科學通報 | 用張量網絡探索開放量子系統的拓撲相: 構造、分類和實現

拓撲量子物態是凝聚態物理與量子信息交叉領域的前沿方向. 過去十余年, 該領域不斷深化人們對量子多體系統的理解. 從拓撲絕緣體、拓撲超導體到各類新型量子材料, 這些特殊拓撲物態不僅在基礎研究中理論價值深厚, 更在未來量子技術中展現出廣闊的應用前景. 隨著對量子糾纏和對稱性認識的提升, 拓撲物態正成為連接物理學各分支的重要紐帶, 為揭示自然界復雜結構、探索新物理規律, 以及開發新一代量子器件提供了全新視角.

在眾多拓撲量子態中, 內秉拓撲態(intrinsic topological states)具有長程糾纏, 反映了強關聯系統中涌現的非平凡量子結構 [1] . 與之相對, 對稱性保護拓撲態(symmetry-protected topological states, SPT態)只具有短程糾纏, 但在特定對稱性的保護下依然呈現出非平凡的拓撲結構 [2] . 這些拓撲結構不能用傳統的局域序參量區分, 其特性通常以零能模、簡并態等形式體現在系統邊界上. 目前, 針對玻色子和費米子系統的SPT相, 已有較為系統的構造和分類研究, 并在量子計算、量子糾錯、量子相變等前沿方向展現出巨大的應用潛力.

然而, 大多數相關研究仍然基于理想的封閉系統, 即系統與環境無耦合、量子態始終保持純態. 在現實中, 量子系統不可避免地受到環境的影響, 如熱漲落、材料缺陷、光學損耗、退相干等, 使其表現為開放量子系統 [3] . 在這種情況下, 現有的SPT理論框架往往不再適用, 由此引出了若干關鍵問題: 在開放量子系統中, 原有的拓撲物態在環境的擾動下能否保持穩定? 除了封閉系統已知的拓撲結構, 開放系統是否還會涌現出全新的拓撲物態?

近年來的理論研究表明, 混態的對稱性結構遠比純態更為復雜多樣. 除了從純態對稱性直接推廣而來的強對稱性(strong symmetry), 還存在一種稱為弱對稱性(weak symmetry)的新類型 [4] . 強對稱性要求混態中每個純態分量在對稱操作下具有相同的守恒量, 而弱對稱性僅要求密度矩陣所代表的整體系綜在統計意義上滿足對稱性, 因此又被稱為平均對稱性(average symmetry). 在一些具有部分退相干、系統和熱環境具有相互作用的真實物理過程中, 系統可能僅以統計平均的方式保留對稱性, 這為刻畫量子混態的拓撲結構提供了新的視角 [ 5 , 6 ] .

在此背景下, 我們提出了一種新的研究思路: 利用張量網絡中的局域純化密度算符(locally purified density operator, LPDO), 構造并分類混態拓撲相 [7] . 張量網絡方法不僅顯著降低了量子多體系統的模擬復雜度, 還能為系統各組分之間的關聯和糾纏結構提供直觀而明確的表示, 因此在拓撲物態的數值模擬、解析構造和分類中具有重要的作用 [ 8 , 9 ] . 其中, LPDO是一種專門用于表示混態密度矩陣的網絡結構, 使我們能夠以可視化、簡潔清晰的方式研究不同對稱性在混態中的作用, 并為構造新型拓撲物態開辟新的途徑.

借助該方法, 我們系統研究了一類混態拓撲相——平均對稱性保護拓撲相(average symmetry-protected topological phases, ASPT相), 并針對一維和二維體系以及玻色子和費米子等多種開放量子系統給出了完整的分類方案 [7] . 特別地, 我們揭示了一種僅存在于開放量子系統、在純態中沒有對應物的特殊拓撲物態, 稱為本征ASPT相. 此外, 我們提出了兩種可在實驗平臺上實現并驗證此類拓撲物態的方案. 本研究不僅建立了理解混態中新型拓撲結構的理論框架, 也為凝聚態物理與量子信息交叉前沿的探索提供了新的思路.

具體而言, LPDO方法的核心思想是在每個物理自由度上引入局域的環境自由度, 從而構造出混態對應的局域純化態, 并利用張量網絡進行建模, 如 圖1(a) 所示. 該方法不僅延續了傳統矩陣乘積態(matrix product state, MPS)在高效表征和計算方面的優勢, 還天然適用于刻畫真實的開放量子系統, 因此已被應用于含噪聲量子線路模擬、量子態層析等量子信息處理任務 [ 10 , 11 ] .

圖 1

(網絡版彩色)基于LPDO的ASPT相構造和分類. (a) 密度矩陣的LPDO表示. (b) 局域張量在強對稱性和弱對稱性下的變換形式. (c) 蜂窩晶格和 C 自旋的疇壁. (d) Z2×Z2×Z2對稱性保護的(2+1)維SPT相的張量結構. (e) Z2×Z2×Z2對稱性保護的(2+1)維SPT相的張量元. (f) Z2×Z4對稱性保護的(2+1)維本征ASPT相的張量元

為了精準刻畫ASPT相, 我們在理論上提出了兩類單射性條件, 以確保所得到的混態結構僅具有短程關聯, 從而規避了對稱性自發破缺和長程糾纏帶來的額外復雜性, 使研究能夠聚焦于可控且穩定的拓撲結構. 我們系統討論了強對稱性和弱對稱性所導致的局域張量變換方程, 如 圖1(b) 所示. 物理自由度(紅色實線)的對稱操作會使虛擬自由度(黑色細實線)和環境自由度(藍色粗實線)產生相應的對稱變換, 可有效刻畫系統的非平凡拓撲結構. 當系統具有強對稱性時, 密度矩陣的每個純態分量均具有同樣的對稱性和對稱荷, 因此物理自由度的對稱操作 Uk 僅會在虛擬自由度上產生一個規范變換 Vk , 使得每個純態分量均保持不變. 此時, 虛擬自由度產生的規范變換對應于對稱群的投影表示, 所保護的拓撲結構對應于封閉系統的SPT分類. 當系統具有弱對稱性時, 密度矩陣在平均的意義上保持對稱性, 但不同的純態分量之間可能會互相轉換或重新線性組合, 因此除了虛擬自由度上的變換 Vg 以外, 還會在環境自由度上產生一個額外的幺正變換 Mg , 以保證密度矩陣在弱對稱性變換下的不變性. 這種情況下, 對稱操作引起的左右矢相位變換會相互抵消, 難以單獨保護非平凡拓撲相.

然而, 當強弱對稱性同時存在時, 兩者在虛擬和環境自由度中的耦合效應可能對拓撲結構形成協同保護, 導致系統邊界出現混合反常(mixed anomaly), 從而形成穩定的拓撲物態. 特別地, 當系統的對稱性并不是強弱對稱性的簡單直積, 而是形成某種群擴展結構時, 就可能涌現出一種在純態系統中從未出現過的新物態——本征ASPT相. 例如, 具有Z4對稱性(由兩個Z2群擴展而成)的一維量子系統沒有非平凡的SPT相, 這是因為群擴展結構對虛擬自由度的變換施加了更嚴格的自洽性條件, 這些條件就像額外的障礙(obstruction), 阻止了非平凡拓撲結構的形成. 但是, 如果將其中一個Z2改為弱對稱性, 它在左右矢上的相位變換會相互抵消, 少了一個約束條件的限制, 反而能夠形成非平凡的拓撲結構. 我們系統推導了出現本征ASPT相的條件, 并且構造了一維和二維系統中本征ASPT相的具體張量網絡表示, 其中二維系統中由Z2×Z4保護的ASPT相的張量網絡結構如 圖1(c~f )所示.

尤其值得強調的是, 基于LPDO中環境自由度的不同物理意義, 我們詳細討論了這些混態拓撲相的兩種實驗實現方案 [7] , 分別對應退相干系統和無序系統. 一方面, 在量子計算平臺上可以通過引入輔助比特來表示環境自由度, 基于量子線路實現純化量子態的實驗制備, 進而在退相干系統中實現量子混態. 另一方面, 環境自由度還能作為密度矩陣所代表的系綜中各量子態的標簽, 借助蒙特卡羅方法對LPDO的環境自由度采樣, 即可構建相應的哈密頓量或量子線路系綜, 通過無序系統實現量子混態制備. 此外, 我們給出了多個具體樣例, 包括一維拓撲物態在退相干系統中的量子線路實現方案, 以及二維拓撲物態在無序系統中的哈密頓量構造, 為后續的實驗驗證提供了明確且可行的路徑. 需要指出的是, 這兩類實驗實現方案也面臨一定的挑戰. 例如, 在退相干系統的實現中, 如何精確控制輔助比特與系統的相互作用而不引入額外噪聲, 是實驗中必須克服的主要問題. 而在無序系統的方案中, 在實驗總次數的限制下如何保證環境自由度采樣的統計充分性, 以區分拓撲效應和無序引起的偶然效應, 也是一個關鍵難點. 這些問題的解決需要進一步發展量子控制與模擬的實驗技術.

綜上所述, LPDO不僅為混態拓撲相的研究提供了一種清晰、直觀且系統化的理論工具, 也為探索非理想環境下的拓撲量子結構開辟了全新思路. 研究結果表明, 豐富且獨特的拓撲量子現象依然能夠在開放系統中涌現, 其中部分拓撲相作為本征結構, 在純態系統中并不存在. 展望未來, 隨著實驗平臺的不斷進步和量子控制精度的提升, 我們有望在真實物理體系中實現并操控這些混態拓撲物態, 為拓撲量子計算、量子通信及量子材料設計注入新的活力.

參考文獻

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[10] Guo Y, Yang S. Quantum state tomography with locally purified density operators and local measurements . Commun Phys , 2024 , 7: 322

[11] Guo Y, Yang S. Locally purified density operators for noisy quantum circuits . Chin Phys Lett , 2024 , 41: 120302

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