如何理解矩陣的特征值問題？

在人工智能與大數(shù)據(jù)飛速發(fā)展的今天，線性代數(shù)已成為理工科領(lǐng)域的“重器”。繼上一篇關(guān)于矩陣秩的探討之后，本文將視線轉(zhuǎn)向了矩陣理論中應用極為廣泛的另一核心領(lǐng)域——特征值問題。

撰文|朱慧堅（廣州南方學院數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授）、丁玖（廣州南方學院數(shù)學 與統(tǒng)計學院教授）

在此前文章中，我們已經(jīng)討論了矩陣乘法、矩陣求逆、求廣義逆及其在最小二乘問題中的應用。在這篇文章里，我們繼續(xù)談論矩陣，不過將重心從算子意義下的逆運算轉(zhuǎn)移到特征值問題。矩陣的特征值問題不僅用途極其廣泛，而且其思想的光芒也在其他數(shù)學學科內(nèi)到處閃現(xiàn)，無論是同樣有具體內(nèi)容的常微分方程論，還是比矩陣概念更加抽象的泛函分析，都能看到它的身影。特征值問題對矩陣形狀只有一個限制條件：它必須是個方陣，即行數(shù)等于列數(shù)的矩陣。從之前的文章我們知道，一個 行 列的實矩陣 = ( ) 是將 維歐幾里得空間 映射到 維歐幾里得空間 的線性算子，它把 中的每一個向量 = ( 1 , … , ) 變換到 中的一個向量 = ( 1 , … , ) ，其中

如果將 和 都寫成列向量的形式，上面從 到 的對應關(guān)系即為 = 。

從現(xiàn)在起我們只考慮方陣，即假設 為一個 行 列矩陣，或言之， 是一個 階方陣（也稱 階矩陣）。如此， = 和 都屬于同一個空間 ，這樣我們 就可以對它們進行比較。而在任何學科的特征值問題中，這種比較是通過相等關(guān)系來刻畫的。通常規(guī)定，兩個向量 相等 是指它們的分量個數(shù)（也叫做它們的維數(shù)）相等，且對應的分量都相等。

復數(shù)域上的特征值

現(xiàn)在定義矩陣特征值問題：對于給定的 階方陣 ，如果存在數(shù) 和非零向 量 ∈ ，使得等式

= λ

成立，則稱 為 的一個特征值， 為 的對應于特征值 的一個特征向量。請讀者注意，特征值 可以是 0 ，也可以不是 0 ，然而特征向量 絕不能是零向量。道 理很簡單，因為當 = 0 時，等式兩端恒等于零向量，所有的數(shù) 都滿足特征值 方程，就沒有“特征”可言了。因此，為了避免這種平凡的情況，滿足特征值問題等式的那個向量 不應該是零向量。

但是這里的定義好像隱藏了一個問題。上面的敘述繼承了我們之前文章中的一個約定做法，只假定矩陣 的所有元素都是實數(shù)，因而它定義了 線性算子 : → ，也就是說對所有的向量 , ∈ 及所有的實數(shù) 和 ，都有

( + ) = + 。

現(xiàn)在問題來了，既然矩陣 和向量 都是定義在實數(shù)域 上，似乎很自然地希望特征值也應該屬于同一個實數(shù)域。讀者可能要問，在這個看似合理的要求下，矩陣是否總存在至少一個特征值。我們先來看一個直觀易懂的例子。

設想我們把 ? 平面上的每個向量都圍繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90 度。這是將 2 映到 2 上的一個線性算子。因為每個非零向量都旋轉(zhuǎn)了一個直角，故它們當中不可能有向量旋轉(zhuǎn)成同一方向或相反方向的向量，所以這個實域上的旋轉(zhuǎn)算子不存在實特征值，在幾何上看是顯而易見的。若用代數(shù)的方法解釋這個現(xiàn)象，不用高中平面解析幾何的坐標旋轉(zhuǎn)公式，而用我們一直提倡的算子思想，很容易寫出該旋轉(zhuǎn)所對應的 2 階方陣：這個 9 0 度的旋轉(zhuǎn)將向量 (1 , 0 ) 旋轉(zhuǎn)到向量 (0 , 1 ) ，而把向量 (0 , 1 ) 旋轉(zhuǎn)到向量 (? 1 , 0) 。因而這個旋轉(zhuǎn)算子由矩陣

表示。我們來檢查是否存在實數(shù) 和非零實向量 ( , ) 使得

上述方程等價于聯(lián)立線性方程組 ? = λ 和 = 。由此得 = ? 2 。若 ≠ 0 ，則 2 + 1 = 0 ，它在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解。若 = 0 ，因 ( , ) ≠ (0 , 0) ，則 ≠0 。同樣的代換邏輯用在 上（ = ? 2 ），也導出 2 + 1 = 0 。所以上述旋轉(zhuǎn) 矩陣 在實數(shù)域內(nèi)不存在特征值，自然也沒有對應的特征向量了。

即便是從前沒有學過矩陣理論的讀者，也可能已經(jīng)想象出了走出困境的方法：在復數(shù)范圍里求解特征值問題，理由是 1806 年被業(yè)余數(shù)學家阿爾岡（ Jean-Robert Argand ， 1768 - 1822 ） 首次無漏洞證明的代數(shù)基本定理“非常數(shù)單 變量多項式至少有一個復數(shù)根”。（在這之前多位著名數(shù)學家如歐拉和拉格朗 日都給出了漏洞不一的“證明”，其中“數(shù)學王子”高斯（ Carl Friedrich Gauss ， 1777 - 1855 ） 于 22 歲時放進其博士論文的證明漏洞最小，但其中的“拓 撲漏洞”要等到 121 年后才被一位 27 歲的俄羅斯數(shù)學家奧斯特羅夫斯基（ Alexander Markowich Ostrowski ， 1893 - 1986 ）完全填補，從中可見復數(shù)的神 秘、深奧和魅力。）

所以，從現(xiàn)在開始，我們在復數(shù)域上研究矩陣特征值問題。令 為一個 階 復方陣，即 的每個元素都是復數(shù)。自然每一個實矩陣也是復矩陣。將 維歐幾里得空間 中的實向量的每個實數(shù)分量換成復數(shù)，得到的向量空間稱為 維 酉空 間 ，記成 ，其中兩個復向量 = ( 1 , … , ) 和 = ( 1 , … , ) 的 內(nèi) 積 定義為

這里的兩個向量 和 都被看成為列向量，上標記號“ ? ”表示對矩陣實施的 “ 共 軛轉(zhuǎn)置 ”運算，即將矩陣 轉(zhuǎn)置 （行變成列） 后的所有元素求其共軛復數(shù)。酉空間 由上述內(nèi)積誘導出的 2 -范數(shù) 也稱為 酉范數(shù) 。和歐幾里得空間 中的正交概念相仿，在酉空間 里，如果向量 和 的內(nèi)積為零，即 ? = 0 ，則說它們是彼此 正交 的，用符號 ⊥ 表示。

給定的 階復矩陣 定義了線性算子 : → 。如果存在一個復數(shù) 和非零復向量 使得 = z ，則稱 為 的一個 特征 值 ，而 為 的與特征值 相關(guān)的一個 特征向量 。

回到剛才考慮過的 90 度旋轉(zhuǎn)矩陣 ，它被視為把 2 維酉空間 2 映到自身的復 域上的一個線性算子。與之前只考慮實數(shù)域情形不一樣的是，此時，特征值方 程 2 + 1 = 0 在復數(shù)域中有兩個根 和 ? ，因此這個被看成復方陣的 2 階實方陣 有且僅有兩個特征值。此外，這兩個虛數(shù)特征值還彼此共軛。通過求解對應于 的線性方程組 ? = i 及 = 和對應于 ? 的線性方程組 ? = ? 及 =? ，我們獲得與特征值 相關(guān)的一個復特征向量 (1 , ? ) 及與特征值 ? 相關(guān)的一個復特征向量 (1 , ) 。仔細觀察后，又一個現(xiàn)象出現(xiàn)了：對應于相異特征值的特征向量 (1, ?) 和 (1 , ) 彼此正交。我們將在下一篇文章中解釋為什么。

再一次檢視上段兩組關(guān)于 2 維特征向量兩分量 和 的方程，容易發(fā)現(xiàn)，它們都是齊次線性方程組，即如果將它們分別改寫成“標準形式”，就是

+ = 0 , ? = 0; ? = 0 , + = 0 。

這類方程組有個好性質(zhì)，即如果 ( 1 , 1 ) 和 ( 2 , 2 ) 都是方程組的解，則它們的所 有“線性組合”也是同一個方程組的解，即對任意復數(shù) 1 和 2 ，向量

都滿足該方程組。由此推出，雖然只有兩個特征值，但每個特征值都率領(lǐng)了由無限多個士兵組成的特征向量隊伍。這說明，對應于同一個特征值的所有特征向量全體，再插進零向量，這個集合將構(gòu)成一個向量空間。因為如此構(gòu)造的向 量空間是 2 的子集，它被叫做 2 的子空間。

特征多項式與凱萊-哈密爾頓定理

熟悉了上面這個簡單例子，我們就可以討論一般矩陣特征值問題的基本性 質(zhì)。設 = ( ) 為一 階復矩陣。根據(jù)特征值問題的定義。復數(shù) 是方陣 的一個特征值意味著關(guān)于未知復向量 的方程 = 有非零解。將這個方程改寫成 與之等價的齊次方程形式

( ? ) = 0 ，

其中 是 階的單位矩陣，運用以前學過的矩陣是否可求逆的語言（ 參見我們的《返樸》文章《》），我們便可得知， 是 的特征值 當且僅當矩陣 ? 是無逆可求的（因為由特征值的定義， 是 的特征值等價于性質(zhì)“算子 ? 不是單射”，因而它的逆矩陣不存在）。而矩陣無逆的一 個簡單判別準則就是它的行列式等于零。方陣 的行列式一般簡潔地寫成 | | 或 det ，其中的 det 是英文單詞 determinant （行列式）的前三個字母。這樣一 來，我們獲得 是 的特征值的一個充分必要條件：

定理1.復數(shù) 是方陣 的特征值當且僅當 | ? | = 0 。

那么，若 是 階的，會有多少個 滿足定理 1 中的等式呢？要回答這個問 題，我們用 取代 ,將上面定理中的等式變成含有未知數(shù) 的方程

| ? | = 0 。 （ 1 ）

根據(jù)定理 1，方程（ 1 ）的所有解給出 的所有特征值。那么到底有幾個解呢？ 前面我們對平面上的一個 2 階旋轉(zhuǎn)實矩陣證實了它有兩個特征值，我們再考察一 般的 3 階復矩陣（注意其 ( 3 , 3 ) 元素 不是虛數(shù)單位）

它所對應的特征值方程是

假定大家知道怎樣計算三階行列式，那么上述方程的左端展開后變成

其中 Tr ( ) = + + 是 的主對角線元素之和，稱為 的跡。因為這個三次多 項式頂多有三個相異的復數(shù)根，故 頂多有三個不同的特征值。如果記入重根 的重數(shù)， 恰好有三個特征值。每個特征值作為多項式 | ? | 之根的重數(shù)（或| ? | 在復數(shù)域上的因式分解中相應線性因子的冪指數(shù)）稱為該特征值的代數(shù) 重數(shù)。

上面對三階矩陣的結(jié)論可以直接推廣到 階矩陣 。此時，由行列式的經(jīng)典 定義或等價的按行或按列拉普拉斯展開計算公式，易見行列式 | ? | 展開后是變量 的 階復系數(shù)多項式，故根據(jù)代數(shù)基本定理，多項式方程 | ? | = 0 至多有 個相異復數(shù)根，它們就是 的所有相異特征值 1 , … , 。如果考慮到根的重 數(shù)，就恰好有 個根，因此 階矩陣 恰好有 個（可以相同的）特征值。設

為 | ? | 的唯一線性因式分解，則對 = 1 , … , ，線性因子 ? 的冪指數(shù) 稱 為特征值 的 代數(shù)重數(shù) 。直接展開| ? | ，考慮到 ?1 項只能來自主對角線元素的乘積，我們可以發(fā)現(xiàn)該項的系數(shù)為 ? Tr () ，其中 Tr () 是 的主對角線元素之和，叫做 的 跡 ；常數(shù)項為 ( ?1 ) | | 。另一方面，根據(jù)多項式根與系數(shù)關(guān)系的韋達定理，對比同次項系數(shù)可知，按代數(shù)重數(shù)計（允許重復），所有特征值之和等于Tr()，所有特征值之積等于||。確定特征值的多項式 | ? | 被命名為方陣 的 特征多 項式 ，而對應的方程 | ? | = 0 則稱為 的 特征方程 。

方陣的一大好處是它可以代入一個多項式，即若 ( ) = 0 + 1 + ? + 是 一多項式，則定義 ( ) = 0 + 1 + ? + 。 矩陣論中最著名的定理 之一是如下的

凱萊-哈密爾頓定理：設方陣 的特征多項式 | ? | 為 () ，則 ( ) = 0 。

這個定理是深入研究矩陣特征值問題的基礎(chǔ)，或許可以稱它為“矩陣特征 值問題基本定理”。凱萊（ Arthur Carley ， 1821 - 1895 ）開創(chuàng)了矩陣時代，而愛爾蘭數(shù)學家哈密爾頓（ William Rowan Hamilton ， 1805 - 1865 ）則是四元數(shù)之 父。

美國數(shù)學普及家貝爾（ Eric Temple Bell ， 1883 - 1960 ） 在巨著 Men of Mathematics （《大數(shù)學家》）中描繪了哈密爾頓的晚景：

“ 哈密 爾 頓于 1865 年 9 月 2 日因痛 風去 世 ， 享年 61 歲 。 去世后 ， 人 們發(fā)現(xiàn)他留下了大量雜亂無章的手稿 ， 以及大 約 60 本厚重的數(shù)學手稿 。 目前 ， 他的 著作正在 編纂成冊 。 從他手稿的狀況可以看出 ， 他生命最后三分之一的 時間里 ， 家庭生活十分 艱辛 ： 無數(shù)盛著干 癟肉排殘渣的餐盤被埋在堆積如山的紙張 中 ， 還有足夠一家人使用的餐具從雜亂的紙張中被翻了出來 。 ”

2008 年，楊振寧先生提到他少年時所讀到的這個凄慘故事，表示他絕不能 像哈密爾頓那樣在太太離世后過“相當漫長的孤獨生活”。這樣的堅定信念給他帶來了堪稱幸福的二十年晚年生活。

幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)的關(guān)系

現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向探索，當方陣 的一個特征值 已知后，怎樣求出它所對應的全部特征向量。根據(jù)特征向量的定義，所有滿足齊次線性方程組

( ? ) = 0

的非零向量 ∈ 組成了矩陣 與特征值 相關(guān)的特征向量全體。根據(jù)線性方程組的解理論，這個集合和零向量單點集 { 0 } 的并集是 的一個子空間，稱為 對應于特征值 的 特征子空 間 。試問，這個向量空間到底有多大呢？或者更精確地說，它的維數(shù)等于幾？

讓我們回憶與矩陣相伴的幾個重要概念。設 為一 行 列復矩陣，它的 個列向量所張成的 的子空間稱為 的 值空間 或 列空 間 ，記為 ( ) ；它的 個行向量所張成的 的子空間稱為 的 行空 間 。我們在《返樸》最近推出的文章《》 中已經(jīng)證明：矩陣 的值空間 ( ) 的維數(shù)等于 的行空間的維數(shù)，這個共同的非負整數(shù)稱為 的 秩 。在一般的線性代數(shù)教科書中， 的秩被等價地定義為 的非零子行列式（也叫 的子式） 的 最大階數(shù)。作為線性算子，矩陣 的定義域 中被 映射到 中零向量的那些向量的全體是 的一個子空間，稱為 的 零空 間 ，記作 () 。在前述的文章中 我們已經(jīng)證明： 的零空間的維數(shù)加上 的值空間的維數(shù)等于 的列數(shù)。

零空間的概念馬上讓我們知曉，與方陣 的特征值 相關(guān)的特征子空間恰恰 就是奇異矩陣 I ? A 的零空間。我們把 ( I ? A ) 的維數(shù)稱為特征值 的 幾何重數(shù) 。這樣， 的任何特征值既有代數(shù)重數(shù)，也有幾何重數(shù)，前者來自特征多項式的因式分解，顯示出特征值的代數(shù)特色，后者來自特征子空間的尺寸，量化了特征向量群體的幾何維度。那么，它們之間是否具有永恒的大小關(guān)系？

是的，同一個特征值的幾何重數(shù)總是向上“仰視”代數(shù)重數(shù)的，即它小于或等于代數(shù)重數(shù)。下面是一個滿足“小于”關(guān)系的簡單例子。令

注意它是非對稱的實矩陣，其特征多項式為

故 僅有一個相異特征值 0 ，其代數(shù)重數(shù)為 2 。為了得到 0 的幾何重數(shù)，我們求解 方程對應于特征值 0 的特征向量方程組 (0 ? ) = 0 ，所得到的特征子空間(0 ? ) 是 2 的一維子空間 {( , 0 ) : ∈ } 。故特征值 0 的幾何重數(shù)等于 1 ，它確 實小于代數(shù)重數(shù) 2 。

當然也有矩陣，其特征值的幾何重數(shù)就等于代數(shù)重數(shù)，最簡單的例子莫過 于將上面 2 階矩陣中的右上角元素換成 0 而成為零矩陣，它的特征多項式依然是 2 ，但對應于唯一特征值 0 的特征子空間則是全空間 2 ，因此幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)均為 2 。后面我們將給出保證兩個重數(shù)相等的一個一般性的充分條件。運用 本文以及我們之前文章引進的概念和方法，下面對任意方陣給出“幾何重數(shù)不大于代數(shù)重數(shù)”的一個易懂證明。設 階方陣 的特征值 的幾何重數(shù)為 ，代數(shù)重數(shù)為 。令 1 , … , 為特征子空間 ( ? ) 的一個 基底 （即 1 , … , 線性無關(guān) ，且它們共同 張成 ( ? ) ；前者意指只要 1 , … , 的某個線性組合 1 1 +? + = 0 ，必定有 1 = ? = = 0 ，后者說 ( ? ) 內(nèi)的每一個向量都可以寫成 1 , … , 的線性組合形式）。則可在 中取 ? 個線性無關(guān)的向量 +1 , … , ，使得將它們放在一起的 個向量 1 , … , , +1 , … , 構(gòu)成 的一個基底。以它們?yōu)榱邢蛄啃纬梢粋€ 階方陣 = [ 1 , … , , … , ] ，則它是可逆矩陣，其逆矩陣 ?1 滿足等式 ?1 = 。由于行列式保持矩陣的乘積運算不變，我們也獲得對應的行列式等式 | ?1 || | = | ?1 | = | | = 1 。

定義新矩陣 = ?1 U 。則由

可知 和 有相同的特征多項式。現(xiàn)在，

又因為 ?1 = ?1 [ 1 , … , , … , ] = = [ 1 , … , , … , ] ，我們進一步有

只要把上式中的最后那個按列劃分的矩陣按前 行和后 ? 行進行分塊，使之成為一個 2 × 1 階塊矩陣，其上面那塊的左邊是個 階對角矩陣 ，其中 是 階單位矩陣，那么我們就看出 ?1 實際上具有 2 階塊上三角形狀，即

其中子矩陣 和 分別是 的子矩陣 [ ?1 +1 , … , ?1 ] 的上下部分。這樣一 來，

既然 | ? | = | ? | ，而 ( ? ) 是 | ? | 的素因子分解中所有線性因子 ? 的乘積，必然 ( ? λ ) 要整除 ( ? ) ，故得結(jié)論 ≤ 。

由于上述結(jié)論在矩陣理論中的重要性，我們把它寫成定理的形式：

定理2.設 是一個方陣的特征值，則它的代數(shù)重數(shù)大于或等于它的幾何重數(shù)。

當矩陣的特征值具有相等的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)時，我們稱這個特征值是半 單 的，特別地，如果代數(shù)重數(shù)等于 1 （此時幾何重數(shù)也必定等于 1 ，因為特征子空間至少是一維的向量空間），則說此特征值是 單 的。我們在文章的后面部分將給出半單特征值在“簡化”矩陣結(jié)構(gòu)的行動中所起的關(guān)鍵作用。

矩陣可對角化的充要條件

我們繼續(xù)討論特征值的基本性質(zhì)。首先我們證明，對應于給定方陣不同特征值的特征向量線性無關(guān)。為了給出證明的思想，我們只考慮三個特征向量的 情形。設 1 , 2 , 3 為 階方陣 的相異特征值，其各自對應的特征向量分別為 1 , 2 , 3 。我們要證：假如有三個復數(shù) 1 , 2 , 3 滿足 1 1 + 2 2 + 3 3 = 0 ，則這三個數(shù)全部為零。欲證 1 = 0 ，將矩陣 ( 2 ? )( 3 ? ) 左乘上式兩邊， 便得

即 1 ( 2 ? 1 )( 3 ? 1 ) 1 = 0 。因為 1 為非零向量且 ( 2 ? 1 )( 3 ? 1 ) ≠ 0 ，故 1 = 0 。同理可證 2 = 0 和 3 = 0 。用同樣的手段就能證明一般性的結(jié)論：

定理3.設 1 , . . . , 為一個方陣兩兩不相等的特征值，其對應的特征向量分別是 1 , . . . , ，則 1 , . . . , 線性無關(guān)。

有了定理 3 作后盾，就容易推出如下的事實：假設 階方陣 的所有相異特征值為 1 , . . . , 。對 = 1 , … , ，如果 1 , … , 為特征子空間 ( ? ) 的一個基底，那么向量 11 , … , 1 1 , 21 , … , 2 2 , . . . , 1 , … , 線性無關(guān)。

現(xiàn)在進一步假定這些特征值 1 , . . . , 都是半單的，即對 = 1 , … , 都有 = ，其中 和 分別為 的幾何重數(shù)和代數(shù)重數(shù)。那么顯然有 1 + 2 + ? + = 。因為 維向量空間中的任何 個線性無關(guān)的向量都提供了這個空間的一個基底，故在所有特征值均為半單的條件下，特征向量集

是 維酉空間 的一個基底。這個基底有什么實用的價值嗎？

價值之一是它可以用來“化簡矩陣”！矩陣既然是數(shù)組，其非零元素就可能稠密分布，擁擠不堪，令人眼花繚亂，比如大數(shù)學家希爾伯特（ David Hilbert ， 1862 - 1943 ） 于 1894 年引進的“希爾伯特矩陣”，它的第 行第 列元素是 + ? 1 的倒數(shù)，所以這是個處處沒有零元素的“最稠密矩陣”。數(shù)學能將 復雜對象像變魔術(shù)一樣化簡到一目了然，而好的數(shù)學演講者能將復雜理論解釋得如水晶般透明。如果有個辦法能讓手中的一般矩陣搖身變?yōu)樵貛缀跞珵榱愕膶蔷仃嚕３衷染仃嚨闹饕再|(zhì)不變，那可是一件再好不過的事了。

對所要化簡的 階方陣 ，只需一個條件，即它所有的特征值 1 , . . . , 都是半單的，我們就能完成使命。分別對應于 1 , . . . , 的各特征子空間的基底組成了由（ 2 ）式排列而成的 基底。以這些特征向量按（ 2 ）的次序為列構(gòu)造 階 方陣 ，則它是非奇異矩陣。由

我們發(fā)現(xiàn) ?1 是對角矩陣，它的對角元素從左上到右下依次是 1 個 1 ， 2 個 2 ，等等，直到 個 。這樣，我們證明出了矩陣的一個“對角矩陣標準型定 理”：

定理4.令 1 , . . . , 為 階方陣 的所有相異特征值，并設它們都是半單的。則存在 階非奇異矩陣 使得 ?1 = 為一 階塊對角矩陣，其對角塊依次是

兩個同階方陣 和 ，如果滿足關(guān)系 ?1 = ，其中 是某個非奇異矩 陣，那么我們就說 與 是“ 相似 ”的，有時如同中學平面幾何教科書上表示兩個三角形相似的符號那樣寫成 ～ 。定理 4 表明，所有其特征值均為半單的矩陣相似于一個對角矩陣，它的對角元素由這些特征值按各自的重數(shù)一一排列。一個特殊的情形是， 階矩陣 有 個相異的特征值，這時 一定相似于某個對角 矩陣。

如果一個矩陣與一個對角矩陣相似，我們則說它是“ 可 對角化 ”的。上面 的定理 4 提供了可對角化矩陣的一個充分條件。反過來，只要給定的矩陣 相 似于一個對角矩陣，則它的所有特征值都是半單的。事實上，設 是一對角矩 陣，其對角元素為 1 , . . . , （彼此可以相同），且 = [ 1 , . . . , ] 是一非奇異矩陣，滿足 ?1 = 。則前式等價于 = 。對矩陣等式

按列寫出，就是 = ， = 1 , … , 。換言之， 1 , . . . , 是矩陣 分別對應于特征值 1 , . . . , 的特征向量。既然這 個線性無關(guān)的特征向量組成 的一個 基底， 的所有相異特征值都是半單的。到此，我們論證出了如下的“等價性 定理”：

定理5.一個方陣可對角化當且僅當它的所有相異特征值都是半單的。

相似矩陣的性質(zhì)與埃爾米特矩陣初探

與三角形一樣，矩陣之間的相似關(guān)系是個“ 等價關(guān)系 ”，即（ i ）每個方陣 與它自己相似，這時建立相似關(guān)系的矩陣 就可取為單位矩陣；（ ii ）若 與 相似，則 與 相似，這是因為 ?1 = 隱含 = ?1 = ( ?1 ) -1 ?1 ；（ iii ）若 與 相似且 與 相似，則 與 相似，道理是 ?1 = 和 ?1 = 推出

?1 ?1 = ?1 = ，

因此 ( ) -1 () = 。

相似的矩陣同樣具有許多共同的性質(zhì)，就好比雙胞胎不僅外貌酷似，連性 情也往往相投。前面已經(jīng)說過，如果 ～ ，那么 | ? | = | ? | ，即它們 有完全一樣的特征多項式，所以它們不僅有一模一樣的特征值，而且每個共同的特征值的代數(shù)重數(shù)也一樣。但是它們的幾何重數(shù)會有不相等的危險性嗎？

答案是否定的。我們只需驗證對每一個特征值，這兩個相似矩陣各自對應的特征子空間之間存在一個自然得體的單射加滿射關(guān)系（稱為 雙射 ）。由于 ～ ，存在非奇異矩陣 使得 = ?1 。簡單計算給出 = 當且僅當

( ?1 ) = ( ?1 ) 。若將 ?1 寫成 ，則 ∈ ( ? ) 當且僅當 ∈ ( ? ) ，由此， 是 與 相關(guān)的特征向量等價于 ?1 是 與 相關(guān)的特征向量。因為 ?1 是可逆算子，它建立了 ( ? ) 和 ( ? ) 之間的一一對應。 特別地，特征值 關(guān)于 的幾何重數(shù)等于 關(guān)于 的幾何重數(shù)。

然而，正如前面的簡單例子所顯示的，并非方陣的每個特征值都是半單 的。事實上，只要有一個特征值是非半單的，矩陣就不可能對角化。在這個最一般的非半單特征值情形下，人們退而求其次，引進了所謂的“廣義特征向量”的概念，猶如當矩陣無逆可求時可以尋覓“廣義逆矩陣”（參看我們之前在《返樸》發(fā)表的文章 《》 ）。披在廣義特征向量身上的外衣是世界品牌“若爾當標準型”，它比半單特征值旗幟下的對角矩陣標準型只多了一條與主對角線平行、含有非零元素的次對角線，卻具有豐富多彩的數(shù)學內(nèi)容。未來有機會時我們將集中討論若爾當標準型。

不過，有好幾類矩陣不會讓我們擔心，因為它們都可對角化，其中的一類 長相最漂亮，叫埃爾米特矩陣類，其中的每個矩陣 滿足等式 ? = ，即 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣就是它自己。埃爾米特（Charles Hermite，1822-1901）是法國數(shù)學家，他第一個證明了自然對數(shù)的底2.71828 ?是超越數(shù)。在元素全是實數(shù)時，埃爾米特矩陣就是更易識別的實對稱矩陣，即=。任給埃爾米特矩陣，對應于不同特征值的特征向量不僅如上所證線性無關(guān)，而且更進一步地“兩兩正交”。酉空間中向量的內(nèi)積此時派上了大用場。然而，我們只能在后一篇文章中仔細地品味這類矩陣更多的幾何特性。

在下一次詳細討論埃爾米特矩陣前，我們考察一個 2 階實對稱矩陣的特征值 問題，所取的矩陣有個在“數(shù)值代數(shù)”中最得寵的學名叫 Householder 矩陣（也叫反射矩陣； Alston Scott Householder （ 1904 -1993 ）是美國數(shù)學家，他最廣為人知的數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是這種形式簡單、極其有用的埃爾米特矩陣 = ? 2 ? ，其中 的酉范數(shù)等于 1 ；他的著作《數(shù)值分析中的矩陣理論》是一部寫法獨特的經(jīng)典之作），如下所示：

除了多了一個負號，它幾乎就是文章最早舉例的那個非對稱實矩陣。這個實對稱矩陣的特征多項式是

故它有兩個單特征值 1 和 ?1 。和之前特征值為正負虛數(shù)單位的矩陣相比，這里 復數(shù)被毫不留情地擠出特征值隊伍之外。第一個特征值占有特征向量 (1 , ? 1) ，第二個特征值對應的特征向量是 (1 , 1) 。不難發(fā)現(xiàn)這兩個特征向量相互正交！

有了這個例子墊底，未來我們就可以深入探討實對稱矩陣、埃爾米特矩陣、正交矩陣、酉矩陣，乃至更加一般的正規(guī)矩陣的特征值問題了。

注：本文封面圖片來自版權(quán)圖庫，轉(zhuǎn)載使用可能引發(fā)版權(quán)糾紛。

本文轉(zhuǎn)載自《返樸》微信公眾號

《物理》50年精選文章