拉馬努金的1/π級(jí)數(shù)：從純粹數(shù)學(xué)奇跡到對(duì)數(shù)共形場(chǎng)論的物理起源

斯里尼瓦薩·拉馬努金，這位來(lái)自印度泰米爾納德邦的天才數(shù)學(xué)家，留給世人的遺產(chǎn)中，最令人著迷的莫過(guò)于他關(guān)于1/π的無(wú)窮級(jí)數(shù)。這些公式以其令人驚嘆的簡(jiǎn)潔、優(yōu)雅和極快的收斂速度而著稱，它們是純粹數(shù)學(xué)中數(shù)論、模形式和超幾何函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的瑰寶。然而，在拉馬努金提出這些級(jí)式一個(gè)多世紀(jì)后，現(xiàn)代理論物理學(xué)——特別是二維對(duì)數(shù)共形場(chǎng)論（Logarithmic Conformal Field Theories, LCFTs）——揭示了它們隱藏的物理起源，建立了數(shù)學(xué)和物理學(xué)之間一個(gè)深刻而意想不到的橋梁。

拉馬努金的級(jí)數(shù)：數(shù)學(xué)的奇跡

拉馬努金在 1914 年發(fā)表的論文《模函數(shù)和橢圓函數(shù)論》中列出了 17 個(gè)關(guān)于1/π的級(jí)數(shù)。其中最著名的一個(gè)級(jí)數(shù)是：

這些級(jí)數(shù)是基于模形式理論和超幾何函數(shù)發(fā)展而來(lái)的。它們依賴于奇異模量和代數(shù)數(shù)，這些性質(zhì)保證了級(jí)數(shù)具有極快的收斂率。在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，它們是計(jì)算π的高精度值的最有效方法。長(zhǎng)期以來(lái)，這些公式被視為純粹的數(shù)學(xué)成就，它們的“為什么”和“如何”被深埋在橢圓函數(shù)和模形式的復(fù)雜結(jié)構(gòu)中。

共形場(chǎng)論：描述臨界現(xiàn)象的框架

共形場(chǎng)論（CFTs） 是一種描述在臨界點(diǎn)附近物理系統(tǒng)行為的量子場(chǎng)論。在臨界點(diǎn)上，系統(tǒng)失去了特征長(zhǎng)度尺度，表現(xiàn)出尺度不變性。如果系統(tǒng)同時(shí)保持旋轉(zhuǎn)不變性、平移不變性以及特殊共形變換下的不變性，那么它就是一個(gè) CFT。在二維空間中，CFTs 擁有無(wú)限維對(duì)稱代數(shù)（稱為 Virasoro 代數(shù)），這使得它們具有極強(qiáng)的可解性，并在統(tǒng)計(jì)力學(xué)、弦理論、凝態(tài)物理等領(lǐng)域發(fā)揮了核心作用。

LCFTs 是 CFTs 的一個(gè)特殊子集。與標(biāo)準(zhǔn)的（酉性）CFTs 不同，LCFTs 的關(guān)聯(lián)函數(shù)中會(huì)出現(xiàn)對(duì)數(shù)奇點(diǎn)，即它們包含log(x)項(xiàng)，而不是純粹的冪律項(xiàng) x^{Δ}。它們出現(xiàn)在描述滲流、聚合物模型和分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)等非酉臨界現(xiàn)象中。

1/π級(jí)數(shù)與LCFTs的聯(lián)系

近期發(fā)表在PRL題為《Ramanujan's 1/ Series and Conformal Field Theories》的研究，提出了一個(gè)驚人的觀點(diǎn)：拉馬努金的1/π 級(jí)數(shù)可以自然地源于 LCFTs 的四點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)。

1. 關(guān)聯(lián)函數(shù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

在 LCFTs 中，場(chǎng)的關(guān)聯(lián)函數(shù)描述了場(chǎng)在不同空間點(diǎn)上的相互作用。一個(gè)四點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)可以表示為：

其中G(η) 是交叉比η=z??z??/z??z??的函數(shù)。拉馬努金級(jí)數(shù)背后的關(guān)鍵數(shù)學(xué)——勒讓德關(guān)系和超幾何函數(shù)——恰好能夠完美地組織和重構(gòu)這種 LCFT 四點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的結(jié)構(gòu)。在這些公式中出現(xiàn)的代數(shù)數(shù)和特殊值，與 LCFTs 關(guān)聯(lián)函數(shù)中的對(duì)數(shù)項(xiàng)和非對(duì)角化結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)。

2. π的物理解釋

研究人員發(fā)現(xiàn)，拉馬努金的3$1/\pi$ 級(jí)數(shù)可以被解釋為 LCFTs 中的共形塊分解在一個(gè)特殊極限下的形式。具體來(lái)說(shuō)：

• 共形塊: 共形塊是關(guān)聯(lián)函數(shù)中不可約的基本構(gòu)建塊，它們包含了 CFT 的所有動(dòng)力學(xué)信息。
• 拉馬努金公式作為 CFT 數(shù)據(jù): 拉馬努金公式中的特定系數(shù)（例如1103和26390）可以被重新解釋為 LCFTs 的基本數(shù)據(jù)：算符譜和OPE 系數(shù)。換句話說(shuō)，這些計(jì)算π的數(shù)字，本質(zhì)上是在描述 LCFT 中場(chǎng)如何相互作用的強(qiáng)度。

在某些特殊的 LCFT 極限下，一個(gè)特定微分算符（與超幾何函數(shù)有關(guān)）的作用使得關(guān)聯(lián)函數(shù)的所有貢獻(xiàn)極大地簡(jiǎn)化，最終只剩下對(duì)數(shù)單位算符的貢獻(xiàn)，而這個(gè)貢獻(xiàn)正對(duì)應(yīng)于拉馬努金的1/π級(jí)數(shù)。

影響與未來(lái)展望

這項(xiàng)工作不僅為拉馬努金的級(jí)數(shù)提供了深刻的物理背景，同時(shí)也對(duì)理論物理學(xué)本身帶來(lái)了重要影響：

1. LCFTs 新工具: 拉馬努金級(jí)數(shù)背后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)啟發(fā)了構(gòu)建 LCFT 關(guān)聯(lián)函數(shù)展開(kāi)的新基底。這種新的、被稱為弦論/參數(shù)化交叉對(duì)稱色散關(guān)系的展開(kāi)，被證明比標(biāo)準(zhǔn)的共形塊分解收斂速度更快。這對(duì)于計(jì)算和分析難以處理的非酉 LCFTs 關(guān)聯(lián)函數(shù)具有巨大的實(shí)用價(jià)值。
2. 普適性原則: 從物理學(xué)的角度來(lái)看，拉馬努金公式的出現(xiàn)暗示了 LCFTs 可能具有某種普適性原則。這種原則使得特定微分算符能夠?qū)?fù)雜的關(guān)聯(lián)函數(shù)簡(jiǎn)化為純粹的對(duì)數(shù)單位算符貢獻(xiàn)，這可能反映了這些理論中的某種隱藏對(duì)稱性或約束。
3. 計(jì)算加速: 這項(xiàng)研究表明，一個(gè)世紀(jì)前的純數(shù)學(xué)公式，如今可以作為加速和簡(jiǎn)化高能物理計(jì)算的強(qiáng)大工具。它在理解滲流、高分子鏈結(jié)構(gòu)等臨界現(xiàn)象的理論模型中具有潛在的應(yīng)用。

結(jié)論

拉馬努金的1/π級(jí)數(shù)是連接最抽象的數(shù)學(xué)與最前沿的理論物理的典范。它們不再僅僅是計(jì)算π的工具，而是被提升為描述臨界系統(tǒng)基本相互作用的物理數(shù)據(jù)。這項(xiàng)研究不僅是對(duì)拉馬努金數(shù)學(xué)天才的最好致敬，也再次證明了在宇宙的法則中，數(shù)學(xué)和物理是不可分割的。這種出乎意料的聯(lián)系，為我們理解非酉共形場(chǎng)論和自然界的臨界現(xiàn)象開(kāi)辟了全新的視角。