第十七屆全國大學生數學競賽決賽試題

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第十七屆大學生數學競賽決賽（非數學專業A類）

一、填空題（本題30分，每小題6分）

1、函數 有 ______ 個第二類間斷點（填阿拉伯數字）.

2、極限 ______.

3、設函數 由方程 確定，則 ______.

4、設 為平面曲線 （ ），方向為 增加的方向，則曲線積分 ______.

5、積分 ______.

二、（本題10分）設函數 .

(1) 求 的最小值；

(2) 求曲線 在點 處的法線方程.

三、（本題12分）設 為 上恒正的連續函數， 為有限實數，且 , .

證明：微分方程 的任一正解 滿足 .

四、（本題10分）求曲面積分 其中 是柱面 夾在兩平面 之間的部分，方向取外側.

五、（本題14分）已知曲面 :

所圍成的區域被曲面 :

分成上下兩部分，計算上下兩部分區域的體積之比.

六、（本題12分）考慮在 上定義的無窮次可導函數 ， 表示 的 階導數，約定 . 若存在實數 , 使得：

(i) ；

(ii) 當 時， 在 上無零點；

(iii) 在 上無零點，

則稱 的零點指標為 . 若 本身無正零點，則稱其零點指標為 .

(1) 給定實數 。證明：若 ，則對于任意的不全為零的實數 ，函數 的零點指標不超過 ；

(2) 給定實數 . 證明：若 且 ，則對于任意的不全為零的實數 ，函數 的零點指標不超過 .

七、（本題12分）設 ，數列 由如下遞推式定義

其中 . 設 收斂.

(1) 證明： 收斂；

(2) 求 .

第十七屆大學生數學競賽決賽（非數學專業B 類）

一、填空題（本題30分，每小題6分）

1、設函數 有______個第二類間斷點.

2、設 , 則 ______.

3、設函數 , 則 在點 處沿曲線 的切線方向（指向逆時針方向）的方向導數為______.

4、設數列 滿足 , 則級數 的和為______.

5、______.

二、（本題10分）設數列 .

1. 求 . 2. 求 .

三、（本題10分）設 ，其中 具有二階連續導數， 由方程 所確定，且滿足 . 求 .

四、（本題12分）設 ， 為 上恒正的連續函數， 為有限實數，且 , . 證明：微分方程

的任一正解 滿足 .

五、（本題12分）設 的Maclaurin展開式的系數為 （ ），求冪級數 的和函數.

六、（本題12分）已知曲面

被平面 分成上下兩部分，計算上下兩部分區域的體積之比.

七、（本題24分）定義在 上的無限次可導函數 ， 表示 的 階導數，給定：

(i)存在實數 使得：

• (a)

• (b)當 時， 在 上無零點。

• (c)在 上無零點。

則稱 的零點指標為 . 若 本身無正零點，則稱其零點指標為 .

(1)給定實數 ，證明：若 且 ，則對于任意的不全為 的實數 ，函數 的零點指標不超過 .

(2)給定實數 ，證明：若 且 ，則對于任意的不全為 的實數 ，函數

的零點指標不超過 .

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