2025年卡爾德隆獎得主之一喬瓦尼?阿爾貝蒂（Giovanni S. Alberti）訪談錄——EMS Magazine

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本訪談是歐洲研究理事會（ERC）受資助者系列訪談的一部分，旨在探討受資助者的研究經歷與學術成果。

受訪者簡介

喬瓦尼?S?阿爾貝蒂（Giovanni S. Alberti，下文簡稱GA），生于1987年，曾在熱那亞攻讀數學專業，2014年獲牛津大學博士學位。2014-2015年，他在巴黎高等師范學院擔任博士后；2015-2016年，于蘇黎世聯邦理工學院從事博士后研究。2016 年起，他任職于熱那亞大學數學系，先后擔任助理教授、副教授（2022年），2024年起晉升為正教授。他是熱那亞機器學習中心（Machine Learning Genoa Center, MaLGa）成員，2018年獲歐亞反問題協會青年科學家獎（Eurasian Association on Inverse Problems Young Scientist Award），2025年獲卡爾德龍獎（Calderón Prize，歷屆得主詳細名單見下文）。其研究領域包括偏微分方程（PDE）分析、反問題、泛函分析、應用調和分析、小波分析、壓縮感知及機器學習，目前主持一項歐洲研究理事會（ERC）啟動基金項目（2022-2027年）。

采訪者簡介

瑪麗 - 特蕾澤?沃爾夫拉姆（下文簡稱[MTW]），目前是華威大學數學研究所正教授。此前，她曾在維也納大學、林茨拉東計算與應用數學研究所和劍橋大學擔任研究職位。2023年，她因 “在應用偏微分方程、社會經濟與生命科學領域的數學建模，以及偏微分方程數值分析方面的開創性貢獻” 獲得倫敦數學會懷特黑德獎（Whitehead prize）。2022年起，她擔任歐洲數學會（EMS）應用與跨學科關系委員會（Committee for Applications and Interdisciplinary Relations, CAIR）成員。

馬克?E?普費奇（下文簡稱[MP]），2002年獲柏林工業大學博士學位，1998-2002年在該校擔任助教，2002-2008年在柏林祖斯研究所擔任博士后。2008年，他獲柏林工業大學數學habilitation學位（德國學術職稱，相當于教授資格），2008-2012年擔任布倫瑞克工業大學（TU Braunschweig）數學最優化正教授，2012年起擔任達姆施塔特工業大學（TU Darmstadt）離散最優化教授。其研究領域包括壓縮感知、混合整數非線性優化、最優化中的對稱性處理及能源網絡。2003年起，他參與開發了如今的開源求解器框架SCIP。2018年起，他擔任歐洲數學會（EMS）應用與跨學科關系委員會（CAIR）成員。

關于卡爾德隆獎（Calderón Prize）

在應用數學方面，卡爾德隆獎（Calderón Prize）由國際反問題協會（Inverse Problems International Association, IPIA）頒發，獎勵40歲以下在反問題領域做出了杰出貢獻的研究人員。獎項為紀念阿根廷數學家Alberto Calderón而設，是反問題領域的最高榮譽。

國際反問題協會 (IPIA，Inverse Problems International Association) 致力于促進反問題領域的研究，并在數學界、科學界以及公眾中推廣該領域。為此，IPIA 組織并支持各類會議、暑期學校和獎項，并發布相關信息。特別是，IPIA 負責協調每兩年舉辦一次的應用反問題 (AIP) 會議和卡爾德隆獎的評選工作。

歷屆卡爾德隆獎得主（每兩年一次）

• 2025 Giovanni Alberti（本文受訪者）、Ali Feizmohammadi

• 2023 Angkana Rüland

• 2021 Fran?ois Monard

• 2019 Lauri Oksanen、Carola Sch?nlieb

• 2017 任奎（哥倫比亞大學）、劉宏宇（香港城市大學）

• 2015 李培軍（中國科學院數學與系統科學研究院）

• 2013 Mikko Salo

• 2011 Guillaume Bal

• 2009 Martin Burger

• 2007 Matti Lassas

關于反問題（也稱逆問題 Inverse Problem）

反問題是一個跨學科的研究領域，致力于從間接觀測中識別感興趣的量。自然科學中的反問題通常可以被描述為尋找觀測結果的原因，例如，在地球物理勘探、無損檢測或相干衍射成像中，從散射波中尋找散射障礙物形狀的對比函數；或者在計算機斷層掃描中，從拉東變換中尋找吸收系數。

即使未知量能夠通過理想的無噪聲數據唯一確定，反問題通常也是不適定的，因為解并不連續地依賴于數據。因此，除非在重建過程中以某種方式利用先驗信息（例如使用正則化技術），否則微小的測量誤差會導致巨大的重建誤差。

反問題研究涉及偏微分方程、微分幾何、數據科學、數理統計、數值分析、優化、成像科學、不確定性量化和高性能計算等領域的技術。

作者：瑪麗 - 特蕾澤?沃爾夫拉姆（Marie-Therese Wolfram）、馬克?E?普費奇（Marc E. Pfetsch） 2025-11-10

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-11-19

[MTW]：我們從一個 “借自” 馬丁?海勒（Martin Hairer，參閱以及）的問題開始吧：如果你有一根能實現愿望的數學魔法棒，你想證明什么樣的成果？

GA：我是一名應用數學家，而應用數學家在某種程度上就是試圖將現實生活與抽象數學成果結合起來。這兩者通常很難緊密相融，原因如下：理論可能很美，或許也極具深度，但它們往往只在簡化的場景中適用，而現實并非總是如此。我的學術背景主要集中在分析領域，我經常研究函數空間，并嘗試運用這些技術去理解現實世界中的信號。函數空間通常在處理光滑函數和光滑信號時表現出色，但一旦遇到帶有奇點的信號，分析難度就會大幅增加。如今，人們直接使用機器學習和神經網絡，它們能很好地表示現實世界中的信號，但相關理論卻非常有限。另一方面，如果你使用傳統技術和函數空間，雖然對其特性了如指掌，但它們與現實的契合度并不高。

2023年，喬瓦尼?S?阿爾貝蒂在奧伯沃爾法赫（Oberwolfach）

圖源：奧伯沃爾法赫數學研究所檔案館

因此，如果我有這根魔法棒，我會嘗試將這兩者結合起來，從理論角度全面理解那些與現實高度貼近的模型。

[MTW]：你說你的研究關注簡化后的問題，而現實要復雜得多。所以在某種程度上，你希望讓自己的模型更貼近現實，同時讓分析工具更先進。

GA：沒錯。以香農定理為例：如果有一個帶限函數（bandlimited function，也稱有限帶寬函數），你可以按特定間隔對其采樣，就能完美重建該函數。但現實中的信號并非帶限信號，那該怎么辦？一種常用技術是壓縮感知（compressed sensing），當時人們主要關注稀疏信號 —— 即只有少數非零系數的信號。但隨著機器學習的興起，這些技術已經完全過時了。然而，我們對機器學習的理解仍然十分有限，所以問題在于：是否能找到一種理想的函數模型，一方面像神經網絡所追求的那樣貼近現實，另一方面又能從數學角度被完全理解。

[MTW]：再回到神經網絡的應用上。你說神經網絡現在的表現已經超越了傳統方法，這讓我有些驚訝。比如我本身研究偏微分方程（PDE），有同事致力于開發復雜的偏微分方程有限元求解器，這是一種 “經典方法”。如今，人們用神經網絡求解偏微分方程，但說句公道話，它們在很多應用場景中表現并不理想。我并不是說使用神經網絡本身不好，但它們真的優越很多嗎？

GA：如果是偏微分方程，比如帶有特定源項的三維泊松方程（Poisson equation in 3D），有限元求解器很可能表現出色 —— 它線性、簡單，速度也相當快。但如果是更復雜的偏微分方程，比如與時間相關、高維且可能涉及粒子的方程，傳統求解器可能需要數小時甚至數天才能完成求解，而經過訓練集訓練的神經網絡表現則要好得多。

核心區別在于：傳統求解器和經典函數空間對實際場景完全 “無差別對待”—— 用有限元求解泊松方程時，右側的任何源項都能處理。而神經網絡的優勢在于，它們能捕捉數據中額外的結構特征。例如，天氣預報中的初始數據存在特定結構，這種結構無法用索伯列夫空間（Sobolev）或貝索夫空間（Besov）等經典函數空間建模 —— 這些空間的設計初衷是量化光滑性。而神經網絡，尤其是卷積神經網絡（convolutional neural networks），能夠更好地表示這類結構。

[MTW]：但與此同時，如果給神經網絡輸入一些它未曾見過的、不符合預期的數據，它的表現可能會非常糟糕。

GA：確實如此。這就涉及到另一個話題 ——泛化能力（generalisation）：神經網絡如何突破所學內容的局限，處理未見過的數據。

[MTW]：你對人工智能（AI）整體有何看法？它將如何改變數學？

GA：首先，我的大部分研究仍處于人工智能和機器學習領域之外。在研究反問題和應用調和分析的學者中，我可能是少數沒有將人工智能作為主要研究方向的人，因為我仍然喜歡傳統課題。我認為，人工智能對數學可能會有幫助，比如提供證明工具，或是助力開發一些難以捉摸的思路，但這方面我確實了解不多。

另一方面，我們可以運用數學技術分析人工智能。例如，通過數學分析研究神經網絡中出現的函數特性 —— 當然，這么說有些過于簡化了。數學中的另一個關鍵問題是穩定性：如果對問題的輸入做微小改變，輸出會發生什么變化？穩定性是神經網絡研究中的一個重要課題，因此在這方面，數學應該能發揮作用。

2023年，喬瓦尼?阿爾貝蒂在哥廷根舉辦的應用反問題會議上。

圖源：馬庫斯?奧斯特霍夫博士（Dr. Markus Osterhoff）拍攝

[MP]：能給我們介紹一下你的歐洲研究理事會（ERC）項目嗎？

GA：我的項目標題是 “偏微分方程反問題的樣本復雜度”（Sample complexity for inverse problems in PDEs）。簡單來說，這個項目并非求解偏微分方程，而是在已知方程解或解的相關信息（例如邊界數據）的情況下，推斷方程的系數。傳統上，這類問題主要通過偏微分方程理論或計算技術進行研究。

由于大多數問題都涉及信號，我的項目旨在將信號分析、應用調和分析與偏微分方程理論結合起來，運用采樣、壓縮感知技術，以及機器學習與偏微分方程理論相結合的方法開展研究。

以橢圓型偏微分方程的一個簡化問題為例：我們希望通過方程的解求出其未知系數。你可以從偏微分方程的角度研究這個問題，也可以將 “從解到系數的映射” 視為函數空間之間的映射。可能的問題包括：如果已知未知系數的某些特性呢？如果它具有額外的結構呢？能否用更少的測量數據恢復出該系數？這類問題可以通過偏微分方程技術解決，但對未知系數的假設，在應用調和分析、采樣理論或壓縮感知中更為常見 —— 這些領域通常會基于稀疏性做出假設。

[MP]：你提到了壓縮感知，它在過去非常熱門，對吧？但我感覺這個領域的發展似乎放緩了 —— 你認為它未來的發展方向是什么？

GA：我認為，過去99%研究壓縮感知類問題的人，現在都轉向了機器學習領域。壓縮感知研究似乎已經達到了成熟階段，相關成果已相對飽和。但我覺得，其中很多思想還沒有在有趣的場景中得到應用 —— 這正是我的歐洲研究理事會ERC項目的核心切入點之一。

壓縮感知的核心思想是，通過對未知量的先驗假設減少測量數據量。這一核心思想完全可以應用于反問題：如何利用對未知量的先驗知識來減少測量次數？遺憾的是，現有的壓縮感知方法無法實現這一點。因此，我的項目旨在推廣、擴展現有的壓縮感知成果，并可能開發新的壓縮感知理論，使其足夠通用，能夠應用于偏微分方程的反問題。

舉個例子：壓縮感知的主要應用之一是磁共振成像（magnetic resonance imaging），其原理基于傅里葉變換（Fourier transform）。計算機斷層掃描（computerised tomography）中另一個非常重要的反問題，則基于拉東變換（Radon transform）。但令人驚訝的是，此前沒有任何一篇理論論文解釋為何壓縮感知能應用于拉東變換 —— 而這正是我們大約一年前完成的研究成果。

[MTW]：醫學成像領域有很多相關研究。你說你們取得了一些理論成果？這些成果對改進醫學成像算法的性能和效果有幫助嗎？

GA：壓縮感知技術已在實踐中得到應用，比如斷層掃描（tomography）。但在此之前，沒有任何一項理論成果證明：如果假設信號是稀疏的，那么所需的測量數據量與稀疏性相關。對于拉東變換，這類成果此前完全空白。而對于磁共振成像，答案無疑是肯定的：壓縮感知理論確實提升了其性能。

[MTW]：那么你是如何想到這個歐洲研究理事會ERC項目的？

GA：這是一個循序漸進的過程，并非某天早上醒來突然決定 “好，我要寫一份歐洲研究理事會ERC項目申請書”。正如我所說，我的博士研究聚焦于偏微分方程的反問題，碩士階段主要研究小波分析。在博士后期間，我開始探索將這兩個領域結合起來的思路，開辟一條其他人未曾涉足的研究路徑。后來我們意識到，這個方向存在很多未解決的問題，所以我想，或許可以申請歐洲研究理事會ERC基金。

[MP]：回顧申請過程，你有沒有注意到什么特別的地方？對于想要申請的同事，你有什么建議？

GA：我想，如果你是頂尖數學家，可能不需要擔心我所面臨的那些問題。對我來說，設計項目花了很長時間 —— 實際撰寫和打磨申請書用了大概幾個月，但項目設計本身才是最關鍵的部分。我用幻燈片梳理了項目的核心思路，并與朋友、同事等人分享，這幫助我盡可能合理地構建了整個項目框架。但我申請了兩次才成功：第一次是在新冠疫情期間，我通過了第一輪篩選，但當時沒有面試環節，最終沒有獲批。不過，由于通過了第一階段，我可以在第二年提交修訂版申請書。這份修訂版基于第一輪收到的反饋，我認為這給了我很大優勢。第二次參加面試時，我已經預判到了很多可能的批評意見。

我認為關鍵在于時間：你不能突然某天決定申請歐洲研究理事會ERC基金，這是一個漫長的過程。我覺得從開始構思到最終提交申請書，至少需要一年時間 —— 一年是比較合理的周期，不宜倉促行事。

[MP]：我能想象，有些反饋可能是相互矛盾的。咨詢的人越多，得到的意見就越多，對吧？這些意見都有價值，但你不可能全部采納 —— 畢竟申請書篇幅有限，時間也有限。你是如何處理這個問題的？

GA：確實如此。評審報告中也能看到這種情況。我不知道評審委員會是如何運作的，但我想他們肯定需要找到一個平衡點。

舉個例子：我在機器學習領域的經驗并不多，雖然在優質期刊和會議上發表過兩三篇相關論文，但這并非我的主要研究方向。當時面臨的問題是：如果將機器學習的比重壓得極低，避免別人說 “你不是這方面的專家”，但這樣又可能會有人質疑 “都2022年了，你怎么還只做壓縮感知？”。所以我必須找到一個中間立場。我的做法是，坦誠自己并非完全出身于機器學習領域，并邀請了熱那亞一位在機器學習方面非常資深的同事作為額外合作者。我是這么做的，但我覺得這個問題沒有簡單的解決方案。

[MTW]：我們換個話題吧。你是何時、如何決定學習數學的？

GA：高中時我就喜歡數學，但也喜歡物理和工程學等更實用的學科。在意大利，教育體系允許學生在課程開始前最后一刻才確定大學專業。我是在開學前五天做出決定的。高中畢業那年夏天，我買了一些物理、數學和其他領域的書籍，閱讀后發現自己覺得數學比其他學科更容易。多年來，這種感覺越來越強烈 —— 很多人認為數學很難，但我恰恰相反：數學很簡單。它基于很少的幾條規則，而每當我思考物理問題時，都會覺得復雜得多；如果是經濟學、政治學或醫學等非STEM（科學、技術、工程、數學）學科，我會覺得更難。這就是我選擇學習數學的原因 —— 因為它很簡單。

[MTW]：那為什么不選擇純數學呢？

GA：我最初是純數學方向的，本科和碩士階段基本都在研究純數學。但我也修了一些應用數學課程，一直對 “介于純數學和應用數學之間” 的領域很感興趣 —— 這也是我現在的研究定位。在純數學家看來，我可能是一名應用數學家；而在應用數學家看來，我又偏向純數學。所以我覺得自己處于兩者之間。

[MTW]：你認為應用數學應該向哪個方向發展？

GA：我不知道。正如我多次提到的，我不太熱衷于跟風。我無法預測十年后會發生什么 —— 或許到那時，神經網絡已經沒人使用了。所以我不確定應用數學的未來方向。

[MP]：你如何看待數學的相關領域？我認為應用數學非常成功，但也存在一個弊端：相關領域會將應用數學的方法引入自身領域，他們也會做數學研究，因此很難區分一篇論文是信號處理領域的人寫給數學家的，還是反之。你對此有何看法？保持數學的整體性重要嗎？這種 “分散” 的狀態是好事嗎？

GA：我很高興數學能夠被其他領域應用和普及，但我也認為，深入理解數學抽象理論至關重要。我的意思是，比如在進行偏微分方程數值計算時，你可能不需要掌握泛函分析或弱解理論，但我堅信，要理解這些方法的特性，就必須具備深厚的理論知識。

這一點適用于所有領域。例如，如果你想求拉東變換的逆，只需應用經典的濾波反投影法（filtered back projection）即可。但理解其中涉及的函數空間、拉東變換的不適定性（ill posed）及其逆變換的不連續性，也同樣重要 —— 只有這樣，才能完全理解這些問題。

在里約熱內盧舉辦的2025年應用反問題會議上，喬瓦尼?S?阿爾貝蒂發表卡爾德龍獎（Calderón Prize）獲獎感言。

轉載自：FGV EMAp，照片由安娜?圣地亞哥（Ana Santiago）拍攝

我很高興工程師們能使用數學工具，但我認為，對我們而言，捍衛理論在理解這些現象中的重要性至關重要。

[MTW]：這個回答非常精彩。

[MP]：你如何看待文化背景的影響？我感覺，數學家說幾句話就能被輕易識別出來，或許電氣工程師會使用完全不同的語言。你認為這種差異重要嗎？

GA：當然，我并不認為數學家比其他人更優秀。但我喜歡數學的一點是，抽象性使數學比其他領域更具通用性。所以我覺得，數學的核心文化優勢在于，憑借基礎的知識和工具，我們能夠理解和分析各種截然不同的現象 —— 這一點對工程師來說可能很難實現。

順便說一句：我并非數學教育專家，所以不確定中小學學生最需要什么樣的數學教育。但如今，至少在意大利，有一種趨勢是避免數學抽象性：“讓一切都具體化，多舉例子”。當然，我理解并重視數學中的例子和實用性內容，但我也同樣重視其抽象性。

[MTW]：在某種程度上，我同意你的觀點。但與此同時，我常常對工程師們能想出切實可行的點子感到驚訝 —— 他們往往擁有極強的直覺。他們可能無法告訴你這個點子為何有效，但他們是如何想到的呢？我不是在為任何一方辯護或評判，只是覺得兩種方法各有其優點。

[MP]：我想就相關問題聽聽你的看法。我完全同意抽象性的重要性，但它也有一個弊端：數學往往隱藏在應用背后。至少在外界看來，通常只能看到應用成果，而我們所做的基礎工作卻不為人知。我認為，這一點也反映在資金支持上 —— 除了歐洲研究理事會（ERC），在歐洲層面，資金往往與應用掛鉤，而非基礎研究。你對此有何看法？

GA：這是一個很難回答的問題 —— 你應該提前把這個問題發給我。（笑）

這讓我想到，我的歐洲研究理事會ERC基金項目（我向數學評審組提交的申請）中，大部分內容是關于定理和理解現象的，這些成果肯定不會直接應用于實踐。但每當我向非專業人士解釋這個項目時，我都會從醫學成像等應用入手 —— 因為這樣人們更容易理解。

重要的是，人們需要明白，我們在學校學習的基礎數學（比如算術和幾何）在生活中無處不在：這些基本構建塊是至關重要的。如今，世界以及我們描述世界的科學都有了很大發展。同理，我認為，理解現代世界的新構建塊正是由純數學提供的 —— 它既是工具，也是語言。但話雖如此，我對此并沒有明確的解決方案。

[MTW]：回顧自己的職業生涯，你有什么建議可以分享？

GA：一個簡單且可能顯而易見的建議是：盡可能享受自己所做的事情。試著在工作中找到樂趣，不要只把它當成一份差事。

還有一個你可能不常聽到的建議：獨立的重要性。即使是博士生，尤其是博士后，也應該盡快擺脫對導師的依賴。我認為，與導師形成差異化、找到自己的研究方向非常重要。

我一直認為這一點很重要，原因有二：首先，這樣一來，你的研究成果會更具獨特性，人們不會把你僅僅視為 “X的學生” 或 “做了與Y類似工作的人”；其次，這是做出真正創新成果的唯一途徑 —— 你可以嘗試探索其他人未曾涉足的新方向。

另一個建議是關于科學傳播的：我認為，無論是年輕研究者還是資深研究者，往往更關注自己的研究內容，而不太重視論文寫作和向他人解釋研究成果的方式。我相信，對于年輕的博士生和博士后來說，理解撰寫優質論文的價值至關重要 —— 讓讀者讀完后能說 “啊，我明白了”。同樣，做好學術報告也很重要，讓聽眾能夠理解報告內容。但人們往往不太重視這一點，尤其是在純數學領域。我聽過很多報告，通常只關注成果本身 ——“這個定理很美，就這樣”。或許 “就這樣” 就夠了，但成果也需要通過良好的傳播方式讓他人知曉。

[MTW]：過去，是什么幫助你培養了這種獨立性？

GA：對我來說，是在博士二年級結束時，我的導師來找我說：“明年我要去巴黎（當時我在英國），所以我們大概只能見三四次面，之后就全靠你自己了。” 這在無形中促使我變得獨立。當然，這是一種比較極端的方式。（笑）

[MTW]：那你之后是不是更多地與其他人合作了？

GA：是的，比如在會議上認識一些人，然后開展一些副業項目 —— 不過這在博士后階段可能更多一些。

[MTW]：關于學術寫作，這確實是個不錯的建議，但學習起來并不容易。

GA：嗯，現代機器學習的方法是分類學習 —— 多看例子，包括糟糕的論文和優秀的論文，多聽報告，包括糟糕的報告和精彩的報告，從這些例子中學習。但我同意，這并不容易。

[MP]：但如果沒有做好這件事的動力，就很難有所提升。

GA：沒錯。或許存在這樣一種風險：一旦定理證明完成，動力就消失了，只是把結果寫下來，確認其正確性就完事了。

獲得歐洲研究理事會ERC項目后，我讀了一些同事的申請書。有些申請書的作者在數學領域比我強得多，項目本身在數學層面也非常出色。但如果寫作方式枯燥到讓讀者讀第一頁就犯困，那么很可能無法獲得歐洲研究理事會ERC基金支持。

[MTW、MP]：感謝你帶來的深刻見解。

參考資料

https://ems.press/content/serial-article-files/51836

https://ipia.site/wp/calderon-prizes/

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