JAP：基于聲子玻爾茲曼輸運方程的低溫器件熱點附近熱輸運研究

論文信息：

Ru Jia, Xinyu Zhang, Yufei Sheng, Jiaxuan Xu, Yonglin Xia, and Hua Bao,Thermal transport near hotspots in cryogenic devices via the phonon Boltzmann transport equation.J. Appl. Phys. 139, 015705 (2026)

論文鏈接：

https://doi.org/10.1063/5.0306135

Part.1

研究背景

熱點在低溫器件中普遍存在，尤其是在硅基低溫互補金屬氧化物半導體（低溫 CMOS）中，這類器件在量子計算、天文傳感以及空間探索等應用領域中發揮著至關重要的作用。這些熱點會引發顯著的溫度升高，進而導致器件電學性能下降，在低溫環境下這種影響尤為突出。以往的大多數研究主要集中在低溫下熱輸運的實驗研究方面。大多數現有的聲子玻爾茲曼輸運方程求解器僅限于室溫附近的模擬。本研究結合第一性原理方法與非線性溫度自適應聲子玻爾茲曼輸運方程，對低溫器件熱點附近的聲子輸運進行了深入分析。首先，對低溫下功率密度與溫度升高之間的非線性關系進行了分析和解釋。其次，通過在不同環境溫度下改變熱點尺寸和硅膜厚度，定量評估了偏置條件和聲子 - 邊界散射對熱阻的影響。此外，本實驗還將溫度自適應聲子玻爾茲曼輸運方程得到的結果與縮放后的實驗數據以及聲子黑體輻射模型的結果進行了對比。

Part.2

研究內容

在器件模擬中，宏觀熱輸運常用基于傅里葉定律的熱擴散方程，但器件尺寸縮小時，特征長度與聲子平均自由程相當或更小，聲子輸運會從擴散型轉為彈道型，低溫下這一現象更顯著，且會引發局部升溫影響器件性能，此時需采用聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE）捕捉微納尺度熱輸運。該方程常基于小溫差近似求解，假設聲子特性均勻，相關參數通過灰色近似評估。低溫下求解面臨兩大挑戰：一是缺乏準確的模式分辨聲子特性，已通過加速第一性原理計算解決；二是聲子特性隨溫度變化強烈，需考慮平衡能量狀態非線性及聲子特性溫度依賴性，本研究采用灰色近似平衡精度與效率。此外，聲子黑體輻射模型因能重現熱通量與溫度的四次方關系也用于低溫熱輸運研究，本研究通過對比該模型與聲子 BTE 的偏差，驗證結果并明確二者適用范圍。

本研究重點關注體硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（體硅 MOSFET）和絕緣體上硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（SOI MOSFET）中熱點附近的熱輸運。由于熱點位于漏極 - 溝道結處，我們重點關注了兩種器件硅有源區中的聲子輸運，如圖 1 所示。

圖 1（a）為具有硅有源區的體硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（體硅 MOSFET）的示意圖。（b）為絕緣體上硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（SOI MOSFET）的示意圖。黑色虛線勾勒出了本研究中所考慮的模擬域。其中，黑色圓點代表彈道聲子，白色圓點代表擴散聲子，箭頭代表邊界散射。

本研究對體硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（體硅 MOSFET）有源區中低溫下熱點附近的熱輸運進行了量化和分析。如圖 2 所示，熱點區域的平均溫度升高（即熱點溫度與環境溫度的差值）以及單位長度熱阻（熱阻與器件深度的乘積）是通過聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE）獲得的。這一觀察結果表明，低溫下的熱輸運最初由彈道聲子主導，但隨著溫度的升高，會逐漸轉變為擴散聲子主導。在實際的低溫器件中，僅需幾微瓦的功率，局部熱點就容易出現幾十開爾文的溫度升高。這凸顯了溫度依賴性聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE）的必要性，與黑體輻射近似相比，該方程能夠提供更準確的建模結果。

圖 2（a）為不同功率密度下，環境溫度分別為 20K、50K 和 300K 時，熱點區域的平均溫度升高情況。（b）為不同功率密度下，環境溫度分別為 20K、50K 和 300K 時，單位長度熱阻情況。模擬域對應于圖 1（a）所示的體硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（體硅 MOSFET）結構，其長度 L=1μm。均勻聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE）和溫度自適應聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE）是本研究中對比的兩種方法。前者在給定的環境溫度下使用均勻的聲子特性，而后者則根據局部溫度升高自洽地更新聲子特性。

在金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（MOSFET）中，熱點尺寸通常在幾納米到幾微米之間，并且受偏置條件的顯著影響。實驗表明，低溫下偏置條件對熱阻的影響比室溫下更為顯著，但內在的聲子輸運機制仍不明確。為了填補這一空白，本節研究了熱點尺寸對熱輸運的影響。在圖 3 中，我們計算了兩種具有代表性熱點尺寸（熱點長度分別為 5nm 和 100nm）在不同環境溫度下，熱阻隨熱點溫度的變化情況。通過分析可知：在 60K 以下，低溫下的熱阻與熱點尺寸成反比。在 150K 以上，小熱點尺寸的熱阻開始上升，而大熱點尺寸的熱阻則繼續下降。這一現象與實驗觀察結果一致，并且首次通過聲子輸運機制進行了解釋。

圖 3 與溫度相關的歸一化熱阻。圓形對應兩種熱點尺寸（熱點長度分別為 5nm 和 100nm）下的熱阻。灰色線表示聲子黑體輻射的預測結果，而綠色曲線對應于相關文獻中的歸一化實驗數據。模擬域對應于圖 1（a）所示的體硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（體硅 MOSFET）結構，其長度 L=10μm。

除了彈道聲子和聲子特性的溫度依賴性變化外，絕緣體上硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（SOI MOSFET）中的聲子 - 邊界散射還會進一步導致溫度升高。在室溫下，隨著硅膜厚度的增加，絕緣體上硅金屬 - 氧化物 - 半導體場效應晶體管（SOI MOSFET）的熱阻會降低，并在超過一定厚度后最終達到飽和。在低溫下，盡管有研究報道稱，當厚度減小時（7nm、11nm 和 24nm），熱阻沒有顯著變化，但由于實驗復雜性和制造挑戰，邊界散射的作用仍然難以分離和分析。因此，本節研究了硅膜厚度對室溫和低溫下熱輸運的影響。

圖 4（a）為圖 1（b）所示的絕緣體上硅（SOI）結構在熱點溫度分別為 20K、77K 和 300K 時，厚度為 7nm、20nm、50nm 和 80nm 的單位長度熱阻。（b）為在環境溫度分別為 5K、20K 和 77K，厚度為 7nm 時，單位長度熱阻隨功率密度的變化情況。虛線曲線表示相關方程的結果。

如圖 5 所示，第一性原理結果證實，在 30K 時，聲子 - 聲子散射率（包括正規（N）過程和倒逆（U）過程）比邊界散射率低幾個數量級。這表明在如此低的溫度下，正規（N）過程的貢獻是有限的。在升高的溫度（150K）下，聲子 - 聲子散射增加并變得與邊界散射相當，其中倒逆（U）過程占主導地位。盡管我們的方法存在簡化，但本研究的目的是關注彈道聲子和邊界散射對熱阻的影響，這可以捕捉低溫條件下的主要機制。

圖 5 硅在 30K 和 150K 時的聲子 - 聲子散射率和邊界散射率。

平均自由程（MFP）分布可以通過累積函數來描述。然后，代表性的灰色聲子平均自由程（MFP）可以通過灰色群速度與灰色弛豫時間的乘積來計算。圖 6 顯示了不同溫度下灰色平均自由程（MFP）分布（虛線）和非灰色平均自由程（MFP）分布（實線）。

圖 6 不同溫度下硅的灰色平均自由程（MFP）（虛線）和非灰色平均自由程（MFP）（實線）的累積函數。

將非灰色聲子特性簡化為灰色聲子特性后，硅的溫度依賴性聲子特性如圖 7 所示。灰色比熱容隨溫度的變化與德拜模型在低溫下與溫度的三次方關系一致。

圖 7 硅的溫度依賴性聲子特性。（a）與溫度相關的體積比熱容，（b）與溫度相關的平均自由程（MFP），（c）無邊界散射時與溫度相關的熱導率（κ）。

不同能帶數量下最高溫度的相對誤差如圖 8 所示。灰色近似下的相對誤差小于 7%，在本案例中被認為是可接受的。我們觀察到，隨著溫度從 300K 降低到 60K，灰色近似引起的誤差逐漸減小。這一趨勢是因為在較低溫度下，彈道聲子的貢獻變得更加主導，使得聲子輸運可以通過單一彈道模式有效地表示。

圖 8 在環境溫度分別為 60K、200K 和 300K 時，不同能帶數量下最高溫度的相對誤差。

在本研究中，為了討論長度 L 對低溫模擬中熱阻的影響，我們在固定熱點尺寸（熱點長度 = 5nm）的情況下進行了系統測試。長度 L 在 0.5 至 10μm 之間變化，如圖 9 所示。

圖 9 不同低溫下，不同長度 L 對應的單位長度熱阻。

比熱容的定義在確定最終溫度結果中起著關鍵作用。在非灰色溫度自適應聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE）方法中，比熱容被視為特定模式且與溫度相關，能夠準確捕捉單個聲子的貢獻。相比之下，灰色溫度自適應聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE）使用平均聲子特性，但保留了比熱容的整體溫度依賴性，如圖 10 中的藍線所示。

圖 10 不同方法中考慮的與溫度相關的比熱容。

盡管關于互補金屬氧化物半導體（CMOS）器件低溫熱阻測量的可用文獻有限，特別是在低溫下以及對于具有良好表征幾何形狀的器件，本實驗仍提供圖 11，以更直觀地驗證我們模型的預測能力，并支持與實驗觀察結果的比較。

圖 11 在幾種環境溫度下，溫度升高隨耗散功率的變化，比較了聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE）模擬結果和實驗數據。

圖 12 顯示了在兩種邊界條件下獲得的溫度升高與功率密度的關系。結果表明，熱平衡和絕熱邊界條件之間的溫度升高差異在 5% 以內。

圖 12 側邊界為絕熱和熱平衡時，溫度升高隨耗散功率的變化。

Part.3

研究總結

本研究結合第一性原理與溫度自適應聲子玻爾茲曼輸運方程（BTE），分析了低溫器件熱點附近熱輸運，模擬結果與實驗數據吻合良好。研究表明，彈道聲子、聲子特性的溫度依賴性變化及熱點尺寸是低溫下熱輸運的關鍵影響因素，彈道聲子加劇溫度升高，熱點附近聲子特性劇變導致非線性溫度升高，5K-60K 內熱阻與熱點尺寸成反比，150K 以上可重現并解釋溫度依賴性熱阻；7nm-80nm 硅膜厚度對低溫下熱阻的影響弱于室溫，擬合聲子黑體輻射模型在低溫下適用。這些發現為低溫器件設計中預測自熱、優化結構以降低熱阻、提升可靠性提供了物理層面的指導。

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