小樂數學科普：Tony Phillips教授的數學讀報評論2025-06

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本月主題：

1. 糾纏烷Perplexanes，一類新型分子拓撲結構

2. 幾何學與大腦遺傳學

作者：Tony Phillips（石溪大學數學教授）2025-7-30

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-8-1

1. 糾纏烷Perplexanes，一類新型分子拓撲結構

圖源：JACS 147期 CC BY 4.0

分子拓撲結構在納米技術中的重要性日益凸顯。分子結已被用于加速化學反應 https://www.chem.ox.ac.uk/catalysis ，并被用作癌癥治療的遞送劑。Fredrik Schaufelberger在2020年發表于《自然通訊化學》的一篇文章 https://www.nature.com/articles/s42004-020-00433-7 中詳細闡述了這些應用及其他應用。他在文中寫道：“分子結正從學術好奇演變為一類具有實際應用價值的機械互鎖分子，能夠在納米尺度上執行獨特的任務?！?/p>

《美國化學會志》五月刊發表的一篇論文分享了一種改進的工藝 https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268 ，用于生產這些復雜拓撲的分子。據該研究的作者稱，合成分子結和鏈的嘗試一直“挑戰合成化學的極限”，因為構建塊通常是亞基的線性鏈，而結和鏈本質上是曲線的環狀物體。

為了解決這個問題，他們采用了一種新的分子合成方法，使用三足（Y形）構建塊。這使得他們能夠以66%的產率合成四面體籠狀分子。相比之下，他們報告稱，之前最先進的方法的產率為0.8% - 20%。當他們利用允許非平面耦合的柔性肽來豐富合成時 https://en.wikipedia.org/wiki/Zirconocene ，反應產生了具有“不尋常的互鎖和交織組合”的新型分子。這些新型分子就是Perplexanes（糾纏烷）。

模擬霍普夫連接和右手三葉結的Perplexanes。

SCXRD代表單晶X射線衍射（single-crystal X-ray diffraction），該技術用于確定精確的分子結構。

圖源（裁剪自）：JACS 147期 https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268 CC BY 4.0。

這對拓撲學家來說是個挑戰嗎？作者評論道：“分支成分越多，復雜性越高，這應該能讓我們探索到一些尚未被數學界定的新的拓撲子類?！保哟种攸c是Tony教授強調的。）

2. 幾何學和大腦遺傳學

在6月13日發表于《科學進展》

Science Advances

核心觀察結果是，不同形狀的膜會以不同的頻率振動。這也是不同樂器產生不同聲音的原因之一。大鼓的音調比小鼓低，因為小鼓只能以高頻振動，而大鼓的振動速度更慢。一個曲面可能振動頻率（實際上是振動頻率的平方；參見下文）的集合稱為其頻譜（spectrum，譜）。

從計算角度來看，曲面的頻譜由一個稱為波動方程（wave equation）的偏微分方程確定。對于非常簡單或對稱的曲面，波動方程及其頻譜可以用幾何和微積分在紙上計算出來。

舉個例子。木板上兩個釘子之間拉著一根繩索，稱為弦（cord，我們可以把它看作一張一維的“膜”），撥動它就會振動，在很多情況下會產生可聽見的聲音。

為了簡化記譜，我們以長度為π的弦為例。選擇一端作為起點，用x表示沿弦的距離。用f(x,t)表示弦從其在靜止位置x，經過時間t之后移動了多遠。使用這些項，波動方程就寫成?2f/?t2=c2 ?2f/?x2，其中c是波沿弦傳播的速度。

該方程表明，在弦上任何一點，其垂直加速度都與其凹度（concavity）成正比。這是有道理的，因為當x處的形變向下凹陷（ ?）時，彈性會向下拉x（↓），而當形變向上凹陷（ ?）時，彈性會向上拉x（↑）。

函數f_k(x,t)=sin(kx) cos(kct)（其中k=1,2,3,...）是波動方程的解。每一個基本解，設定t=0，都對應于弦的一種特定初始配置。這些配置被稱為振動模式（modes of vibration）。通過傅里葉分析，弦的任何初始配置都可以寫成這些模式的線性組合。對于撥動弦的情況，其初始垂直速度為零，波動方程的解是f_k的相應線性組合。

基本解的可能頻率均為c/(2π)的整數倍，而弦的頻譜是這些頻率的平方： c2/(4π2)， c2/π2， 9c2/(4π2)等等。（就調性tonality而言，如果 c/(2π) 是音符的音高，則 c/π 是其高八度音，而 3c/(2π) 是八度音上方的純五度音）。

兩端固定的弦的前三種振動模式。弦長度等于π，實線分別為 sin x 、sin 2x 和 sin 3x 的圖形。每幅圖下方是該模式的示意圖：藍色表示對應函數值為正，紅色表示對應函數值為負，白色表示函數接近于零。

圖源：Tony Phillips

一旦我們知道了基本解的結構，這種方法就可以推廣到更復雜的情況。每個解的形式為h(x) cos(kct)（其中h是以x為唯一變量的函數）。寫出滿足波動方程

?2(h(x) cos(kct))/?x2 = 1/c2 ?2(h(x) cos(kct))/?t2

的解，得到

?2h/?x2 cos(kct) = 1/c2 h(x) ?2(cos(kct))/?t2

簡化為

?2h/?x2 = -k2h

這意味著算子 ?2/?x2（測量每個點的凹度）取 h(x)的倍數（-k2）。我們稱 h 是 ?2/?x2在特征值為 -k2 時的特征函數（eigenfunction）。在弦的例子中， sin (2x) 是特征值為-4時，算子 ?2/?x2 的特征函數。

對于曲面， ?2/?x2 有一個類似算子，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米（Laplace-Beltrami）算子。該算子通常表示為Δ，包含有關局部幾何的信息；波動方程現在是

?2f/?t2 = c2Δf

其中 f 是曲面變量和時間的函數。計算譜的過程與一維情況相同：如果在曲面上定義的函數 h(x,y) 是 特征值為-k2時 Δ 的特征函數，則 h(x,y) cos(kct) 將是該曲面上的波動方程的解。

假設我們可以確定足夠多的特征函數 h?, h?, … ，使得曲面的任何初始配置 f(x,y) 都可以寫成線性組合 a?h?+a?h?+ …，其過程類似于傅里葉分析。然后，如果 -k?2 是與 h? 相關的特征值，則和

a?h? cos(k?ct) + a?h? cos(k?ct)+ …

是初始配置為 f(x,y) 的波動方程的解。

特征值的集合（按照慣例，不帶負號：k?2, k?2, … ），按升序排列，即為曲面的拉普拉斯-貝爾特拉米譜，或者簡稱為“譜”。注意，各個特征函數的振動頻率是相應特征值的平方根乘以 c 得到的。

拉普拉斯-貝爾特拉米算子在半徑為 1 的二維球面上的第一個非零特征函數，其藍紅白約定規則同上，在各列中列出了它們對應的特征值。這些函數傳統上稱為球諧函數（spherical harmonics，球面諧波函數）

圖源：Mireia Crispin（劍橋大學）的視頻演示 https://youtu.be/5PMqf3Hj-Aw 經許可使用

曲面的譜在多大程度上決定了它的形狀？馬克·卡克（Mark Kac）在其1966年的論文《能聽到鼓的形狀嗎？》

Can one hear the shape of a drum?

通常情況下，我們無法聽到鼓的形狀，但反例卻很難構造。對于絕大多數曲面，如果兩個譜相同，則它們必定是等距的，即幾何上等價。

在最近的論文中，作者假設人類海馬體的形狀屬于這一類，并使用計算出的頻譜作為形狀的數值表征。海馬體過于復雜，波動方程無法精確求解；因此，他們利用計算機構建了一個由微小三角形組成的三維模型，并使用離散版本的波動方程計算頻譜。

正如他們所寫的，“這種多維內稟的形狀表示，作為等距不變量，與坐標系的旋轉、平移和縮放無關，無需進行容易出錯的個體間圖像配準，并且會隨著（曲面）的任何變化而連續變化?！?/p>

成人腦干的拉普拉斯-貝爾特拉米特征函數 (Sci. Adv. 11(24), 10.1126/sciadv.adr1644 https://doi.org/10.1126/sciadv.adr1644 )

圖中顯示了前五個特征函數，以及特征函數 10、20、30、40 和 49 及其對應的特征值。顏色約定與上述類似，但藍綠色表示正值，棕色表示負值。

根據 CC BY-NC 許可使用，略作編輯

Primus及其同事研究了拉普拉斯-貝爾特拉米譜（Laplace-Beltrami spectrum），該譜由其前49個特征值表示。他們發現了19862個人的22 個不同大腦區域的譜圖，并記錄了他們的基因組。

由于作者關注的是形狀而非大小，因此對譜圖進行了歸一化處理。對于每個大腦區域，他們進行了多元綜合統計檢驗 https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7360598/ ，以尋找譜圖與基因組之間的相關性。

他們報告了DNA中的 80 個單字母變化，其中 31 個此前是未知的，這些變化“與至少一個大腦結構的形狀獨立相關”。具體來說，他們發現大腦形狀與高血壓、缺血性中風和精神分裂癥易感基因標記之間存在顯著相關性，“表明（拉普拉斯-貝爾特拉米譜）可能作為早期疾病的生物標記。”

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-june-2025/

https://www.chem.ox.ac.uk/catalysis

https://www.nature.com/articles/s42004-020-00433-7

https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268

https://en.wikipedia.org/wiki/Zirconocene

https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268

https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.adr1644

https://youtu.be/5PMqf3Hj-Aw

https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m207b/kac.pdf

https://doi.org/10.1126/sciadv.adr1644

https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7360598/

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