論魯棒貝葉斯因果推理

On robust Bayesian causal inference

論魯棒貝葉斯因果推理

https://arxiv.org/pdf/2511.13895v1

摘要

本文構建了一個用于從縱向觀察數據中進行穩健因果推斷的貝葉斯框架。許多當代方法依賴于結構假設（例如因子模型）以調整未觀測混雜，但當這些假設被錯誤設定時，可能導致有偏的因果估計量。我們聚焦于直接估計特定時間單元的因果效應，并采用廣義貝葉斯推斷來量化模型誤設并對其進行調整，同時保留可解釋的后驗推斷。我們基于一個恰當的評分規則來選擇學習率 ω，該評分規則聯合評估因果估計量的點估計精度與區間精度，從而為調節 ω 提供了一個連貫的、基于決策理論的基礎。模擬研究與真實數據應用表明，該方法在因果效應估計中展現出更優的校準性、銳度與穩健性。

關鍵詞：因果推理，模型誤設，貝葉斯，穩健

1 引言

問題設定 本文關注對模型誤設具有穩健性的因果推斷。我們提出一種貝葉斯方法，用于解決因使用錯誤模型而可能需要進行校正這一普遍統計問題，并將該方法應用于因果推斷。我們的主要焦點在于基于多單元時間序列觀察數據進行穩健的因果推斷。此類數據在許多科學領域中十分常見，因為在這些領域中隨機化實驗往往不可行。我們建議采取以下策略：(i) 從當前被認為解決該問題的最先進模型出發；(ii) 允許該模型存在錯誤設定；(iii) 通過聚焦于恰當的可估量（estimand）來理解誤設程度；(iv) 推導經過適當校正的因果效應。盡管模型誤設在因果推斷中普遍存在，但此類情境下的推斷本質上是一個普遍的統計問題，例如在變分貝葉斯或復合似然方法中因計算原因而采用近似時亦會出現類似問題。

近期的因果推斷方法通過諸如因子模型等數據生成過程來調整未觀測的異質性與混雜因素，參見 Athey 等 [2021] 與 Xu [2017]。Whiteley 等 [2025] 提出將此類模型（在變換意義下）作為一般數據生成過程的建模范式。盡管此類模型看似合理的基線設定，但由于缺失混雜變量、潛在因子數量設定錯誤或不必要的線性假設等問題，它們仍可能面臨誤設風險。此類誤設可能導致有偏或誤導性的因果估計結果。

方法論途徑 本文將關注的可估量設定為因果效應，并旨在理解模型誤設對估計該因果效應準確性的影響程度。我們聚焦于因子分析類模型，此類模型在評估現實世界干預措施時被廣泛使用，同時仍可調整已知混雜因素。我們采用廣義貝葉斯推斷范式，以損失函數替代似然函數，同時保留貝葉斯更新機制并獲得（通常是非對稱的，參見 Claxton 等 [2015]）決策空間中的后驗分布。估計準確性通過校準性（calibration）與銳度（sharpness）進行評估。需注意，聚焦式推斷在統計學中并非新概念（如 Claeskens 與 Hjort [2003]），但其在廣義/穩健貝葉斯分析中具有核心地位，參見 Bissiri 等 [2016] 與 Fong 等 [2024]。我們通過恰當評分規則（proper scoring rule）選擇學習率 ω，該規則聯合量化因果可估量的后驗均值與可信區間的準確性。評分規則的恰當性意味著其傾向于選擇在真實數據生成過程中具有良好校準性的后驗摘要，從而為調節 ω 提供透明且理論適宜的準則。該方法使 ω 的選擇直接與推斷準確性對齊，而非基于預測性能或邊緣似然等目標。

所提方法具有若干優勢。它通過自適應調整先驗與似然兩個模型組分的影響，實現對模型誤設穩健的因果學習。它基于模型誤設程度引入（半）自動的偏差與方差校正。具體而言，后驗行為可自適應地：(i) 在不確定性較高時向先驗偏移，或 (ii) 在適當時更緊密地集中于數據。盡管本方法由因子模型所啟發，但其廣泛適用于多種因果模型及其他不完美似然設定。

實驗 本方法在兩類模擬設定中進行研究。首先，在線性類模型中，我們發現當模型設定正確時，本方法自然退化為標準貝葉斯推斷，并在面臨不同類型模型誤設時作出恰當自適應。第二類模擬實驗聚焦于因子模型，我們同樣觀察到選擇最優學習率確實能夠實現因果處理效應在位置與尺度上的適當校正。總體而言，我們證明了所提方法相較于現有替代方案具有更強的穩健性與改進效果。

我們使用三個真實世界的面板數據集對所提出的穩健貝葉斯因果推斷（Robust Bayesian Causal Inference, RBCI）框架進行評估。首先，我們重新審視加州煙草控制計劃——合成控制法評估中的基準案例 [Abadie 等, 2010]。其次，我們分析一項空間定向產業政策對法國地區就業的影響 [Gobillon 與 Magnac, 2016]。第三，我們研究希臘能源市場中由公共收入獨立管理局（IAPR）引入的數字稅收執法干預措施。在所有應用中，我們與最先進的矩陣補全方法進行比較，發現考慮模型誤設可帶來更準確的因果估計以及顯著改進的不確定性量化。

1.1 與相關文獻的聯系

關于在一般推斷設定中處理模型誤設的文獻極為豐富，可追溯至 Huber [1967] 的工作，其中 White [1982] 的研究尤為著名：他證明在誤設模型中，最大似然估計量的漸近分布為高斯分布，其協方差矩陣為“三明治”形式，且中心位于使 Kullback–Leibler 散度最小化的偽真參數值。Muller [2013] 研究了誤設參數模型中后驗的漸近行為，并證明其通常具有更低的漸近頻率學風險。

在因果推斷文獻中，處理模型誤設的常見方式是通過傾向得分（propensity score），參見 Rosenbaum 與 Rubin [1983]。該方法本質上在結果回歸模型正確設定之外，提供了另一種獲得一致性的途徑——即當傾向得分模型設定正確時，由此引出“雙重穩健”（doubly robust）這一術語。Robins 及其同事發展了基于逆概率加權的因果推斷通用框架，通常稱為 G-估計；Hernan 與 Robins [2020] 提供了詳細闡述。

從貝葉斯視角出發，傾向得分方法曾受到批評，被認為是一種不自然的數據生成機制刻畫方式 [Li 等, 2023]。Stephens 等 [2023] 對貝葉斯因果推斷方法進行了出色綜述，闡釋了將傾向得分納入貝葉斯推斷的困難。該文涵蓋了文獻中為規避此類問題而發展的若干方法（對貝葉斯學者而言看似不自然），包括切斷反饋（cutting feedback）與兩階段推斷。作者繼而發展了一種決策論方法，將傾向得分納入基于狄利克雷過程的貝葉斯非參數框架并結合貝葉斯自助法。Antonelli 等 [2022] 發展了一種具有優良頻率學性質的貝葉斯雙重穩健估計方法，同時估計傾向得分與結果模型。Ray 與 Van de Vaart [2020] 提出對傾向得分進行非參數建模，并證明標準高斯過程先驗滿足半參數型伯恩斯坦–馮·米塞斯定理。貝葉斯因果推斷的應用可見于眾多不同領域，包括算法決策（如 Jia 等 [2025] 與 Imai 等 [2023]）。

另一條富有成果的平行研究脈絡（主要為非貝葉斯方法）可見于（生物）統計學、機器學習與計量經濟學的交叉領域，例如 Chernozhukov 等 [2018] 與 Lewis 與 Syrgkanis [2021]。近期研究包括 Dorn 等 [2025]、Ghosh 與 Rothenh?usler [2025]（提出平均處理效應（ATE）的穩健置信區間）、Jin 與 Syrgkanis [2025]（證明廣泛使用的雙重穩健估計量對 ATE 與處理組平均處理效應（ATT）均具有最優性），以及 Bruns-Smith 等 [2025]（證明一類稱為增強平衡權重的雙重穩健估計量可直接實現協變量平衡，而非通過傾向得分求逆），另見 Resa 與 Zubizarreta [2020]。

我們的方法大致遵循一條不同的研究脈絡，其起源于旨在實現穩健性（半參數類型）、貝葉斯性且不依賴常規狄利克雷過程或高斯過程的貝葉斯方法。早期范例可見于 Seaman 與 Richardson [2004] 與 Rice [2008]，而 Bissiri 等 [2016] 發展了一般性框架，我們將在第 2 節詳述。該方法允許模型誤設存在，其誤設程度可通過多種方式估計：Lyddon 等 [2019] 通過將協方差矩陣匹配至其漸近極限進行估計，Syring 與 Martin [2019] 通過校準可信區間覆蓋率進行估計，另見 Holmes 與 Walker [2017]。McLatchie 等 [2025] 研究了此類方法的預測性能。我們的方法可視為這些方法的替代方案，因為我們關注非漸近視角，并旨在理解模型誤設程度如何影響特定任務——即對所關注因果可估量的估計。

論文結構 本文其余部分組織如下：第 2 節描述方法論部分，第 3 節闡述因果學習的具體設定，第 4 節包含展示所提方法穩健性與準確性的模擬實驗，第 5 節呈現三個真實世界應用，第 6 節為討論與結論。

2 穩健貝葉斯因果推斷

本節介紹了我們的RBCI框架以及選擇學習率ω的建議標準。該方法結合了廣義貝葉斯推斷（允許潛在的模型誤設）與一種恰當評分規則（旨在評估因果可估量的后驗準確性）。該評分規則針對應用因果推斷中最相關的兩個方面——后驗均值的偏差和可信區間的校準——并為選擇確保良好校準和銳利后驗推斷的ω提供了決策理論基礎。

2.1 廣義貝葉斯推斷

廣義貝葉斯推斷框架為經典貝葉斯更新提供了一個多功能的擴展，適用于假設模型（和似然）可能被誤設的情況。在標準貝葉斯范式中，后驗推斷依賴于正確指定的似然函數p(y?:? | θ)來在觀察到數據y?:?后更新關于參數θ的先驗信念。當該似然函數不正確——這在具有復雜觀察數據的因果推斷中普遍存在——所得到的后驗分布可能是有偏的或誤導性的。廣義貝葉斯推斷用一個適當選擇的損失函數L(θ, y?:?)替代似然函數，該損失函數衡量模型預測與觀察數據之間的差異[Bissiri等，2016]。由此產生的后驗分布，通常稱為Gibbs后驗分布，定義為

其中 π(θ) 表示先驗分布，而 ω > 0 是一個學習率參數，用于控制損失函數相對于先驗的權重。

該公式保留了用于不確定性量化和決策的貝葉斯機制，但放寬了對完全指定生成模型的需求。具體而言，損失函數 L 的選擇使分析者能夠針對模型的特定方面進行調整，例如特定可估量的擬合情況，而 ω 則作為調優（超）參數，以緩解模型誤設的影響。在模型設定正確的情況下，ω = 1 恢復標準的貝葉斯后驗分布；而在模型誤設的情況下，ω 的其他取值可產生校準性更好或更銳利的后驗分布 [Syring and Martin, 2019]。在下一小節中，我們將描述如何將此框架用于因果推斷。

2.2 一種穩健的貝葉斯因果推斷方法

從觀察數據進行因果推斷涉及在存在混雜因素及其他復雜性的情況下，估計因果可估量，例如平均處理效應或特定單元的干預效應。現有貝葉斯方法通常通過指定數據生成模型，并在假設該模型正確的前提下進行后驗推斷，例如參見 [Saarela et al., 2016]。然而，與假設模型的偏差——例如未測量的混雜因素或遺漏的動態過程——可能導致最終因果估計出現偏差。

我們旨在通過以下方式解決此類誤設問題：(i) 從一個可合理視為最先進水平的模型出發；(ii) 使用廣義貝葉斯推斷以允許該模型存在錯誤；(iii) 通過聚焦于因果可估量 τ 本身來評估誤設程度；(iv) 推導適當校正的因果效應。本質上，我們并未嘗試完全恢復數據生成機制并將 τ 作為副產品進行估計，而是采取一種相對不那么雄心勃勃的方法，旨在直接校準 τ 的后驗分布，使用針對因果估計準確性的定制損失函數。這種焦點轉變——從正確模型轉向穩健可估量學習——是廣義貝葉斯方法的核心特征，我們認為其適用于因果推斷。

2.2.1 選擇損失函數

由于我們的目標是理解模型誤設的程度，我們選擇一種基于模型的損失函數類型，該類型涵蓋參數模型并能夠納入協變量。一種自然的方法是將所選基線模型的負對數似然作為損失函數，并通過學習率 ω 進行縮放，從而得到冪后驗分布（或調整后的似然）。因此，我們的主要公式對應為：

由此得到式 (1) 中的 Gibbs 后驗分布。該選擇保持了可解釋性，因為當 ω = 1 時，它退化為標準貝葉斯推斷，并允許穩健適應；當 ω < 1 時，后驗分布會擴大不確定性以應對潛在的模型誤設；而當 ω > 1 時，則會使后驗分布更緊密地圍繞數據。損失函數的選擇是問題特定的，實際上由該問題的最先進模型狀態所決定。

學習率 ω 本質上是一個超參數，可能無法直接由數據自然估計，下一小節將討論其選擇問題。

2.2.2 估計最優學習率

因此，在真實數據生成過程中，當后驗分布報告了 τ 的正確均值與中心 (1?α) 區間時，該評分規則在期望意義下達到最小值。該規則對于完整的預測分布而言并非嚴格恰當（strictly proper），因為具有相同均值與中心區間的不同后驗分布可能獲得相同的期望得分。在我們的設定中，這已足夠，因為我們關注的重點在于因果效應的準確點估計與良好校準的區間，而非完整的分布刻畫。因此，采用恰當而非嚴格恰當的評分規則并不會損害我們評估準則的有效性。若希望對完整預測分布施加嚴格恰當性，可將 S ( F Π ω , τ ) τ 替換或補充為嚴格恰當的評分規則，例如連續秩概率評分（continuous ranked probability score, CRPS）；相關討論見附錄。

3 因果推斷

3.1 橫截面數據：基于回歸的方法

當數據由單一時間點的獨立觀測值組成（橫截面數據）時，因果效應通常通過結果回歸模型或傾向得分方法進行估計。一種常見方法是設定線性回歸模型：

3.2 面板數據：潛在因子與合成控制模型

在許多實際應用中，干預措施在不同單元之間于不同時點引入，這種情況被稱為錯位采用（staggered adoption）。將潛在結果框架 [Rubin, 1974] 擴展至縱向數據，我們對每個單元 i i 和時間點 t t 分別定義在處理和對照條件下的潛在結果 Y i t ( 1 )
和 Y i t ( 0 )
。在單元-時間層面，我們關注的因果效應為

3.3 基線似然與估計方法

橫截面和面板數據通常通過頻率學方法、機器學習方法和貝葉斯方法進行廣泛分析。在橫截面設定中，因果效應通常在條件無混雜假設下通過回歸或傾向得分方法進行估計 [Hogan and Lancaster, 2004, Seaman and Vansteelandt, 2018, Abadie et al., 2024]。靈活的機器學習方法 [Athey and Wager, 2019, Van der Laan et al., 2011] 放松了函數形式假設，但通常提供的不確定性量化較弱。

貝葉斯方法提供了一致的不確定性評估，且特別適用于包含潛在混雜在內的復雜數據結構。然而，對模型誤設的穩健性在此類文獻中受到的關注較少，一些顯著的例外包括BART [Hill et al., 2020] 和貝葉斯雙重穩健估計量 [Saarela et al., 2016]。這促使我們設計一種廣義貝葉斯方法，即使在結果模型不完美時也能保持可靠性。

3.3.1 橫截面研究中的貝葉斯估計

3.3.2 面板數據估計

4 模擬研究

我們現在通過設計用于模擬典型因果推斷場景的模擬實驗，來展示所提方法的性能。目標是探究所提方法在不同模型誤設水平下的表現，并評估學習率 ω 在橫截面回歸與面板數據因子模型兩種場景中的影響。先驗設定與貝葉斯計算的細節參見補充材料。

4.1 模擬實驗 I：橫截面回歸

我們在不同 ω 值下計算 τ 的后驗密度，并評估式 (2) 中的評分函數。圖 2 展示了兩個關鍵發現。首先，在左側面板中可以清楚地看到，隨著模型誤設程度的增加，S(FΠω, τ) 的最小化點系統性地移動。當遺漏的混雜因素較弱（γ 較小）時，評分在 ω = 1 附近最小化，這對應于標準貝葉斯更新，并表明工作模型大致正確。然而，隨著混雜強度的增加，最優 ω 值降至 1 以下，降低了似然的權重并有效擴大了后驗不確定性。這種行為說明了我們的框架如何適應模型誤設：不是過度自信地依賴誤設的似然，而是自動減少數據的影響并產生更保守的推斷。其次，右側面板顯示這種自適應縮放對處理效應推斷具有實質性的好處。在模型誤設下，βD 的后驗分布變得更寬，并且也向真實值移動，適當地糾正了因忽略潛在混雜因素而產生的偏差。這種方差膨脹和位置調整的結合導致具有更好覆蓋特性的可信區間和更可靠的因果結論。總體而言，這些結果突顯了所提方法的關鍵優勢：通過將 ω 校準到因果效應，廣義后驗向數據生成過程移動，從而在不需要顯式模型校正或復雜結構假設的情況下實現對模型誤設的穩健性。

4.2 模擬實驗 II：面板數據和潛在因子模型

我們的第二次模擬考察了具有潛在混雜的錯位采用面板數據設定。我們生成一個 T × N 的面板數據，其中 N = 30 個單元在 T = 100 個時間周期內被觀測。對于每個單元 i，我們從 {40,…,95} 上的離散均勻分布中抽取處理開始時間 Ti，從而產生異質的處理后窗口。觀測結果根據以下公式生成：

5 實際數據分析

我們在三個真實世界面板數據集上評估所提出RBCI框架的性能。在每種情況下，我們采用與第4節類似的交叉驗證設計，其中通過預測從未接受處理的對照組隨機掩蔽結果來選擇超參數，并使用保留干預后結果的偽處理單元評估預測因果準確性。完整數據集描述和匯總統計信息見補充材料。第一個應用重新審視著名的加利福尼亞吸煙干預措施，這是合成控制和矩陣補全方法的基準場景[Abadie et al., 2010, Athey et al., 2021]。第二個研究法國在空間定向產業政策后的區域就業結果[Gobillon and Magnac, 2016]。第三個評估希臘IAPR在能源市場引入的數字稅收執法干預措施。在所有三項研究中，我們將RBCI與最先進的矩陣補全方法[Xu, 2017, Athey et al., 2021]進行比較，重點關注潛在因子設定錯誤下的處理效應估計和不確定性量化。

5.1 加利福尼亞吸煙干預

我們首先從Abadie等[2010]分析的加利福尼亞煙草控制計劃開始。該數據集包含39個美國州31年（1970–2000）的年度香煙消費量，其中加利福尼亞州自1989年起作為唯一接受處理的州。遵循Athey等[2021]的做法，我們將其余N = 38個州視為潛在對照組。我們評估了與gsynth[Xu, 2017]中實現的矩陣補全相比的因果點估計和不確定性量化。

我們RBCI框架中的超參數通過最小化一個局部預測評分規則來選擇，該規則結合了單位-時間特定的平方偏差和區間得分。為此，我們隨機掩蔽從未接受處理的州中20%的結果，并在這些保留單元上評估預測，以實現無偏的樣本外驗證。選定的配置（K* = 2，ω? = 0.5）反映了潛在因子結構的程度和結構設定錯誤的程度：ω? < 1表明標準貝葉斯更新會過于自信，而似然加權能產生校準更好的不確定性。為評估因果預測性能，我們采用安慰劑策略：掩蔽15%州的1989年后結果，并將其視為偽處理。我們的方法和矩陣補全均擬合未掩蔽面板，然后嚴格在這些掩蔽的安慰劑結果上進行評估，將其視為真實值。完整細節見補充材料。

圖5總結了干預后的預測準確性。左側面板顯示了每個干預后年份在偽處理單元上平均計算的時間-單位特定平方偏差。此外，右側面板報告了95%預測區間的區間得分，聯合量化了尖銳性和校準性。我們的方法在大多數干預后年份實現了系統性更低的平方偏差，同時區間得分更小，意味著比矩陣補全更準確、更高效的不確定性量化。這些優勢源于適應潛在因子設定錯誤的加權似然，從而產生改進的時間-單位層面因果估計。

5.2 法國區域產業政策
接下來，我們研究Gobillon和Magnac [2016]中分析的區域就業干預措施，該措施向選定的法國勞動力市場區域分配了工業補貼。該數據集包含148個區域在T=20年（1997-2016）間的年度就業指標，其中13個區域接受了干預，其余135個區域作為從未接受干預的對照組。

我們使用與第5.1節相同的實驗流程評估預測性能。表1報告了三個就業指標的結果：企業進入、企業退出和總就業。我們的方法顯著改善了不確定性量化——在所有情況下，區間得分降低了35-65%——同時實現了相似的點估計準確性。這些優勢在“企業進入”結果中最為顯著，盡管平方偏差較低，但矩陣補全方法產生的不確定性區間過于分散。值得注意的是，對于所有結果，選定的學習率滿足，與加利福尼亞研究形成對比，這表明法國就業面板中的潛在因子結構相對較好地設定，且在準確預測不確定性方面幾乎不需要似然加權。

5.3 希臘能源市場數字干預評估
我們的第三個數據集涉及希臘IAPR實施的一項旨在提高能源部門合規性的數字稅收執法計劃。該干預措施分階段在企業與地區推行，形成包含希臘2020年1,399個加油站53周觀測數據的錯位處理采用面板。關注的結果變量為各加油站經對數轉換后的每周燃油銷量。該政策通過燃油收據上的二維碼認證系統實施，使消費者能夠實時驗證交易是否已傳輸至稅務部門中央數據庫，從而提高非合規站點被檢測到的概率感知，并改變少報銷量的行為激勵。由于我們掌握每個加油站所屬區域信息，因此在國家層面及13個行政區內部分別分析處理效應。補充材料中提供了額外的數據細節與描述性統計信息。

6 討論

本文主張，基于觀測數據的因果推斷應當預設殘余模型誤差存在的可能性，并對此類誤差進行量化與調整。所提出的魯棒貝葉斯方法可廣泛適用于多種因果模型。我們建議，應首先采用在當前問題上可合理視為前沿水平的模型啟動該過程，繼而允許模型存在設定錯誤。隨后，我們采用一種非漸近貝葉斯方法，以促進模型校正并獲取決策空間中的不確定性信息。我們的關注重點主要在于因果推斷問題——此類問題中的誤差往往源于遺漏混雜變量而具有結構性特征；但該方法亦適用于其他類似問題，例如異常值的存在。除因果推斷外，所提出的框架還可用于其他不完美似然設定場景，例如變分貝葉斯或復合似然情形。

我們針對單元–時間層面的因果效應進行估計，即對每個受干預單元及其干預后時期分別估計反事實結果。我們采用溫度調節后驗（tempered posterior），并通過選擇學習率 ω 以平衡校準性與銳度。當工作模型設定充分時（ω ≈ 1），RBCI 與標準貝葉斯推斷一致；而在模型設定錯誤情形下，該方法則會適當地調整單元–時間特異性效應后驗的位置與尺度。我們的模擬與實證應用表明，通過恰當的評分規則（結合點估計精度與區間校準性）選擇 ω，相較于前沿估計量，可實現更優的覆蓋性能以及更低或相當的偏差。

默認選擇與未來工作本文所作的若干選擇有待進一步討論與探索，主要包括以下方面：(i) 損失函數的選擇。本文的選擇受制于合適基線模型的存在以及協變量調整的需求，但在不同問題中，以因果性或目標估計量為導向的替代損失函數可能更為適用。(ii) 校準性與銳度度量；在廣義貝葉斯框架下（尤其非高斯情形），估計評估本身具有非平凡性，可根據問題特性（如目標估計量的性質）操作化其他精度度量。(iii) 我們發現 ω < 1 與 ω > 1 均可能提供最優解。前者為傳統貝葉斯先驗–似然–后驗三元圖提供了替代方案，使后驗向先驗方向偏移；而后者則暗示一種“超學習”（super-learning）行為，即后驗更集中于數據，對此尚需進一步理論探究。(iv) 依數據而定，因子數量與 ω 的聯合后驗得分空間可能呈現相對平坦的特性，該空間值得深入研究，相關工具或可基于費雪信息的幾何結構與三明治協方差矩陣構建。(v) 本文聚焦于采用單一 ω 的溫度調節似然，而引入多個（可能相關）的 ω 或可增強靈活性；加權/復合似然文獻中的見解或可提供富有成效的啟示。(vi) 我們的推斷過程在很大程度上忽略了干預過程的設計；若采納適當的干預設計（參見 Imai 等 [2013] 與 Chattopadhyay 等 [2026]），其效率或可進一步提升。(vii) 所提出的框架具有一般性，可拓展至更廣泛的模型類別，包括廣義線性混合模型與生存模型；此為當前研究課題。(viii) 近期進展（如 Fong 等 [2024]）將貝葉斯推斷視為預測任務，并通過對目標估計量的更強聚焦而舍棄先驗；然而，如何將因子類及相關一般模型納入該框架尚不明確，此仍為開放性問題。

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