連線導(dǎo)角構(gòu)全等
2024年北京中考數(shù)學(xué)第27題
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在人教版數(shù)學(xué)八年級上冊第12章全等三角形中,教材在給出全等三角形概念的同時,即給出了未來我們可能遇見的各類全等三角形基本圖形,如下圖:
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我們在初中階段接觸到的全等三角形,其位置關(guān)系基本就是由這三種基本圖形變化而來,因此識圖也是平時教學(xué)中要重點強調(diào)的部分。
在2024年北京中考數(shù)學(xué)第27題中,巧妙構(gòu)造全等則成為了解題成功的關(guān)鍵,方法很多,我們遵循學(xué)生常見思維,走尋常路,找破解之道。
題目
已知∠MAN=α(0° <α<45°),點b,c分別在射線an,am上,將線段bc繞點b順時針旋轉(zhuǎn)180°-2α得到線段bd,過點d作an的垂線交射線am于點e.<>
(1)如圖1,當(dāng)點D在射線AN上時,求證:C是AE的中點;
(2)如圖2,當(dāng)點D在∠MAN內(nèi)部時,作DF∥AN,交射線AM于點F,用等式表示線段EF與AC的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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解析:
01
(1)連接CD,如下圖:
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由旋轉(zhuǎn)可得等腰△BCD,而且其頂角∠CBD=180°-2α,可得其底角∠CDB=α,于是∠A=∠CDB=α,則AC=DC,同時由于DE⊥AN,故∠AED=90°-α,∠CDE=90°-α,于是∠CDE=∠AED,則DC=EC,所以AC=-EC,即點C是AE的中點;
02
(2)仍然由旋轉(zhuǎn)出發(fā),我們要比較AC與EF的數(shù)量關(guān)系,可將AC所在△ABC也繞點B旋轉(zhuǎn)180°-2α,如下圖:
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這樣我們很容易證明△ABC≌△GBD,經(jīng)典的手拉手模型,于是AC被轉(zhuǎn)移到GD處,接下來我們需要研究GD與EF的數(shù)量關(guān)系,由于EF是Rt△DEF的斜邊,在前一問中,我們用到了斜邊上中線等于斜邊的一半,于是猜想會不會GD等于其斜邊的一半?
取EF中點H,連接DH,如下圖:
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DH是斜邊上的中線,于是可得等腰△DFH,由DF∥AN求出∠DFH=α,于是∠DHG=2α;
由前面構(gòu)造的全等三角形可得∠A=∠BGD=α,而BA=BG得∠A=∠AGB=α,于是∠DGH=2α,從而∠DHG=∠DGH,所以GD=DH,最后得到EF=2DH=2GD=2AC;
其它解法:
(一)既然猜想EF=2AC,不妨先取EF中點H,連接DH,但我們無法證明△ABC與△HBD全等,事實上它們也并不全等,這就需要我們另辟蹊徑了,過點H作HG⊥DF,過點C作CT⊥AB,取CD中點R,連接GR,TR,如下圖:
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強調(diào):G,R,T三點是否共線需要證明!
由等腰△DHF可知G為DF中點,同時R是CD中點,于是GR是△CDF中位線,得GR∥AE;
由∠BTC=90°,∠BRC=90°,可知B,R,C,T四點共圓,于是∠BTR=∠BCR,而在等腰△BCD中,其底角∠BCR=α,于是∠A=∠BCR=α,可得TR∥AE,結(jié)合前面的GR∥AE,可證G,R,T共線;
接下來就很輕松了,易得平行四邊形ATGF,易證△ACT≌△FHG,于是同樣可得AC=FH,最后EF=2AC;
(二)先取EF中點H,然后將△BDH繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)180°-2α,如下圖:
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此法略超標(biāo),慎用!
由∠BAC=α,且∠BH'H=α,得四點共圓,于是∠BAH'=∠BHH'=α,即∠CAH'=2α;
令∠CDE=β,則∠BDH=2α+β,所以∠BCH'=2α+β,又∠BCD=α,∠DCF=∠DFH-β=α-β,所以∠H'CF=2α+β+α+α-β=4α,最后求得∠AH‘C=4α-2α=2α,故△ACH'是等腰三角形,同樣可得EF=2AC;
(三)將△ABC旋轉(zhuǎn)至△BDG后,以G為圓心,GD為半徑構(gòu)圓,交AM于H,L兩點,如下圖:
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具體證明不再贅述,類似的解法還有更多,有興趣的老師們可以嘗試探究一下.
解題反思
2024年北京中考數(shù)學(xué)第27題,是一道十分優(yōu)秀的幾何綜合題,對學(xué)生構(gòu)圖能力要求較高,全等三角形是其中的關(guān)鍵結(jié)論,不同的構(gòu)造得不同的思路,條條大道通羅馬。
此類探究兩條線段長度的數(shù)量關(guān)系的問題,對作圖也有一定要求,本題的輔助線是如何想到的,需要學(xué)生扎實的功底,引子便是線段BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)180°-2α,所以構(gòu)造手拉手模型是最容易想到的,在此基礎(chǔ)上,如何有效利用好構(gòu)造出的全等三角形,便是區(qū)分真假學(xué)霸的條件了,第2問的小坑在于,若直接取EF中點,則得到的三角形并不是旋轉(zhuǎn)過后的圖形,而旋轉(zhuǎn)△ABC后,得到的點G未必是EF中點,只有正確將旋轉(zhuǎn)后的G點,和EF中點都畫出來,才能發(fā)現(xiàn)其中的端詳。
這對平時教學(xué)中,學(xué)生作圖也提出了更精確的要求,雖然我們都是作草圖,僅僅只是不需要尺規(guī)作圖那么正規(guī),然而刻度尺、三角尺等工具,還是盡可能用好,切忌徒手作圖,相當(dāng)多的偽證,其源頭便是不準(zhǔn)確作圖。
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