從拋物線到馬鞍面，如何理解矩陣二次型？

你是否還記得中學(xué)數(shù)學(xué)里那個熟悉的拋物線y=ax2+bx+c？它的開口方向由a決定，與x軸的交點(diǎn)由判別式Δ決定。這就引出了一個核心問題：如何判斷一個多項(xiàng)式的值是恒正、恒負(fù)還是有正有負(fù)？

本文正是從這個簡單的中學(xué)問題出發(fā)，將視野拓展到更廣闊的領(lǐng)域。它展示了如何用矩陣語言來描述多變量的二次函數(shù)，并利用特征值、行列式和合同變換等線性代數(shù)工具，來解決更復(fù)雜維度的“開口方向”和“正負(fù)性”問題。

撰文|朱慧堅(jiān)（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授）、丁玖（廣州南方學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授）

從一元二次函數(shù)說起

讀過中學(xué)的人對實(shí)系數(shù)二次多項(xiàng)式 = 2 + 2 + 是最熟悉不過的了。 這個函數(shù)的圖像是站立的拋物線，開口朝上或朝下依二次項(xiàng)系數(shù) 大于或小于零 而定。另外，這根拋物線是否完全不碰 -軸，又和另一數(shù)有關(guān)系：如果 ? 2 大于零，則拋物線不碰橫坐標(biāo)軸，這時上述方程沒有實(shí)數(shù)根；如果 ? 2 小于 零，則拋物線非穿過 -軸兩次不可，兩個交點(diǎn)的 坐標(biāo)分別等于一元二次方程 2 + 2 + = 0 的相異實(shí)數(shù)根。剩下的情形是 ? 2 等于零，此時光滑曲線與 -軸像戀人般“相擁而吻”。看來 2 + 2 + 中三個常數(shù)字母構(gòu)成的表達(dá)式 ? 2 ，決定了多項(xiàng)式的不同行為；它的相反數(shù)被叫做“判別式 ”。注意，在通常初等代數(shù)教科書里， (2) 2 ? 4 稱為判別式 ，但它與這里的判別式僅差正 數(shù)因子 4 ，故它們本質(zhì)上無異。

這些簡單的初等知識可以引導(dǎo)人們走向更加寬廣的數(shù)學(xué)世界，幫助理解一系列屬于不同學(xué)科的新概念，而它們的源頭依然是我們最近一直在談?wù)摰木€性代數(shù)。首先，將上面單變量函數(shù)中的一次冪 乘上一個因子 ，然后在常數(shù) 后 面乘上 的平方，得到兩個變元的齊次二次多項(xiàng)式 2 + 2 + 2 。說它是 “齊次”是因?yàn)樗许?xiàng)的次數(shù)（各因子變元的冪次數(shù)之和）都一樣；對于n次齊次多項(xiàng)式，如果你把其中的每一個變元都同時放大k倍，那么整個多項(xiàng)式就會放大kn倍。

為什么要引進(jìn)如上兩個變量的齊次多項(xiàng)式？原因是它可以很自然地用矩陣乘法的語言重新表達(dá)。讀者馬上就能驗(yàn)證如下的恒等式

如果將上式中的二階方陣用 表示，二維列向量記為 ，則 2 + 2 + 2 變 成 ，其中上標(biāo) 代表矩陣和向量的轉(zhuǎn)置運(yùn)算。

模仿中學(xué)代數(shù)所問“單變量二次多項(xiàng)式何時恒正，何時恒負(fù)，或者有正有 負(fù)？”我們問大學(xué)代數(shù)中的類似問題：“在什么情況下，雙變量二次多項(xiàng)式 2 + 2 + 2 的值對所有不全為零的 和 都為正、都為負(fù)或有正有負(fù)？”

二元二次型的符號判別

下面分別用中學(xué)生的方法和大學(xué)生的方法求解上述問題。先用初等代數(shù)。將二次函數(shù)進(jìn)行恒等變形：

由上可見，要想左式恒大于零或恒小于零， 必須大于零或小于零。在這個必要 條件下，假設(shè) ? 2 > 0 。如果 不為零，那么無論 取什么實(shí)數(shù)，上面最后一個等號后面方括號內(nèi)那個表達(dá)式大于或等于正數(shù) ( ? 2 ) 2 / 2 。此時 2 +2 + 2 在 > 0 時總大于零，在 < 0 時總小于零。若 = 0 ，則對所有的非零數(shù) ，都有 2 + 2 + 2 = 2 全大于零或全小于零，依 > 0 或 < 0 而定。所以，若 > 0 和 ? 2 > 0 ，則 2 + 2 + 2 的值除了當(dāng) = = 0 外都大于零；若 < 0 和 ? 2 > 0 ，則該多項(xiàng)式的值對所有不全為零的 和 都小于零。由于 和 在多項(xiàng)式中的對稱性，同理可知， 2 + 2 + 2 > 0 或 < 0 對所有不全為零的 和 都為真的另一個充分條件是 > 0 和 ? 2 > 0 或 < 0 和 ? 2 > 0 。反過來易見， > 0 , > 0 和 ? 2 > 0 或 < 0 , < 0 和 ? 2 > 0 也是函數(shù)值恒大于零或小于零的必要條件。此外不難看出， 2 + 2 + 2 的值可正可負(fù)的充要條件是 ? 2 < 0 。

下面用矩陣手段證明同一結(jié)論，走一條與本文主題相關(guān)的道路，即采用筆者在之前文章中介紹過的“特征值”概念。計(jì)算 的特征多項(xiàng)式

它的兩個實(shí)數(shù)根是

分別求解齊次線性方程 ( ? ) = 0 和 ( ? ) = 0 ，算出對應(yīng)于各自特征值 和 的特征向量（假定 ≠ 0 ）

顯見這兩個特征向量相互正交，即 = 0 ，這也是上篇文章《》里命題“實(shí)對稱矩陣對應(yīng)于相異特征值的特征向量必定正交”的直接應(yīng)用。設(shè) = 0 ，則 有特征值 和 。無論 和 是否相等，都有正交特征向量

避開 = 0 這一特殊情形，令

其中 ‖ ‖ 和 ‖ ‖ 分別為 和 的歐幾里得 2 -范數(shù)（所有分量平方和的平方根 ） ，則 是正交矩陣，因而它是可逆矩陣且逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣。由于 / ‖ ‖ 和/ ‖ ‖ 是 分別對應(yīng)于 和 的特征向量，有 = ，其中對角矩陣

由此得到正交相似關(guān)系 = = ?1 。令

它建立了從 2 到自身的一個雙射（即單射和滿射 ） 。進(jìn)行變量替換：

現(xiàn)考慮第一種情形 > 0 （或 < 0 ）和 ? 2 > 0 ，即 的第一行第一列元素大于零（或小于零 ） ，且它的行列式大于零。這時，由于 > 2 ≥ 0 ，系數(shù) > 0 （或 < 0 ） 。由特征值 和 的表達(dá)式 （ 1 ） ，它們均為正 （或均為負(fù) ） 。故對不全為零的 和 ? ，有 2 + ? 2 > 0 （或 < 0 ） 。所以對全部不全為零的數(shù) 和 ，都有

2 + 2 + 2 > 0 （或 < 0 ）。

反過來，如果上式對所有非零向量 [ , ] 都滿足，即

類似地，代入 [ , ] = [ 0 , 1] 給出 > 0 （ 或 < 0 ） 。由 的特征值 和 的表達(dá)式（1）可知，它們均為實(shí)數(shù)。設(shè) （ = 或 ）是 的一個特征值， 為其對應(yīng)的實(shí) 特征向量。將 左乘 = ，得 = ，故 = / 。既然 為正， 便與 同號。所以 的兩個特征值（包括重數(shù)） 同號。因?yàn)樗鼈兊姆e等于 的行列式，故有 ? 2 = | | > 0 。

上面的推理過程也讓我們明白，第二種假設(shè) ? 2 < 0 等價于 和 一正一負(fù)，因而 2 + 2 + 2 = 2 + ? 2 對某些 [ , ] 為正，對別的 [ , ] 為負(fù)。

一般二次型與合同變換

熟悉了二階實(shí)對稱矩陣給出的雙變量二次型的值域特征，就可對任意階實(shí) 對稱矩陣進(jìn)行一般性的理論探討。設(shè) = [ ] 為一 階實(shí)對稱矩陣，即它所有元素都是實(shí)數(shù)，且關(guān)于主對角線對稱分布，即對所有行列指標(biāo) 和 都有 = 。 下文中的 均為實(shí)對稱矩陣，不再每次都交代。我們將表達(dá)式 稱為由 確定的關(guān)于 的 矩 陣二次型 ，簡稱 二次型 ，其中列向量 的分量記作x?, x?, … , 。所有這樣的 維列向量的全體，按照通常的向量加法和數(shù)乘向量運(yùn)算，構(gòu)成了歐幾 里得空間 ，其中任意兩個向量 和 的內(nèi)積由表達(dá)式 ? ? + ? + 定義。向量 的歐幾里得 2 -范數(shù) ‖ ‖ 定義為 與 的內(nèi)積之平方根。如果兩個向量的內(nèi)積等于零，則說它們是相互 正交 的。

之所以將 稱為二次型，是因?yàn)槌顺龊笏拇鷶?shù)表達(dá)式

是變量 ? , … , 的齊次二次多項(xiàng)式。二次型的用途多種多樣，至今仍吸引著研 究者們?yōu)橹@研。

“變量替換”是數(shù)學(xué)中常見的一種把戲，目的不外乎是化繁為簡，便于計(jì)算。初等微積分里的定積分變量替換法就是眾所皆知的一例。對于二次型，這也是獲取“標(biāo)準(zhǔn)型”的一條途徑。此法的基本思想已經(jīng)體現(xiàn)在本文前面的二元 例子中。如果讓 ∈ 被替換成 ∈ ,當(dāng)然需要這種替換不僅“簡單易行”， 而且“來去自由”。滿足這兩個要求的非“線性可逆變換”莫屬，“線性”使得 運(yùn)算簡單，“可逆”保證往返都行。故令 = ，其中 為一可逆矩陣，然后

= ( ) = ( ) 。

記 = ，則 繼承了 的對稱性。與矩陣 相關(guān)的二次型 變成了與矩陣 相關(guān)的二次型 。這時我們說 與 合同 。所有同階矩陣之間的合同關(guān)系是 個 等價關(guān)系 ，即：方陣 與自己合同（因?yàn)?= ，其中 是單位矩陣 ） ；若 與 合同 ， 則 與 合同（因?yàn)? = 推出 = ( ? 1 ) ? 1 ） ； 條件 與 合同及 與 合同隱含 與 合同（因?yàn)?= 及 = 隱含 = = ( ) ( ) ） 。

由于在上述可逆線性變換關(guān)系下， 同 雙雙可以窮盡它們所在的基本空間 中的所有向量，所以多元二次函數(shù) 與多元二次函數(shù) 具有同樣的值域，找到其中的一個，也就獲得了另外的一個。如果變換 取得特別好，以至于 矩陣 成了一個對角矩陣，那么人們“化簡二次型中嵌入的矩陣”之希望就完全實(shí)現(xiàn)了。問題是，這個希望有可能落空嗎？

答案是“不必?fù)?dān)心”，因?yàn)閷?shí)對稱矩陣具有與生俱來的優(yōu)秀性質(zhì)：它們正交 相似于實(shí)對角矩陣。再次回憶矩陣相似的意思：兩個同階方陣 和 稱為彼此相似 ，如果存在非奇異矩陣 使得 = ?1 。與合同一樣，所有同階矩陣之間 的相似關(guān)系也是一個等價關(guān)系。

與實(shí)對稱矩陣常常形影不離的一類實(shí)矩陣是“正交矩陣”，它們的每一列都 是單位向量，即歐幾里得 2 -范數(shù)為 1 ，并且所有列兩兩正交。或言之，方陣 為 正交矩陣意指 = 。正交矩陣是可逆矩陣，逆矩陣就是其轉(zhuǎn)置矩陣。這樣就有此類矩陣的特色雙等式： = = 。第二個等式說明正交矩陣的所有行向量也像所有列向量那樣構(gòu)成了 的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。

在相似性等式 = ?1 內(nèi)，如果非奇異矩陣 更上了一層樓升格為正交矩陣 ，那么這個相似關(guān)系同時又是合同關(guān)系 = ！妙就妙在，正如線性代 數(shù)教科書中都會擺出來展示的那樣，正交矩陣可以出馬使得相應(yīng)的合同關(guān)系中的 成為形式最為簡單的對角矩陣，其主對角元恰好是 的全部特征值。

現(xiàn)在我們采取拿來主義的方針，將上一篇文章《》中的一個主要結(jié)果借來，作為下面繼續(xù)討論的出發(fā)點(diǎn)。這個結(jié)果對更一般的復(fù)數(shù)域上的埃爾米特矩陣（也叫厄米矩陣，即其共軛轉(zhuǎn)置等于自己的那些矩陣）成立，自然對本文的主角實(shí)對稱矩陣也情有獨(dú)鐘，因此我們只對實(shí)矩陣列出如下的預(yù)備知識：

引理.存在正交矩陣 使得

其中 為實(shí)對角矩陣，它的 個主對角元均為 的特征值，且相同特征值出現(xiàn)的次數(shù)等于該特征值的代數(shù)重數(shù)（這時等于幾何重數(shù)，可以簡稱 重數(shù) 了 ） 。

等式 = 的等價形式 = 告訴我們，正交矩陣 的每一列都是 的特征向量，它所屬的特征值就位于 的主對角線相對應(yīng)的那個位置上。如果將 的所有相異特征值排列成 ? , ? , … , ，則可相應(yīng)重排 的各列，使得在上述引理中， 可以將與 正交相似的實(shí)對角矩陣 的主對角元按照特征值的重數(shù)如下排列：

? , … , ? , ? , … , ? , … , , … , 。

這樣， = 的分塊矩陣寫法就是

或可按塊寫成

= , = 1 , … , 。

我們早已知道，彼此相似的矩陣具有完全一樣的特征值，即不僅它們的數(shù)值一樣，而且其代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)也一樣。從正交相似于 的對角矩陣 ，一 眼就可看出 有幾個正特征值、幾個負(fù)特征值、幾個零特征值，全部把重數(shù)考慮在內(nèi)。只要知道了正特征值的個數(shù)，負(fù)特征值的個數(shù)就可隨即得知，因?yàn)檫@兩個非負(fù)整數(shù)之和等于 的秩。而特征值零的個數(shù)則等于 的階數(shù)減去秩。我們繼而說明，從 出發(fā)，一步就可構(gòu)造出某個非奇異矩陣 ，使得 = Σ ，其中 Σ 為一特殊對角矩陣，特殊性表現(xiàn)為其主對角元頂多包含三個數(shù) + 1 , ? 1 , 0 ，而它們在主對角線上出現(xiàn)的次數(shù)恰好是 的正特征值、負(fù)特征值、零特征值的個數(shù)（重數(shù)包括在內(nèi) ） 。 的構(gòu)造如下：

任一實(shí)數(shù)都可寫成它的符號（ +1 或 ? 1 ）乘以它的絕對值的形式。據(jù)此，將引理中正交相似等式 = 內(nèi)的對角矩陣 做進(jìn)一步的因子分解：

= Σ = Σ ，

其中三因子均為對角矩陣，它們的主對角元如下指定：對 = 1 , … , ，若 的第 個主對角元為非零數(shù)，則 的第 個主對角元取為該數(shù)絕對值的平方根，而 Σ 的第 個主對角元為 +1 或 ?1 ，全依 主對角線上的那個數(shù)是正數(shù)或負(fù)數(shù)而定；若 的第 個主對角元為零，則將 的第 個主對角元取為 1 ，而將 Σ 的第 個主對角元取為零。這樣就保證了矩陣 可逆。如此的分解給出

= = Σ = ( )Σ() 。

定義 = ，則 = Σ ，同時我們完成了下一個命題的證明。

命題1. 任一 階矩陣 與某個對角矩陣 Σ 合同，其中 Σ 的主對角元組成 {+1 , ? 1,0} 的子集，且主對角元中 +1 和 ?1 各自出現(xiàn)的次數(shù)分別等于 的正特征值重數(shù)之和和負(fù)特征值重數(shù)之和，而 0 出現(xiàn)的次數(shù)等于特征值 0 的重數(shù)。

命題 1 中出現(xiàn)的 +1 的次數(shù)和 ?1 的次數(shù)（即 的正特征值和負(fù)特征值的各自 總重數(shù) ） ，被分別稱為 的 正 慣性指數(shù) 和 負(fù)慣性指數(shù) ，而 0 出現(xiàn)的次數(shù)則等于 的 階數(shù)減去這兩個慣性指數(shù)之和，它也恰好是 的零空間 () 的維數(shù)（有時叫做 的 零度 ） 。上述結(jié)果表明，實(shí)對稱矩陣合同于某個主對角元只可能是 +1 , ? 1 和 0 的一個對角矩陣。

西爾維斯特慣性定律

下面問題來了：如果同一個 經(jīng)過另一個非奇異矩陣 而合同于一個新的對 角矩陣 Σ ，其主對角元只可能包含 +1 , ? 1 和 0 ，那么所得的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性 指數(shù)會有變化嗎？如果有變化，則上一段中所說的“ 的正負(fù)慣性指數(shù)”就不盡合理，因?yàn)檫@兩個指數(shù)不能由 唯一確定。

令人放心的是，“ 的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)”是定義合理的，因?yàn)樵缭?852 年，“矩陣”一詞的創(chuàng)造者、英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特 （ James Joseph Sylvester ， 1814 - 1897 ）證明了現(xiàn)以他名字命名的“西爾維斯特慣性定律”（ Sylvester’s law of i n e r t i a ）：

定理1. 的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)是 的 不 變量 。換言之，所有與 合同的主對角元只可能包含 +1 , ? 1 和 0 的對角矩陣中的 +1 , ? 1 和 0 之各自個數(shù)保持不變。

定理 1 的證明需要向量子空間直和維數(shù)加法關(guān)系的一個等式，我們先復(fù)習(xí) 一下這個等式。如果向量子空間 和 只有零向量彼此共享，則它們的“和向 量空間” + = { + | ∈ , ∈ } 的維數(shù)等于 的維數(shù)加上 的維數(shù)。此時 + 稱為 直和 ，記為 ⊕ 。

現(xiàn)在開始證明慣性定律。假設(shè)存在兩個非奇異矩陣 和 ，使得 = Σ 和 = ，其中兩個對角矩陣 Σ 和 的主對角元依次分別為 ? 個 +1 ， 個 ?1 以及 ? ? ? 個 0 和 個 +1 ， 個 ?1 以及 ? ? 個 0 。注意到因?yàn)樵诤贤儞Q下，矩陣的秩不會改變，故 ? + = + 。我們先證明 ? ≤ 。

定義 的兩個子空間如下：

既然 : → 是雙射，它保持 的任何子空間的維數(shù)不變，而子空間 { ∈ | ?+1 = ? = = 0} 的維數(shù)等于 ? ，所以 的維數(shù)為 ? 。因?yàn)?: → 也是 雙射，同理可證 的維數(shù)是 ? 。

任一非零向量 ∈ 可以寫成 = ，其中 的后 ? ? 個分量為 0 。這樣，

= ( ) = = Σ > 0 。

類似地，任一向量 ∈ 可以寫成 = ，其中 的前 個分量為 0 。這樣，

= ( ) = = ≤ 0 。

上面兩個不等式的直接推論是 ∩ = {0} 。

根據(jù)前述的子空間直和的維數(shù)關(guān)系， 的維數(shù) ? 加上 的維數(shù) ? 等于 ⊕ 的維數(shù)。因?yàn)?⊕ 的維數(shù)總是小于或等于母空間 的維數(shù) ，故有不等式 ? + ( ? ) ≤ ，即 ? ≤ 。同法可證 ≤ ? 。所以 ? = ，并直接推出 = 。這就完成了對這一經(jīng)典定理的論證。

的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)之差被稱為 及其對應(yīng)的二次型的 符號差 。俄羅斯數(shù)學(xué)家阿諾德（ Vladimir Arnold ， 1937 - 2010 ）講過這樣一個故事，他曾面 試一位法國應(yīng)用數(shù)學(xué)家，問道：“ 的符號差是什么？”這位就數(shù)值計(jì)算二次 型已發(fā)表了數(shù)十篇研究論文的專家答不出，嘟噥道：“我編寫的電腦程序可以很 快算出隨便多大矩陣的符號差，但我的頭腦不能像電腦算得那么快。”其實(shí)這個 二次型是由矩陣

確定的。阿諾德想通過這個真實(shí)故事來嘲弄一番他眼里的“法國布爾巴基主義 數(shù)學(xué)家”。我們邀請本文讀者替這個倒霉的法國人解答俄國人阿諾德的試題，順 便向這位已故 15 年的世界著名數(shù)學(xué)家展示一下中國人的數(shù)學(xué)思維能力。

如用特征值的術(shù)語，上述西爾維斯特慣性定律的等價說法是： 兩個同 階的實(shí)對稱矩陣具有相同數(shù)量的正特征值 、 負(fù)特 征 值和零特征值 ， 當(dāng)且 僅當(dāng)它們是 合同的 。

正定性的判別法：特征值與主子式

回想起在本文開始，我們不厭其煩地討論了一個初等代數(shù)問題 ：“ 2 + 2 + 2 在何種條件下，對所有不全為零的 和 值保持為正、為負(fù)或正負(fù)相 間？”現(xiàn)在，我們已經(jīng)儲備了足夠的知識，可進(jìn)一步對多元齊次二次多項(xiàng)式探討同一類型的“值域”問題。

一個 階矩陣 如果滿足條件：對所有的非零向量 ∈ ，不等式 > 0（或 < 0 ）都成立，則稱它為 正定 （或 負(fù)定 ） 的；如果對所有的向量 ∈ 都有 ≥ 0 （ 或 ≤ 0 ） ，則稱 為 半正定 （或 半 負(fù)定 ）的；若存在 中的兩個向量 和 ，使得 > 0 和 < 0 ，則說 為 不定 的。如下結(jié)果清楚表明， 的 特征值的符號可以刻畫它的正定（或負(fù)定）性和半正定（或半負(fù)定）性。

命題2.正定（或負(fù)定）矩陣的所有特征值均為正數(shù)（或負(fù)數(shù) ） ；半正定（或半 負(fù)定）矩陣的所有特征值均為非負(fù)數(shù)（或非正數(shù) ） 。反之亦然。

證明. 首先 的所有特征值都是實(shí)數(shù)，設(shè) 為其中之一， 為對應(yīng)的實(shí)特征向 量。則 = 隱含 = 。若 正定（或負(fù)定 ） ，則 = / > 0（或 < 0 ） ，若 半正定（或半負(fù)定 ） ，則 = / ≥ 0 （或 ≤ 0 ） 。

反之，設(shè) 的所有特征值 1 , … , 為正，則由正交相似關(guān)系 = 可知，對角矩陣 的所有主對角元 1 , … , 都是正數(shù)。任給非零向量 ∈ ，令 = ，則有

即 是正定矩陣。若 的所有特征值為負(fù)、非負(fù)或非正，同理可證相應(yīng)結(jié)論。 上述命題的一個直接結(jié)果是： 是不定的當(dāng)且僅當(dāng) 有正負(fù)特征值。此外，正定或負(fù)定矩陣因?yàn)闊o零特征值，必定是非奇異的。

在本文前部，我們證明了二階實(shí)對稱矩陣是正定（或負(fù)定）的充要條件是它的首行首列元素為正（或?yàn)樨?fù)）及它的行列式為正。首行首列元素既是方陣的一階子方陣，也是它所對應(yīng)的行列式，而方陣的行列式則是它的第一行第二行以及第一列第二列元素構(gòu)成的二階子方陣所對應(yīng)的行列式。這兩個行列式的行和列在方陣中的指標(biāo)分別從 1 連續(xù)增加到 1 或 2 ，因此分別被叫做它的一階或二階前導(dǎo)主子式。這樣，我們已知的結(jié)果用新的術(shù)語來敘述就是：二階實(shí)對稱矩陣是正定（或負(fù)定）的，當(dāng)且僅當(dāng)它的一階前導(dǎo)主子式大于（或小于）零及二階前導(dǎo)主子式大于零。

這個結(jié)論可以推廣到 階矩陣 。對于 = 1 , … , ，由 的第 1 行至第 行與第 1 列至第 列相交處的元素構(gòu)成的 階子方陣所對應(yīng)的行列式稱為 的 階 前 導(dǎo)主子式 。下面的定理 2 用行列式刻畫了 的正定性，和上面的定理 1 一樣都是 由西爾維斯特發(fā)現(xiàn)的；它被稱為關(guān)于正定矩陣的“西爾維斯特判別法”。

定理2 . 一個實(shí)對稱矩陣是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有前導(dǎo)主子式均為正數(shù)。

證明 . 先證必要性。設(shè) 為正定矩陣，并令 為 的第 1 行至第 行與第 1 列至第 列相交處的元素構(gòu)成的 階子方陣，它顯然也是對稱矩陣。任給一 維非零向量 ∈ ，在 的所有分量后面添加 ? 個 0 ，所得的 維非零向量記為 ，則有

即 是正定矩陣。命題 2 保證 的所有特征值均是正數(shù)。另一方面，由于方陣的行列式等于它的全部特征值之積，故有 | | > 0 ，也就是說， 的 階前導(dǎo)主 子式大于零。

現(xiàn)證充分性。我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果 的所有 個前導(dǎo)主子式都大于 零，則 是正定的。對 = 1 ，二次型為二次單項(xiàng)式函數(shù) 2 ，顯然當(dāng) > 0 時，一階矩陣 [ ] 是正定的。 = 2 的情形本文最前面已經(jīng)得證。假若定理 2 對 為真，并設(shè)分塊寫出的 + 1 階實(shí)對稱矩陣

的所有 + 1 個前導(dǎo)主子式都大于零；特別地， 階實(shí)對稱矩陣 的所有 個前導(dǎo)主子式都是正數(shù)，故根據(jù)歸納假設(shè)， 為正定矩陣。相應(yīng)地，將非零向量 ∈ +1 寫成分塊形式

將 +1 -1 記為 ，則上式便可寫成

若 +1 = 0 ，則 = 0 ，但因這時 ≠ 0 ,故由于歸納假設(shè)， = > 0 。若 +1 ≠ 0 ，則由在下一段里將補(bǔ)充證明的不等式 > -1 ，有

為了讓證明完善，我們用分塊高斯消元法證實(shí) ? ?1 > 0 ：用 ? ?1

左乘分塊矩陣（2） 中的第一行，再將結(jié)果加到第二行，就得到形如

的因子分解。兩邊取行列式，得

因?yàn)?| | 和 || 均為正數(shù)， ? ?1 也應(yīng)是正數(shù)。這就完成了定理 2 的證明。

如果讀者想“舉一反三”，可能會受命題 2 的“誤導(dǎo)”，猜測半正定矩陣 的一個等價說法是“ 的所有前導(dǎo)主子式均為非負(fù)數(shù)。”這個說法其實(shí)是錯的， 因?yàn)橄旅娴娜A實(shí)對稱矩陣

提供了一個反例：這個簡單矩陣的三個前導(dǎo)主子式分別是非負(fù)數(shù) 0 , 0 , 1 ，然而

上例說明，僅僅要求所有的前導(dǎo)主子式均為非負(fù)數(shù)，不足以保證矩陣的半正定性，比之更強(qiáng)的條件是所論方陣的全部主子式都是非負(fù)數(shù)。一般主子式與前導(dǎo)主子式的區(qū)別在于，后者的行和列在原矩陣中的指標(biāo)必須窮盡從 1 到某個 的所有自然數(shù)，而前者只需要子矩陣所有行和列在母矩陣中的原先行列指標(biāo)是全然相同的正整數(shù)。下面是用全部主子式表達(dá)出的半正定性質(zhì)之等價條件，因 為它的證明依賴于定理 2 ，我們將它列為一個直接推論：

系1. 實(shí)對稱矩陣為半正定的充分必要條件是它所有的主子式都是 非負(fù)數(shù)。

證明. 必要性的證明與定理 2 證明中必要性的論證過程大同小異，我們就省略不寫了。現(xiàn)證充分性。假設(shè) 的所有主子式都大于或等于零。令 為一正數(shù)，考慮攝 動后的實(shí)對稱矩陣 + 。下面我們用定理 2 證明它是正定的。

任取 + 的一個 階前導(dǎo)主子式，它對應(yīng)的子矩陣為 + ，其中 是 的對應(yīng)子矩陣。由假設(shè)條件知， || ≥ 0 。通過展開行列式，我們有

其中 () 為 中所有的 階主子式之和。由于 的所有主子式也是 的主子式， 故都是非負(fù)數(shù)，因此 ( ) ≥ 0 。又因?yàn)? > 0 ，所以上面 | + | 的表達(dá)式說明| + | ≥ > 0 。定理 2 則保證了 + 對任一正數(shù) 都是正定矩陣，即對所有的非零向量 ∈ ,

對上面不等式的兩端取 → 0 的極限，得到 ≥ 0 。這證明了 是半正定的。

對于負(fù)定矩陣和半負(fù)定矩陣，分別有與定理2和系1相似的結(jié)果。因?yàn)槭秦?fù)定（或半負(fù)定）矩陣當(dāng)且僅當(dāng)-是正定（或半正定）矩陣，從上述定理2和系1出發(fā)就能毫無困難地分別推出對矩陣負(fù)定性（或半負(fù)定性）的判別法：

系2 . 一個實(shí)對稱矩陣是負(fù)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有偶數(shù)階前導(dǎo)主子式均為正 數(shù)，所有奇數(shù)階前導(dǎo)主子式均為負(fù)數(shù)。

系3.一個實(shí)對稱矩陣是半負(fù)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有偶數(shù)階主子式均為非負(fù)數(shù)，所有奇數(shù)階主子式均為非正數(shù)。

應(yīng)用掠影：最優(yōu)化問題與動力系統(tǒng)

到目前為止，我們學(xué)到了實(shí)對稱矩陣及其子類——正定或半正定矩陣的基本性質(zhì)，讀者肯定想知道這些知識在其他學(xué)科中有哪些重要應(yīng)用。老實(shí)說，它們的應(yīng)用例子多如牛毛，尤其在當(dāng)今的大數(shù)據(jù)時代。作為一個范例，讓我們瞧一瞧正定矩陣的二次型性質(zhì)怎樣用于在機(jī)器學(xué)習(xí)中大放異彩的最優(yōu)化理論。

在最優(yōu)化這 門學(xué)科，一個函數(shù) : Ω ? → 的 局部極小點(diǎn)? ∈ Ω意指，在?的一個小鄰域中，(?)的值最小，即存在 > 0，使得只要 ∈ Ω滿足不等式‖ ? ?‖ < ，就有(?) ≤ ()。局部極大點(diǎn)的定義與此類似，它們統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。如果上述不等式對 ≠ ?是嚴(yán)格的，則可在相應(yīng)術(shù)語前加上“嚴(yán)格”二字。若對所有的∈ Ω都有(?) ≤ ()，則稱?為全局極小點(diǎn)或最小值點(diǎn)。同理可定義全局極大點(diǎn)或最大值點(diǎn)。

當(dāng)目標(biāo)函數(shù) 在極值點(diǎn)可求導(dǎo)時，極值點(diǎn) ? 的必要條件是它為 的臨界點(diǎn) ，即 ′ ( ? ) = 0 。這由導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)的定義立即可得，也從拋物線 = 2 在其頂點(diǎn)（對應(yīng)于極小點(diǎn)）的切線為水平線的幾何直觀可見。如果 不可導(dǎo)，恐怕要借用其他分析手段如“凸分析”來獲取一個有價值的必要條件了；這里按下不表。

我們更感興趣的是在可微性條件下極值點(diǎn)的充分條件。上述最優(yōu)性必要條件提示我們，極值點(diǎn)屬于臨界點(diǎn)集合。那么，何種性質(zhì)能確保一個臨界點(diǎn)擔(dān)當(dāng)起極值點(diǎn)的角色？這時，二次型的理論派上了用處。

我們還是以本文最開始的一元二次多項(xiàng)式函數(shù)作先導(dǎo)。令 ( ) = 2 + 2 + 。眾所周知，該函數(shù)的拋物線圖像之頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?, (?))，其中? =?/ 。在頂點(diǎn)處曲線的切線是水平的，即′(?) = 0。若 > 0，(?)是所有 函數(shù)值()中的最小值，而當(dāng) < 0時，(?)則是函數(shù)的最大值。這是連中學(xué)生都知道的事實(shí)。如果我們用微積分中的導(dǎo)數(shù)概念，就會發(fā)現(xiàn)，由于的二階導(dǎo)數(shù)′′() = 2，在的臨界點(diǎn)?處，′′(?) = 2當(dāng) > 0時大于0，當(dāng)< 0時小于0。改用矩陣二次型的語言重述之，就是說，在臨界點(diǎn)?，當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)值被看成是一階矩陣時，若它是正定的，則?是的全局極小點(diǎn)，若它是負(fù)定的，則?是的全局極大點(diǎn)。

現(xiàn)在，我們將上面一元情形直觀的事實(shí)推廣到 元二次多項(xiàng)式

其中 為 階實(shí)對稱矩陣， ∈ ， 為一實(shí)數(shù)。這是非線性規(guī)劃子領(lǐng)域“二次 規(guī)劃”中的基本函數(shù)，也是逼近一般非線性目標(biāo)函數(shù)的基本工具。簡單計(jì)算給出′() = + 和′′() = 。這里我們僅給出當(dāng)為正定或負(fù)定時關(guān)于極值問題的確切結(jié)論。這時，有唯一的臨界點(diǎn)? = ?-1。令 ∈ ，計(jì)算函 數(shù)值的差

然后，前面所得到的二次型性質(zhì)引出如下的結(jié)論：

系4 . 若 正定，則（3）式定義的二次函數(shù) 有最小值(?)，其中? = ?-1是嚴(yán)格全局極小點(diǎn)。若 負(fù)定，則 在嚴(yán)格全局極大點(diǎn) ? 處達(dá)到最大值。

更進(jìn)一步，當(dāng) 是半正定的，只要 屬于 的值域，滿足等式? = ?的任一個向量?都是的最小值點(diǎn)，在 是半負(fù)定的時候，這樣的 ? 則是 的一個最大 值點(diǎn)。證明完全與上面如同一轍，不再復(fù)述。然而需要強(qiáng)調(diào)的是，與正定或負(fù)定矩陣情形嚴(yán)格全局極值點(diǎn)是唯一的事實(shí)相反，矩陣為半正定或半負(fù)定的二次型最優(yōu)化問題的解一般不唯一，甚至無最優(yōu)解。此外，讀者自然也會明白，倘 若 是不定矩陣，對應(yīng)的最優(yōu)化問題則無解，因?yàn)榇藭r對某些 ∈ 有 ( ) > ( ? ) ，而對其他 出現(xiàn) ( ) < ( ? ) 。這是最優(yōu)化界人士不愿看到的現(xiàn)象，然而 卻是另一門覆蓋面廣泛的學(xué)科“動力系統(tǒng)”的專家們津津樂道的話題。

我們就對這個話題以一個二維梯度向量場為例再說幾句。二次型 ( , ) = 2 ? 2 對應(yīng)于不定矩陣

考慮平面上的線性常微分方程組

在連續(xù)動力系統(tǒng)領(lǐng)域，這個梯度向量場 ? ( , ) 的零點(diǎn) ( , ) = (0 , 0) 稱為向量場的平衡點(diǎn)或解 曲線族的不動點(diǎn) ，它也是函數(shù) 的臨界點(diǎn)。由于 ′′(0 , 0) 是不定矩陣， (0 , 0) 既不 是局部極小值也不是局部極大值。事實(shí)上， = 2 ? 2 在 -直角坐標(biāo)系中的圖像是雙曲拋物面，其形狀像一副馬鞍，如下圖所示：

圖片來源 ：Nicoguaro/wikipedia

雙曲拋物面與坐標(biāo)平面 = 0 的交集是開口向上的拋物線 = 2 （ 故(0 , 0) 是 ( , 0) 的最小值 ） ，而與坐標(biāo)平面 = 0 的交集是開口向下的拋物線 = ? 2 （故 (0 , 0) 是 (0 , ) 的最大值 ） 。正因如此，不動點(diǎn) (0 , 0) 被幾何形象地 賦予“鞍點(diǎn) ”之名。

這個鞍點(diǎn)對所論微分方程的解有何意義呢？它意味著所謂“穩(wěn)定流形”和 “不穩(wěn)定流形”的共同存在性；對此例，穩(wěn)定流形是 -軸，不穩(wěn)定流形是 -軸,意思是初始點(diǎn)屬于 -軸的解曲線最終將收斂于平衡點(diǎn) (0 , 0 ) ，而初始點(diǎn)位于 -軸的解曲線將遠(yuǎn)離平衡點(diǎn) (0 , 0) 。如下對此加以證明：直接求解初值問題

其唯一解是

顯然，對 -軸上的任一初始點(diǎn) (0 , 0 ) ，解 ( ( ) , ( ) ) = (0 , 0 ?2 ) 當(dāng) → ∞ 時收斂到平衡點(diǎn) (0 , 0) ，而對 -軸上的任一初始點(diǎn) ( 0 , 0) ，解 ( ( ) , ( ) ) = ( 0 2 , 0)當(dāng) → ∞ 時發(fā)散到無窮遠(yuǎn)。

我們只對多元二次函數(shù)的臨界點(diǎn)分類小試了二次型理論，此時，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是個實(shí)對稱常數(shù)矩陣。對一般的非線性可微多元函數(shù)的同樣問題，人們面臨的現(xiàn)實(shí)是二階導(dǎo)數(shù)矩陣依賴于函數(shù)定義域中點(diǎn)的位置而成為多變量矩陣函數(shù)，然而，借助于在臨界點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)矩陣的二次型性質(zhì)，正定（半正定 ） 、負(fù)定（半負(fù)定）及不定矩陣仍然是解決問題的關(guān)鍵概念。

上述兩例只是浮光掠影地簡述了二次型理論在最優(yōu)化和動力系統(tǒng)中的個別應(yīng)用，其他領(lǐng)域如控制理論、最優(yōu)傳輸、計(jì)算幾何等，都是一般埃爾米特矩陣譜理論的用兵之處，讀者們不妨多留個心眼，說不定哪天你調(diào)試的機(jī)器學(xué)習(xí)模型、規(guī)劃的物流最優(yōu)路線，甚至手機(jī)里信號的精準(zhǔn)過濾，背后都藏著二次型悄悄“發(fā)力”的身影，這數(shù)學(xué)世界的小秘密，還等著大家慢慢發(fā)掘呢！

完稿于從化溫泉鎮(zhèn)廣州南方學(xué)院

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