第十七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽非數(shù)學(xué)專業(yè)B類試卷填空題詳細(xì)參考解答

注: 如果手機(jī)閱讀公式顯示不全, 請(qǐng)?jiān)诠缴献蠡种革@示完整公式內(nèi)容. 以下題目為第十七屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽非數(shù)學(xué)專業(yè)B類試卷的填空題詳細(xì)解答, 思路與步驟僅供參考.

目錄

• 函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)(同A)

• 一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)值

• 方向?qū)?shù)的計(jì)算

• 常值級(jí)數(shù)求和

• 定積分計(jì)算(同A)

函數(shù) 有______個(gè)第二類間斷點(diǎn)（填阿拉伯?dāng)?shù)字）.

解答：第二類間斷點(diǎn)是指：至少有一個(gè)單側(cè)極限不存在，或函數(shù)在該點(diǎn)附近趨于無(wú)窮大的間斷點(diǎn)。

由函數(shù)表達(dá)式可知，間斷點(diǎn)只能來(lái)自以下幾類位置：

(1) 要求 ，故 可能是間斷點(diǎn)；

(2) 時(shí)，即 ，可能是間斷點(diǎn)；

(3) 時(shí)，即 ，可能是間斷點(diǎn)。

下面分別討論。

（1）當(dāng) 時(shí)： 有 ， 而 所以 . 故 是第二類間斷點(diǎn)。

（2）當(dāng) 時(shí)： 此時(shí)在 的鄰域內(nèi)有 ，因此

利用等價(jià)無(wú)窮小： , , , 可得

于是 所以 為可去間斷點(diǎn)，不是第二類間斷點(diǎn)。

（3）當(dāng) 時(shí)： 有 , , , 因此分母趨于 ，分子趨于非零常數(shù)，從而 , 故 是第二類間斷點(diǎn)。

所以 第二類間斷點(diǎn)共有 個(gè).

2、一元函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算

設(shè) 則

解答：先將函數(shù)改寫(xiě)為

法 1：特殊法(主要項(xiàng)).由于要求的是 處的三階導(dǎo)數(shù)，只需關(guān)注函數(shù)在 附近的低階主項(xiàng)。由于 ，故 , 從而整個(gè)第二項(xiàng)與 同階，是比 更高階的無(wú)窮小。因此，決定三階導(dǎo)數(shù)的只有第一項(xiàng) 。 于是

法 2：泰勒展開(kāi)法.由 可得

又 , 得

所以 于是由泰勒展開(kāi)的唯一性知， 項(xiàng)系數(shù)為 ，因此

法 3：直接求導(dǎo)法.記

則 逐階求導(dǎo)得：

下面計(jì)算 處的相關(guān)值。首先，

再求導(dǎo)：

代入 ，得 于是

3、方向?qū)?shù)的計(jì)算

設(shè)函數(shù) 則 在點(diǎn) 處沿曲線 的切線方向（指向逆時(shí)針?lè)较颍┑姆较驅(qū)?shù)為

法 1：圖形法.注意到 只依賴于 ，即它是關(guān)于 的復(fù)合函數(shù)。因此，在圓 上， 恒為常數(shù)，所以 也恒為常數(shù)。也就是說(shuō)，該圓正是函數(shù) 的一條等值線。 沿等值線的切線方向前進(jìn)，函數(shù)值不發(fā)生變化，因此方向?qū)?shù)為

法 2：公式法.令 則

由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得

因此在點(diǎn) 處，

故梯度為 曲線 在點(diǎn) 處的法向量可取為 于是其逆時(shí)針?lè)较虻膯挝磺邢蛄靠扇?/p>

所以方向?qū)?shù)為

4、常值級(jí)數(shù)求和

設(shè)數(shù)列 滿足

則級(jí)數(shù) 的和等于

解答:記 當(dāng) 時(shí)，

展開(kāi)得 因此

于是

代入級(jí)數(shù)可得

這是一個(gè)裂項(xiàng)相消級(jí)數(shù)，因此

5、定積分計(jì)算

積分

解答.利用三角恒等變換：

所以原積分化為

令 , 則 且積分限變?yōu)椋?/p>

• 當(dāng) 時(shí)， ；

• 當(dāng) 時(shí)， 。

因此 . 再作萬(wàn)能代換：令 , 則

積分上下限對(duì)應(yīng)為：

• 當(dāng) 時(shí)， ；

• 當(dāng) 時(shí)， , 所以

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