小樂(lè)數(shù)學(xué)科普：Tony Phillips教授的數(shù)學(xué)讀報(bào)評(píng)論2025-06

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本月主題：

1. 糾纏烷Perplexanes，一類(lèi)新型分子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

2. 幾何學(xué)與大腦遺傳學(xué)

作者：Tony Phillips（石溪大學(xué)數(shù)學(xué)教授）2025-7-30

譯者：zzllrr小樂(lè)（數(shù)學(xué)科普公眾號(hào)）2025-8-1

1. 糾纏烷Perplexanes，一類(lèi)新型分子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖源：JACS 147期 CC BY 4.0

分子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在納米技術(shù)中的重要性日益凸顯。分子結(jié)已被用于加速化學(xué)反應(yīng) https://www.chem.ox.ac.uk/catalysis ，并被用作癌癥治療的遞送劑。Fredrik Schaufelberger在2020年發(fā)表于《自然通訊化學(xué)》的一篇文章 https://www.nature.com/articles/s42004-020-00433-7 中詳細(xì)闡述了這些應(yīng)用及其他應(yīng)用。他在文中寫(xiě)道：“分子結(jié)正從學(xué)術(shù)好奇演變?yōu)橐活?lèi)具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的機(jī)械互鎖分子，能夠在納米尺度上執(zhí)行獨(dú)特的任務(wù)。”

《美國(guó)化學(xué)會(huì)志》五月刊發(fā)表的一篇論文分享了一種改進(jìn)的工藝 https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268 ，用于生產(chǎn)這些復(fù)雜拓?fù)涞姆肿印?jù)該研究的作者稱，合成分子結(jié)和鏈的嘗試一直“挑戰(zhàn)合成化學(xué)的極限”，因?yàn)闃?gòu)建塊通常是亞基的線性鏈，而結(jié)和鏈本質(zhì)上是曲線的環(huán)狀物體。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，他們采用了一種新的分子合成方法，使用三足（Y形）構(gòu)建塊。這使得他們能夠以66%的產(chǎn)率合成四面體籠狀分子。相比之下，他們報(bào)告稱，之前最先進(jìn)的方法的產(chǎn)率為0.8% - 20%。當(dāng)他們利用允許非平面耦合的柔性肽來(lái)豐富合成時(shí) https://en.wikipedia.org/wiki/Zirconocene ，反應(yīng)產(chǎn)生了具有“不尋常的互鎖和交織組合”的新型分子。這些新型分子就是Perplexanes（糾纏烷）。

模擬霍普夫連接和右手三葉結(jié)的Perplexanes。

SCXRD代表單晶X射線衍射（single-crystal X-ray diffraction），該技術(shù)用于確定精確的分子結(jié)構(gòu)。

圖源（裁剪自）：JACS 147期 https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268 CC BY 4.0。

這對(duì)拓?fù)鋵W(xué)家來(lái)說(shuō)是個(gè)挑戰(zhàn)嗎？作者評(píng)論道：“分支成分越多，復(fù)雜性越高，這應(yīng)該能讓我們探索到一些尚未被數(shù)學(xué)界定的新的拓?fù)渥宇?lèi)。”（加粗重點(diǎn)是Tony教授強(qiáng)調(diào)的。）

2. 幾何學(xué)和大腦遺傳學(xué)

在6月13日發(fā)表于《科學(xué)進(jìn)展》

Science Advances

核心觀察結(jié)果是，不同形狀的膜會(huì)以不同的頻率振動(dòng)。這也是不同樂(lè)器產(chǎn)生不同聲音的原因之一。大鼓的音調(diào)比小鼓低，因?yàn)樾」闹荒芤愿哳l振動(dòng)，而大鼓的振動(dòng)速度更慢。一個(gè)曲面可能振動(dòng)頻率（實(shí)際上是振動(dòng)頻率的平方；參見(jiàn)下文）的集合稱為其頻譜（spectrum，譜）。

從計(jì)算角度來(lái)看，曲面的頻譜由一個(gè)稱為波動(dòng)方程（wave equation）的偏微分方程確定。對(duì)于非常簡(jiǎn)單或?qū)ΨQ的曲面，波動(dòng)方程及其頻譜可以用幾何和微積分在紙上計(jì)算出來(lái)。

舉個(gè)例子。木板上兩個(gè)釘子之間拉著一根繩索，稱為弦（cord，我們可以把它看作一張一維的“膜”），撥動(dòng)它就會(huì)振動(dòng)，在很多情況下會(huì)產(chǎn)生可聽(tīng)見(jiàn)的聲音。

為了簡(jiǎn)化記譜，我們以長(zhǎng)度為π的弦為例。選擇一端作為起點(diǎn)，用x表示沿弦的距離。用f(x,t)表示弦從其在靜止位置x，經(jīng)過(guò)時(shí)間t之后移動(dòng)了多遠(yuǎn)。使用這些項(xiàng)，波動(dòng)方程就寫(xiě)成?2f/?t2=c2 ?2f/?x2，其中c是波沿弦傳播的速度。

該方程表明，在弦上任何一點(diǎn)，其垂直加速度都與其凹度（concavity）成正比。這是有道理的，因?yàn)楫?dāng)x處的形變向下凹陷（ ?）時(shí)，彈性會(huì)向下拉x（↓），而當(dāng)形變向上凹陷（ ?）時(shí)，彈性會(huì)向上拉x（↑）。

函數(shù)f_k(x,t)=sin(kx) cos(kct)（其中k=1,2,3,...）是波動(dòng)方程的解。每一個(gè)基本解，設(shè)定t=0，都對(duì)應(yīng)于弦的一種特定初始配置。這些配置被稱為振動(dòng)模式（modes of vibration）。通過(guò)傅里葉分析，弦的任何初始配置都可以寫(xiě)成這些模式的線性組合。對(duì)于撥動(dòng)弦的情況，其初始垂直速度為零，波動(dòng)方程的解是f_k的相應(yīng)線性組合。

基本解的可能頻率均為c/(2π)的整數(shù)倍，而弦的頻譜是這些頻率的平方： c2/(4π2)， c2/π2， 9c2/(4π2)等等。（就調(diào)性tonality而言，如果 c/(2π) 是音符的音高，則 c/π 是其高八度音，而 3c/(2π) 是八度音上方的純五度音）。

兩端固定的弦的前三種振動(dòng)模式。弦長(zhǎng)度等于π，實(shí)線分別為 sin x 、sin 2x 和 sin 3x 的圖形。每幅圖下方是該模式的示意圖：藍(lán)色表示對(duì)應(yīng)函數(shù)值為正，紅色表示對(duì)應(yīng)函數(shù)值為負(fù)，白色表示函數(shù)接近于零。

圖源：Tony Phillips

一旦我們知道了基本解的結(jié)構(gòu)，這種方法就可以推廣到更復(fù)雜的情況。每個(gè)解的形式為h(x) cos(kct)（其中h是以x為唯一變量的函數(shù)）。寫(xiě)出滿足波動(dòng)方程

?2(h(x) cos(kct))/?x2 = 1/c2 ?2(h(x) cos(kct))/?t2

的解，得到

?2h/?x2 cos(kct) = 1/c2 h(x) ?2(cos(kct))/?t2

簡(jiǎn)化為

?2h/?x2 = -k2h

這意味著算子 ?2/?x2（測(cè)量每個(gè)點(diǎn)的凹度）取 h(x)的倍數(shù)（-k2）。我們稱 h 是 ?2/?x2在特征值為 -k2 時(shí)的特征函數(shù)（eigenfunction）。在弦的例子中， sin (2x) 是特征值為-4時(shí)，算子 ?2/?x2 的特征函數(shù)。

對(duì)于曲面， ?2/?x2 有一個(gè)類(lèi)似算子，稱為拉普拉斯-貝爾特拉米（Laplace-Beltrami）算子。該算子通常表示為Δ，包含有關(guān)局部幾何的信息；波動(dòng)方程現(xiàn)在是

?2f/?t2 = c2Δf

其中 f 是曲面變量和時(shí)間的函數(shù)。計(jì)算譜的過(guò)程與一維情況相同：如果在曲面上定義的函數(shù) h(x,y) 是 特征值為-k2時(shí) Δ 的特征函數(shù)，則 h(x,y) cos(kct) 將是該曲面上的波動(dòng)方程的解。

假設(shè)我們可以確定足夠多的特征函數(shù) h?, h?, … ，使得曲面的任何初始配置 f(x,y) 都可以寫(xiě)成線性組合 a?h?+a?h?+ …，其過(guò)程類(lèi)似于傅里葉分析。然后，如果 -k?2 是與 h? 相關(guān)的特征值，則和

a?h? cos(k?ct) + a?h? cos(k?ct)+ …

是初始配置為 f(x,y) 的波動(dòng)方程的解。

特征值的集合（按照慣例，不帶負(fù)號(hào)：k?2, k?2, … ），按升序排列，即為曲面的拉普拉斯-貝爾特拉米譜，或者簡(jiǎn)稱為“譜”。注意，各個(gè)特征函數(shù)的振動(dòng)頻率是相應(yīng)特征值的平方根乘以 c 得到的。

拉普拉斯-貝爾特拉米算子在半徑為 1 的二維球面上的第一個(gè)非零特征函數(shù)，其藍(lán)紅白約定規(guī)則同上，在各列中列出了它們對(duì)應(yīng)的特征值。這些函數(shù)傳統(tǒng)上稱為球諧函數(shù)（spherical harmonics，球面諧波函數(shù)）

圖源：Mireia Crispin（劍橋大學(xué)）的視頻演示 https://youtu.be/5PMqf3Hj-Aw 經(jīng)許可使用

曲面的譜在多大程度上決定了它的形狀？馬克·卡克（Mark Kac）在其1966年的論文《能聽(tīng)到鼓的形狀嗎？》

Can one hear the shape of a drum?

通常情況下，我們無(wú)法聽(tīng)到鼓的形狀，但反例卻很難構(gòu)造。對(duì)于絕大多數(shù)曲面，如果兩個(gè)譜相同，則它們必定是等距的，即幾何上等價(jià)。

在最近的論文中，作者假設(shè)人類(lèi)海馬體的形狀屬于這一類(lèi)，并使用計(jì)算出的頻譜作為形狀的數(shù)值表征。海馬體過(guò)于復(fù)雜，波動(dòng)方程無(wú)法精確求解；因此，他們利用計(jì)算機(jī)構(gòu)建了一個(gè)由微小三角形組成的三維模型，并使用離散版本的波動(dòng)方程計(jì)算頻譜。

正如他們所寫(xiě)的，“這種多維內(nèi)稟的形狀表示，作為等距不變量，與坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)、平移和縮放無(wú)關(guān)，無(wú)需進(jìn)行容易出錯(cuò)的個(gè)體間圖像配準(zhǔn)，并且會(huì)隨著（曲面）的任何變化而連續(xù)變化。”

成人腦干的拉普拉斯-貝爾特拉米特征函數(shù) (Sci. Adv. 11(24), 10.1126/sciadv.adr1644 https://doi.org/10.1126/sciadv.adr1644 )

圖中顯示了前五個(gè)特征函數(shù)，以及特征函數(shù) 10、20、30、40 和 49 及其對(duì)應(yīng)的特征值。顏色約定與上述類(lèi)似，但藍(lán)綠色表示正值，棕色表示負(fù)值。

根據(jù) CC BY-NC 許可使用，略作編輯

Primus及其同事研究了拉普拉斯-貝爾特拉米譜（Laplace-Beltrami spectrum），該譜由其前49個(gè)特征值表示。他們發(fā)現(xiàn)了19862個(gè)人的22 個(gè)不同大腦區(qū)域的譜圖，并記錄了他們的基因組。

由于作者關(guān)注的是形狀而非大小，因此對(duì)譜圖進(jìn)行了歸一化處理。對(duì)于每個(gè)大腦區(qū)域，他們進(jìn)行了多元綜合統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7360598/ ，以尋找譜圖與基因組之間的相關(guān)性。

他們報(bào)告了DNA中的 80 個(gè)單字母變化，其中 31 個(gè)此前是未知的，這些變化“與至少一個(gè)大腦結(jié)構(gòu)的形狀獨(dú)立相關(guān)”。具體來(lái)說(shuō)，他們發(fā)現(xiàn)大腦形狀與高血壓、缺血性中風(fēng)和精神分裂癥易感基因標(biāo)記之間存在顯著相關(guān)性，“表明（拉普拉斯-貝爾特拉米譜）可能作為早期疾病的生物標(biāo)記。”

參考資料

https://mathvoices.ams.org/mathmedia/tonys-take-june-2025/

https://www.chem.ox.ac.uk/catalysis

https://www.nature.com/articles/s42004-020-00433-7

https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268

https://en.wikipedia.org/wiki/Zirconocene

https://pubs.acs.org/doi/10.1021/jacs.5c04268

https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.adr1644

https://youtu.be/5PMqf3Hj-Aw

https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m207b/kac.pdf

https://doi.org/10.1126/sciadv.adr1644

https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC7360598/

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