小樂數學科普：掛谷猜想專題系列——針尖上的猜想之塔——譯自Quanta Magazine量子雜志

圖源：Allison Li|Quanta

表面上看，掛谷猜想是關于旋轉針的簡單命題。但它是大量數學的基礎。

作者：Jordana Cepelewicz（量子雜志數學編輯）2023-9-12

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-1-30

在數學中，往往一個看似簡單的問題并不簡單。今年夏天早些時候，量子雜志報道了一個這樣的問題 https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/ ：當一根無限細的針向所有可能的方向旋轉時，你可以掃過的最小面積是多少？

像表盤一樣繞其中心旋轉，你就會得到一個圓。但更巧妙地旋轉它，你就可以覆蓋任意小的一片空間。如果你不需要針以連續的方式移動，而是簡單地在各個方向放置一根針，你就可以構建一種完全不覆蓋任何區域的針排列。

數學家將這些排列稱為掛谷集（Kakeya set）。雖然他們知道這樣的集合在面積（或體積，如果你將針排列在3維或更高維度上）方面可能很小，但他們相信如果它們的大小是通過豪斯多夫維數（Hausdorff dimension）來測量的，那么這些集合必須始終很大。

數學家尚未證明這一命題，即掛谷猜想（Kakeya conjecture）。雖然它表面上是一個關于針的簡單問題，但“這些掛谷集的幾何形狀支撐著偏微分方程、調和分析和其他領域的大量問題，”愛丁堡大學的喬納森·希克曼（Jonathan Hickman）說。

掛谷猜想是調和分析中3個核心問題的基礎——調和分析（harmonic analysis）是數學的一個分支，研究函數如何表示為周期性函數之和，周期函數例如定期振蕩的正弦波。

這些都是由一根針向各個方向旋轉形成的掛谷集，但右圖中的三角旋輪線（deltoid）是圓大小的一半

圖源：Merrill Sherman|Quanta

該層級結構中，掛谷猜想的上一層是“限制”（restriction）猜想。如果該猜想為真，那么掛谷猜想也為真。（這也意味著，如果掛谷猜想被證明是錯誤的，則限制猜想是不正確的。）

限制猜想反過來又被所謂的Bochner-Riesz猜想蘊含。而層級最高的是局部光滑猜想（local smoothing conjecture）。

猜想的層級結構，若下一層不成立，則上層的猜想都將不成立。

前兩個猜想涉及傅立葉變換（Fourier transform）的行為，這是一種調和分析的技術，實際上是計算如何將任何函數作為正弦波之和表達出來的。它是物理學家和工程師可用的最強大的數學工具之一。

傅立葉變換在求解微分方程，表達量子力學思想（例如海森堡不確定性原理）以及分析和處理信號等方面發揮了基本作用 —— 使諸如現代手機之類的事情成為可能。

由于層級結構中的每個命題都蘊含了下一層的命題，因此，如果掛谷猜想是錯誤的，那么其他猜想都不正確。整個塔將崩潰。希克曼說：“你可以創建一個超級怪物反例，破壞很多猜想。”

另一方面，證明掛谷猜想正確并不能自動蘊含其他猜想正確，但它將為數學家提供有關如何進一步處理的重要洞察。

因此，“據我所知，調和分析社區中將近一半的人正在研究這個問題及相關問題，或者曾經在某個時候研究過這些問題”，威斯康星大學麥迪遜分校的郭少明（現為南開大學陳省身數學研究所教授，譯者注2025-1-30）說道。

令人驚訝的是，最近數學家發現，他們開發的解決這些問題的技術也可以用來證明看似無關的數論領域的主要結果。郭少明說：“這是比人們之前認為的更為普遍的現象。”

千層蛋糕

故事從傅里葉變換開始。“你想要將[函數]分解成小塊，分析它們的相互作用，然后將它們重新加在一起，”賓夕法尼亞大學的歐雨濛說。對于一維函數（可以在一張紙上繪制的曲線），數學家非常了解如何做到這一點，即使他們需要僅使用某些小塊來逆轉傅里葉變換。

但是在2維或更高維度中，事情可能會變得凌亂。

1971年，普林斯頓大學數學家Charlie Fefferman（查理·費弗曼）想出了如何使用掛谷集來證明傅里葉逆變換可以在多個維度上產生奇怪且令人驚訝的結果。

這種形狀，如果達到極限，面積可能為零，但內部的針頭卻可以指向各個方向。數學家們曾利用這種形狀來證明傅里葉變換可以以意想不到的方式發揮作用

圖源：Merrill Sherman|Quanta

數學家找到了Bochner-Riesz猜想形式的一種修復，該猜想本質上是說存在更復雜的方法來恢復原函數，而不會像費弗曼的例子那樣崩潰。但這一修復取決于掛谷猜想的正確性。

如果這是真的，“截斷頻率只會導致小誤差，”威斯康星大學麥迪遜分校的貝齊·斯托瓦爾（Betsy Stovall）說。“這意味著小誤差不會擴大。”

層級結構就這樣開始了。后來，數學家發現了另一個重要的聯系：如果為真，Bochner-Riesz猜想也蘊含著一種稱為“限制”猜想的說法。這個猜想指出，如果你從傅里葉變換的有限版本開始——將你查看的值“限制”為僅存在于特定表面上的值——這仍然可以為你提供有關原函數的重要信息。事實證明，如果限制猜想成立，那么掛谷猜想也成立。（這將掛谷猜想和Bochner-Riesz猜想之間的限制猜想置于塔中。）

層級結構中的最高問題稱為局部光滑猜想，它不直接處理傅立葉變換，而是對描述波行為的方程解的大小施加限制。

你也可以根據掛谷集的線條幾何形狀來想到這一點。你可以將波動方程的一般解分解為一堆朝向不同方向移動并以不同方式交互的部分。這些部分在數學上都類似于掛谷集。

掛谷猜想斷言這種配置不會有太多重疊。在這種物理背景下，重疊將對應于解中不規則和意外行為的持久性。例如，在許多不同的時間，聲波可以在許多區域放大。

局部光滑猜想指出，這種不規則性應平均消失。“這就像利用金融市場的平均值，”印第安納大學布盧明頓大學的Ciprian Demeter說。“可能在這里和那里發生崩潰，但是如果你在40年內投入資金并退休，很有可能會獲得一些良好的投資。”

但與層級結構中的所有猜想一樣，這取決于掛谷猜想的正確性。“我們的想法是，如果你排除了掛谷集里面的大量交集，那就意味著你可以排除解的各個部分共同造成某種爆破的情況，”斯托瓦爾說。

這個猜想是其中最困難的：雖然掛谷、限制和Bochner-Riesz問題的二維情況在幾十年前就已經解決，但二維局部光滑猜想在幾年前才被證明。（在更高的維度中，所有這些問題仍然懸而未決。）

盡管證明局部光滑猜想進展緩慢，但它的工作卻在其他方面取得了巨大進展。1999年，數學家托馬斯·沃爾夫在試圖解決這個猜想時，引入了一種稱為解耦（decoupling）的方法。從那時起，這項技術就獲得了自己的生命：它不僅在調和分析方面取得了重大突破，而且在數論、幾何和其他領域也取得了重大突破。

約翰·霍普金斯大學的克里斯托弗·索格（Christopher Sogge）在1990年代首次提出了局部光滑猜想，他說：“利用解耦結果，你現在可以在非常著名、重要的問題上創造世界紀錄。”例如，解耦已被用來幫助計算一個整數可以用多少種方式表示為平方和、立方和或其他冪的和。

正如Demeter所說，這些結果是可能的，因為“我們可以將數字視為波。”他補充說，所有這些問題都鏈接到掛谷針集合，“令人著迷”。“你不會想到，這么多美麗、困難和重要性可以隱藏在可以使用線段產生的東西中。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/a-tower-of-conjectures-that-rests-upon-a-needle-20230912/

https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set

小樂數學科普：掛谷猜想專題系列——新證明穿針引線到一個粘性幾何問題上——譯自Quanta Magazine量子雜志

https://www.quantamagazine.org/new-number-systems-point-geometry-problem-toward-a-real-solution-20220726/

https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/

https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-moves-the-needle-20230929/

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