陶哲軒弟子打造數(shù)學(xué)AI解決30年數(shù)學(xué)問題，為何數(shù)學(xué)家們說不算數(shù)？

近日，券商巨頭 Robinhood 首席執(zhí)行官弗拉德·特涅夫（Vlad Tenev）在社交媒體上發(fā)布了一條推文：“我們正處于數(shù)學(xué)領(lǐng)域深刻變革的風(fēng)口浪尖。氛圍證明（Vibe proving）的時代已經(jīng)到來。”

他宣布，自己創(chuàng)辦的人工智能公司 Harmonic 開發(fā)的 Aristotle 模型完全自主地解決了埃爾德什問題（Erd?s Problem）124 號，這個數(shù)論猜想自 1995 年在學(xué)術(shù)期刊《Acta Arithmetica》上首次提出以來，已經(jīng)懸而未決近三十年。

圖丨相關(guān)推文（來源：X）

不到 24 小時后，埃爾德什問題網(wǎng)站的維護者托馬斯·布魯姆（Thomas Bloom）也發(fā)表了一系列評論。“這是一個很好的證明，完全由人工智能從形式化陳述出發(fā)、無人工干預(yù)生成，然后在 Lean 中形式化，這本身已經(jīng)令人印象深刻，”布魯姆寫道，“事后來看，解決方案相當(dāng)簡單，使得這個問題處于數(shù)學(xué)競賽題的水平。埃爾德什提出這個問題時有兩個不同的版本。人工智能解決的是更簡單的那個?！?/p>

埃爾德什問題 124 號問的是：給定一組整數(shù) d?, d?, ..., d?，如果它們滿足∑1/(d?-1)≥1，那么是否所有足夠大的整數(shù)都可以表示為一種特殊形式的和——每一項都是某個 d? 的冪次，且該冪次在 d?進制下只包含數(shù)字 0 和 1？在 1995 年的原始論文中，伯爾（Burr）、埃爾德什、格雷厄姆（Graham）和李文卿（Wen-Ching Li）明確排除了 1 的冪次，并附加了一個必要的最大公約數(shù)條件。但埃爾德什本人在后來的論文中重新表述這個問題時，卻允許包含 1，并省略了最大公約數(shù)條件。Aristotle 解決的是后者。

圖丨埃爾德什問題 124 號（來源：Erd?s Problem）

“如果這樣的簡單方法有效，那么伯爾、埃爾德什、格雷厄姆和李這樣的聯(lián)合智慧肯定早就發(fā)現(xiàn)了，”布魯姆寫道。通常情況下，這會讓他懷疑證明中存在被忽視的微妙之處，但由于證明已經(jīng)在 Lean 證明助手中形式化，也就是說每一步推理都經(jīng)過了機器驗證，“顯然它確實有效！”

證明該問題的普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)博士鮑里斯·阿列克謝耶夫（Boris Alexeev）在討論區(qū)詳細(xì)描述了 Aristotle 的工作過程。他使用的是一個測試版本，具有增強的推理能力和自然語言界面。Aristotle 花費了 6 小時生成證明，而 Lean 的類型檢查只用了 1 分鐘。

值得一提的是，Aristotle 完全是從形式化陳述出發(fā)工作的，期間沒有任何人工干預(yù)。只是阿列克謝耶夫發(fā)現(xiàn)并修正了形式化猜想項目中的一個打字錯誤——注釋寫的是“≥1”，而 Lean 代碼卻是“=1”。最終，Aristotle 證明了三個不同版本的問題。

Aristotle 的證明的確展現(xiàn)出一種令人意外的簡潔美。一位名為 tsaf 的用戶在討論區(qū)用幾行文字概述了核心思路：將所有 d? 的冪次按升序排列形成序列 (a?)。例如，如果 d?=2 且 d?=3，序列就是 1, 1, 2, 3, 4, 8, 9, 16, 27, ...。

證明的關(guān)鍵是表明 a???-1 ≤ a?+...+a?。如果這個不等式成立，那么通過歸納法，可以用前 n 項的子序列和來填“滿”從 1 到 a?+...+a? 的所有整數(shù)，而這個范圍恰好足以覆蓋 a???。

而關(guān)鍵就在于對 a?+...+a? 這個總和的處理。將它改寫為 ∑(d?^(e?,?)-1)/(d?-1)，其中 e?,? 是 d? 在前 n 項中尚未出現(xiàn)的第一個指數(shù)。根據(jù)構(gòu)造，a??? 恰好等于 mini(d?^(e?,?))。由于問題假設(shè) ∑1/(d?-1)≥1，而 d?^(e?,?)≥1，通過仔細(xì)計算就能驗證所需的不等式。整個論證就是這幾步推理，在 Lean 中的形式化證明也相對緊湊。

圖丨相關(guān)評論（來源：Erd?s Problem）

特涅夫的導(dǎo)師、菲爾茲獎得主陶哲軒也在討論區(qū)出現(xiàn)了。他做了一個有趣的實驗：將這個問題（簡化版本）提供給谷歌的 Gemini Deepthink，并提示使用布朗準(zhǔn)則（一個在加法組合學(xué)中常用的工具）。Gemini 宣稱布朗準(zhǔn)則不太可能強大到足以解決這個問題。

檢查其推理過程后，陶哲軒發(fā)現(xiàn)這是一個“相當(dāng)體面的錯誤”。Gemini 注意到，如果取 d?=3，在 3^k 和 3^(k+1) 之間可能無限次地不存在任何其他 d?的冪次，使得連續(xù)元素之間的比率可能高達 3。布朗準(zhǔn)則通常需要連續(xù)元素的平均比率不超過 2，因此 Gemini 從啟發(fā)式角度認(rèn)為這種方法不太可能奏效。

“這實際上不是一個糟糕的分析，”陶哲軒評論道，“只是恰好所有小于 3^k 的其他冪次的累積和（勉強）足以克服 3 的間隙并最終到達 3^(k+1)。我會將這類錯誤歸類為人類專家在這個問題上也可能犯的錯誤。”

他還指出，這種分析也暗示了為什么該問題的更強版本更加困難——在不允許 1 的情況下，序列的結(jié)構(gòu)會發(fā)生根本變化，上述簡潔的論證將不再適用。

陶哲軒進一步用龐梅朗斯（Pomerance）的觀察來解釋問題的微妙之處：通過丟番圖逼近論可以證明，對于有限集合，條件 ∑1/(a-1)≥1 是必要的。但當(dāng)這個和恰好等于 1 時，問題變得極其微妙，至少需要貝克定理（Baker's theorem）這樣的深刻結(jié)果來防止不同底數(shù)的冪次聚集得太近，從而產(chǎn)生潛在的反例。

薩格勒布大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系教授韋科·科瓦奇（Vjeko Kovac）也提供了另一個視角。他指出，在他與陶哲軒此前發(fā)表的一篇論文中的定理 2.3 可以被視為這個問題的連續(xù)參數(shù)變體，基本證明思路（排序序列、驗證條件、考慮與每個參數(shù)相關(guān)的第一個出現(xiàn)項等）是相同的。

“我提到這一點并非要貶低 Aristotle 和阿列克謝耶夫的證明，恰恰相反，它非常漂亮，”科瓦奇寫道，“我的觀點是，基本思想在許多地方重復(fù)出現(xiàn)；人類常常未能意識到它們適用于不同的環(huán)境，而機器沒有這個問題！我記得以前見過這個問題并簡短地思考過它。我承認(rèn)，我當(dāng)時沒有注意到這個聯(lián)系，而現(xiàn)在對我來說卻相當(dāng)明顯?！?/p>

科瓦奇的這段話也說明，Aristotle 找到的證明并非某種前所未有的創(chuàng)新技術(shù)，而是將已經(jīng)存在于數(shù)學(xué)文獻中的基本思想應(yīng)用到了這個具體問題上。陶哲軒的實驗進一步印證了這一點。

當(dāng)他讓 ChatGPT Pro 處理同樣的問題時，該工具直接從埃爾德什問題網(wǎng)站上檢索到了 Aristotle 的證明和 tsaf 的總結(jié)，并將其改寫成人類可讀的形式。陶哲軒注意到，可能存在關(guān)閉網(wǎng)絡(luò)搜索的選項來測試工具獨立解決問題的能力，但他沒有探索這一點。

布魯姆也提出了類似的疑問。他表示不會感到驚訝如果這個已解決的問題實際上曾出現(xiàn)在某個數(shù)學(xué)競賽中，這樣它可能已經(jīng)是訓(xùn)練數(shù)據(jù)的一部分。在數(shù)學(xué)競賽中，參賽者通常被告知一個簡短優(yōu)雅的解法是存在的——這正是 Aristotle 面對的情況。

問題在于，當(dāng)四位數(shù)學(xué)家在 1995 年提出這個猜想時，他們并不知道是否存在這樣的簡單解法，而這種不確定性才是數(shù)學(xué)研究的常態(tài)。至于這個問題為何 30 年都沒被解決，大概只是因為沒有人真的認(rèn)真嘗試去解決它。

圖丨Aristotle 的證明過程（來源：Harmonic）

因此，就目前來看，Aristotle 確實能夠在形式化的框架內(nèi)探索證明空間，找到滿足邏輯要求的推理鏈條。但這種能力更接近于在已知的數(shù)學(xué)工具箱中尋找合適的組合，而非發(fā)明全新的證明技術(shù)或提出原創(chuàng)的數(shù)學(xué)洞察。當(dāng)基本思想已經(jīng)在文獻的某個角落存在時，人工智能展現(xiàn)出了發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用它們的能力；但當(dāng)需要真正的概念突破時，情況可能會大不相同。

布魯姆最終決定保持埃爾德什問題 124 號的“開放”狀態(tài)，在主要陳述中保留最大公約數(shù)條件，并在備注中說明簡化版本已被解決。阿列克謝耶夫?qū)Υ吮硎就猓骸癆ristotle 解決了這個問題的‘一個’版本，但不是‘那個’版本?！边@個微妙的區(qū)分，或許正是理解人工智能當(dāng)前數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。

參考資料：

1.https://x.com/vladtenev/status/1994922827208663383

2.https://x.com/thomasfbloom/status/1995094668879462466

3.https://www.erdosproblems.com/forum/thread/124

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