讀者,在閱讀冗長、機械而嚴密的形式證明時,需要保持一種耐心而審慎的態度。
對于有意系統學習數理邏輯的學生而言,本書匯集了大量具體而實際的形式演繹推理實例;對于有意探討數學定理機器證明的讀者而言,書中亦蘊含著一系列可供分析的演繹推理算法。作者相信,《元數學基礎》將成為數學、計算機科學乃至哲學領域年輕學者的有益參考,對于關注數學基礎、數理邏輯、數學定理機器證明以及人工智能相關問題的讀者而言,書中提供了豐富而具有啟示意義的材料。
![]()
作者 - BIMSA研究員馮琦
![]()
研究方向為數理邏輯、公理化集合論及無窮組合理論。在實數集正則性領域與Magidor、Woodin合作完成奠基性工作,與Jensen合作構建復雜內模型理論,在大基數與印證原理研究中取得系列突破,并與Woodin合作推進連續統假設研究。出版《數理邏輯導引》、《集合論導引》、《元數學基礎》等教材。曾任國際符號邏輯協會東亞分會理事長及理事、中國科學院數學研究所副所長。1977年考入哈爾濱工業大學計算機科學系,1988年獲賓州州立大學博士學位。1990年赴新加坡國立大學任講師,1998年任中科院數學所研究員。2004-2007年執教清華大學數學系,期間參與數學院-新加坡國立大學-加州伯克利分校聯合培養項目,曾擔任德國柏林洪堡大學Mer Cator客座教授。2000年獲國家杰出青年科學基金,2003年入選中科院百人計劃,2017年獲北京市教學名師獎。
本文轉自:北京雁棲湖應用數學研究院。
![]()
(本文編輯:劉四旦)
專業品質 學術價值
原創好讀 科學品位
一起閱讀科學
特別聲明:以上內容(如有圖片或視頻亦包括在內)為自媒體平臺“網易號”用戶上傳并發布,本平臺僅提供信息存儲服務。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.