你說的平均數到底是什么平均？——譯自HLF海德堡桂冠論壇博客

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種種平均數有何不同？原文標題中Mean是一個雙關語，既有“你是什么意思？”的意思，也暗指數學中的“平均數”（Mean）。

圖源：AI生成

作者：Sophie Maclean（HLF海德堡桂冠論壇博客主之一）2026-1-14

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-1-15

如果你問別人最喜歡的數字，大多數人都會有答案。可能是他們的結婚日期，可能是一個對稱性極佳的數字（我一直喜歡8），也可能是具有文化意義的數字。然而，很少有人會有最喜歡的平均值，大多數人聽到這個問題可能會有些困惑。

所以，我有一個目標。我不僅想讓每個人都有自己最喜歡的平均值，還想讓大家了解各種平均值構成的復雜體系，以及它們之間的關聯。

首先需要說明的是，本文不會討論眾數（mode）或中位數（median）。眾數、中位數和平均數在學校里常被作為三劍客一并介紹：眾數是樣本中出現次數最多的結果，中位數則是將數據按升序排列后中間位置的數值。雖然這兩者在統計學中都有其應用場景，但平均數（mean）的應用范圍卻涵蓋了數學的更多領域。

其次要說明的是，我用了復數形式的“means”（平均值）。因為確實存在不止一種平均值。就像中位數和眾數是均值的不同類型一樣，平均數也有不同種類。你在學校里學到的“平均數”，實際上只是其中一種特定類型的平均數，不妨稱之為算術平均數。我們的探索之旅就從這里開始。

算術平均數（arithmetic mean, AM）

算術平均數是大家都熟悉的一種——計算方法是將數據集中所有數值相加，然后除以數值的個數。

也就是說，如果你的數據是x?, x?, ..., x?，那么算術平均數就是：

(x? + x? + ... + x?)/n

它通常用于求解數據集的“中心”數值，因此在統計學中應用廣泛。將它與中位數結合，還能進行更深入的分析。例如，如果一個國家的算術平均收入增長速度快于中位數收入，這可能意味著超級富豪的薪資增長速度超過了大多數人口。

算術平均數在概率論中也非常有用。假設某個隨機事件的可能取值為x?, x?, ..., x?，且每個取值的發生概率相等，那么算術平均數就是該事件的期望值——即如果反復進行這個試驗，你期望得到的平均結果。

介紹完熟悉的算術平均數，現在該引入一種新的平均值了。請看幾何平均數。

幾何平均數（geometric mean, GM）

對于數據集x?, x?, ..., x?，幾何平均數的定義為：

?√(x??x????x?)

即所有n個元素乘積的n次方根。值得注意的是，這等價于以自然常數e為底、以對所有數值取自然對數的算術平均數為指數的冪：

e^[(lnx? + lnx? +? + lnx?)/n]

幾何平均數常用于數據呈現乘法組合關系的場景，比如人口增長率，也可用于計算平均利率。例如，某人投資1000貨幣單位（選擇你喜歡的貨幣），獲得的回報率依次為+10%、-4%、-8%和+25%，最終資金變為1214.4貨幣單位。

此時總回報率為21.44%，回報率的幾何平均數為4.98%（即1+10%、1-4%、1-8%、1+25%這四個數相乘之后開4次方?，然后減1。原文寫的幾何平均值為20%，疑有誤，譯者注)，相較于5.75%的算術平均數（四個回報率+10%、-4%、-8%和+25%，直接相加除以4），它更能反映資金的實際變化情況（逐次平均變化率，每次都按相同的變化率均勻變化，消除忽高忽低的波動，常用于多年的年化收益率計算場景，譯者注）。

一個有趣的事實

關于幾何平均數和算術平均數，有一個有趣的結論：算術平均數始終大于或等于幾何平均數，當且僅當數據集中所有數值相等時，兩者才相等。

當n=2（即數據集中只有兩個元素）時，這個結論很容易證明。設這兩個元素為a和b。

平方數恒非負，因此(a - b)2 ≥ 0，當且僅當a = b時等號成立。展開括號可得：

a2 - 2ab + b2 ≥ 0

兩邊同時加上4ab：

a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab

因式分解左邊：

(a + b)2 ≥ 4ab

兩邊同時開平方：

a + b ≥ 2√(ab)

最后兩邊除以2：

(a + b)/2 ≥ √(ab)

當且僅當a = b時等號成立，這正是我們要證明的結論！

我們也可以通過圖形來證明這個不等式：

算術平均數與幾何平均數不等式的無字證明，由CMG Lee繪制

圖注1：

在上圖中，O是圓的圓心，P、G、R位于圓周上。由于P和R構成直徑，所以△PGR是直角三角形（原文寫的等邊三角形，寫錯了，譯者注）。Q是直徑PR上的一點，PQ的長度為a，QR的長度為b。圓的半徑為(a + b)/2，即a和b的算術平均數，在圖中以粉色線段AO標示。

要計算紫色線段GQ的長度（設為x），我們可以利用直角三角形的相似性得到a/x = x/b或射影定理：x2=ab，解得x = √(ab)，即幾何平均數。從圖中可以清晰地看到，粉色線段AO長于紫色線段GQ（僅當Q位于圓心時，兩者長度相等），這直觀地證明了算術平均數大于幾何平均數。

這個關于算術平均數和幾何平均數的結論被稱為AM-GM不等式（取自兩種平均數的首字母），是全球高中數學競賽中的常見知識點。該不等式的一個巧妙應用是：對于周長固定的矩形，當它為正方形時，面積最大！

這是因為如果矩形的邊長為a和b，其周長為2(a + b)，即算術平均數的4倍。因此，周長固定意味著算術平均數固定，而幾何平均數（即矩形面積的平方根）有一個固定的上限，且僅當a = b時才能達到這個上限。

調和平均數（harmonic mean, HM）

短暫的插曲過后，我們繼續探索新的平均值，接下來是調和平均數。它是所有數值倒數的算術平均數的倒數。因此，對于數據集x?, x?, ..., x?，調和平均數的計算公式為：

n/(1/x? + 1/x? + ... + 1/x?)

調和平均數有一些令人意想不到的應用，常用于與比率和速率相關的場景。例如，一輛汽車以速度x駛出，再以速度y沿原路返回，那么它的平均速度就是x和y的調和平均數。

有趣的是，這里我們假設往返距離相等；如果改為往返時間相等，那么平均速度就會是x和y的算術平均數。

均方根（root mean square, RMS）

最后一種平均值是均方根，顧名思義：先取每個元素的平方，計算這些平方值的算術平均數，再對結果開平方。用公式表示為：

√((x?2 + x?2 + ? + x?2)/n)

它有時也被稱為二次平均數（quadratic mean），這個名稱雖然不夠直觀，但也能讓人大致了解其計算邏輯。

均方根在現實世界中有諸多應用，例如在電氣工程中，交變電流的均方根值等于在特定電阻中產生相同功率的恒定直流電流值。

各種平均值的關系

正如我們有算術-幾何平均值不等式（AM-GM不等式）一樣，也存在一個包含調和平均數（HM）和均方根（RMS）的類似不等式。這個不等式有時被稱為均方根-算術-幾何-調和平均值不等式（RMS-AM-GM-HM不等式），其內容為：均方根大于或等于算術平均數，算術平均數大于或等于幾何平均數，幾何平均數大于或等于調和平均數，當且僅當所有元素相等時，等號成立。

這個不等式的代數證明相當繁瑣，但完全可行。因此，我將為你呈現一個優美的圖形證明，敬請欣賞！

二次平均數（均方根）>算術平均數>幾何平均數>調和平均數的幾何無字證明，由CMG Lee根據美國數學協會網站 https://maa.org 上的圖繪制。

圖注2：

A是圓的圓心，N、Q、G、P位于圓周上（NP構成直徑）。M是直徑NP延長線上的一點（MG垂直于AG，AQ垂直于AM）。

設N到M的距離為a（紅色線段NM），P到M的距離為b（藍色線段PM）。圓的直徑為a - b，因此半徑r = (a - b)/2（灰色線段AQ、AG，也即線段AN、AP）。

A到M的距離為b加上半徑，即(a + b)/2，這是算術平均數（橙色線段AM）。對直角三角形△AGM應用勾股定理，可得r2 + GM2 = a2。已知r = (a - b)/2，解得GM = √(ab)，即幾何平均數（綠色線段GM）。

再次應用勾股定理，對直角三角形△AMQ計算線段QM的長度：

√(AM2 + AQ2) = √[((a + b)/2)2 + ((a - b)/2)2] = √[(a2 + b2)/2]

這正是均方根（青色線段QM）。

最后，利用相似三角形求調和平均數HM的長度。由相似三角形的性質可得HM/GM = GM/AM，因此HM = GM2/AM = 2ab/(a + b)，這確實是調和平均數（紫色線段HM）。

通過這幅圖：QM(代表RMS) ≥ AM ≥ GM ≥ HM，

我們可以直觀地看到：

均方根≥算術平均數≥幾何平均數≥調和平均數。

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/_butwhatdoyoumean

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