當空間被無數個孔填滿——費曼路徑積分的直觀推導

導語

從量子力學課堂上耳熟能詳的雙縫實驗出發，本文借一個廣為流傳的“費曼式追問”層層推進：從對兩條路徑振幅的相加，到多孔、多屏，再到把空間視為被無限細分的極限過程，最終引出“對所有路徑求和”的費曼路徑積分表述。通過這種由離散走向連續的直覺圖景，路徑積分不再只是形式主義中的抽象公式，而是量子疊加原理在時空中的自然延伸，并與時間演化算符、傳播子以及統計物理中的配分函數建立起清晰聯系。

一個“物理學課堂傳說”

很久以前，一門量子力學課上，教授照例講雙縫實驗：在時刻 t=0，粒子從源 S發射，穿過屏幕上兩個孔（ A1 或 A2）之一，在時刻 t=T 被位于O的探測器探測到。

在標準講法里，探測到的“概率”不是直接相加，而是先加“振幅”。根據量子力學的疊加原理，到達 O 的總振幅等于兩條可能過程的振幅之和：

• 從 S經 A1 到的振幅

• 從 S 經 A2 到的振幅

這就是雙縫干涉的數學核心：不同路徑對應的振幅會相加，從而產生干涉。

這一點講完后，故事的主角出現了——一個很聰明的學生（我們就叫他“費曼”）。

從“雙縫”到“多縫”

費曼問：“教授，如果我在屏幕上再鉆第三個孔呢？”

教授回答：“那就把三條過程的振幅相加。”

費曼又問：“如果我再鉆第四個、第五個孔呢？”

教授終于有點不耐煩：“好吧，聰明人。全班都看得出來：我們就是把所有孔的振幅都加起來。”

為了把這句話說得更精確，我們記粒子從 S 出發，經由第 i 個孔 Ai，再到達 O 的振幅為A(S → Ai → O)。

那么探測器在O處測到粒子的總振幅就是A(detected at O) = Σi A(S → Ai → O)

這一步的意義很簡單：孔從 2 個變成很多個，只是把“相加的項”從兩項變成多項，本質仍是疊加原理。

但費曼還沒停。

求和從“單屏”到“多屏”

費曼繼續追問：“如果我們再加一塊屏，上面也鉆一些孔呢？”

教授更煩了，說：“你看不出來嗎？你只需要把過程拆成三段：

從源 S 到第一塊屏的孔 Ai 再到第二塊屏的孔 Bi ，再到探測器 O，然后對所有 i 和 j 求和就行了。”

也就是說，“一塊屏多孔”對應的是對 i 求和；“兩塊屏多孔”對應對 i,j 做二重求和。疊加原理仍然沒有變，只是中間可選節點更多了。

到這里，費曼的問題開始逼近關鍵點。

當所有屏幕“鉆滿孔”會變成什么？

費曼繼續糾纏：“那我再放第三塊屏、第四塊屏呢？如果我放一塊屏，然后在上面鉆無窮多個孔，使得這塊屏等于不存在，那會怎樣？”

教授不耐煩了：“我們往下講吧，這門課要講的內容還很多……”

這個故事里教授選擇“跳過”，但聰明的讀者朋友，你一定已經看出來費曼想干什么了。尤其妙的是那句話：在一塊屏上鉆出無窮多個孔，屏就等于不存在。

這句話把問題從“離散的孔”推向“連續的空間”：即使 S 到 O 之間什么都沒有（只是空間），仍可以把傳播理解為一種極限過程——好像空間被無窮多塊屏“填滿”，每塊屏又被無窮多個孔“打穿”。于是粒子從 S 到 O 的振幅就變成：

不是挑一條路，而是把所有可能路徑的貢獻都加起來。

A(粒子在時間 T 內從 S 到 O) = Σ_paths A(粒子沿某條特定路徑從 S 到 O)

這就是路徑積分的直覺起點：從“對孔求和”升級為“對路徑求和”。

“對所有路徑求和”怎么定義？

到這一步，嚴謹的人會自然緊張：你說“對所有路徑求和”，但“路徑”是無限多、連續變化的對象，這個“求和”到底怎么定義？

費曼（以及更早的狄拉克思路）采取的策略很經典：先離散化，再取極限。

做法是：

1. 取一條連續路徑，用很多段直線去逼近它。

2. 讓直線段越來越短、段數越來越多，使逼近趨于精確（段長趨于零）。

你會發現，這和“放很多塊屏、屏間距無限小；每塊屏上孔無限多”是一回事。它把“對路徑的求和”變成了“對很多中間點的積分/求和”，最后再取極限。

一條路徑的振幅怎么計算：

用幺正性把小段乘起來

即使“路徑的集合”被離散化了，還有一個關鍵問題：

沿某條特定路徑傳播的振幅 A(…) 怎么構造？

這里用到量子力學的一個結構：時間演化是幺正的。直觀地說，如果你知道粒子在每個無窮小時間步（或無窮小空間段）上的傳播振幅，那么一整段路徑的振幅可以通過把這些“無窮小段的振幅”連續相乘得到。

也就是說：

• 把一條連續路徑切成無窮多小段

• 每小段有一個傳播振幅

• 整條路徑的振幅就是這些小段振幅的乘積

最后再對“所有可能路徑”求和（在極限意義下變成泛函積分），就得到路徑積分形式主義的核心表達。

Dirac 的表述：

從時間演化算符到“對路徑求和”

前面的故事給出了路徑積分的直覺：把所有可能路徑的振幅加起來。費曼的路徑積分不僅重構了量子力學，更成為了現代量子場論（QFT）的兩大基石之一。

要讓它成為可計算的理論，還需要一個更硬的起點。據說計算方法是Dirac先想出來的。他把“振幅”和“作用量”之間的關系提了出來，并且這關系可以從量子力學最標準的時間演化形式出發系統推導。

（1）傳播振幅的起點：時間演化算符

在量子力學里，粒子從初始位置 qI 在時間 T 后到達末位置 qF 的傳播振幅（傳播子）寫成

這里 H 是哈密頓量。這個式子幾乎可以視作“量子力學演化”的定義。

這一點很重要：路徑積分不是另外一套物理假設，它是同一個時間演化算符的另一種展開方式。

（2）時間切片：把 T切成很多個很小的步長

把總時間 T 切成 N 段，每段 ?=T/N

于是 ，接著在每兩個短時間演化之間插入一次“完備性關系”（單位算符），用位置本征態寫就是 。

這樣做的結果是：傳播子被寫成對所有中間位置的多重積分；每一小段只涉及一個“短時間傳播核”：

其中 q0=qI, qN=qF。這就是實現把一條路徑積分起來、把所有路徑加起來的過程：把一條連續路徑變成許多小線段的極限；而“對所有路徑求和”變成了“對所有中間點積分”。

（3）計算無窮小的時間核

接下來關鍵是計算短時間振幅 的形式。做法是：在坐標表象里插入動量完備性 , 并利用短時間近似（?很小）把指數展開到合適階。對于一般的哈密頓量 , 振幅會變成這個樣子。在計算的過程中，哈密頓量會自然變形為拉格朗日量，最終指數里出現的是作用量 。

（4）與統計物理的關聯

在大多數情況下，我們關心的是把初態 |I〉與末態 |F〉 都取成基態 |0〉。按慣例，我們把真空到真空的演化振幅記為 Z：。

實時間路徑積分之所以“可用”，主要依賴不同路徑帶來的快速振蕩相位在求和時相互抵消，從而在物理意義上起到“收斂”的作用；更為嚴格的處理是進行所謂的 Wick 旋轉，把時間變換到 Euclidean（虛）時間 Τ。這相當于作代換 t=-iΤ（并在復 t 平面上旋轉積分路徑），使權重從振蕩的 exp(iS/?) 變為指數衰減的 exp(-SE/?)，從而得到 Euclidean 路徑積分，這種形式與統計物理的玻爾茲曼權重 exp(-βE) 在結構上完全一致：Euclidean 作用量SE扮演“能量泛函”的角色，因此路徑積分變成對所有配置的加權求和。

更進一步，在有限溫度量子統計中，配分函數 Z(β)=Tre-βH也可寫成 Euclidean 路徑積分，其關鍵在于“取跡”對應 Euclidean 時間方向的周期化：對玻色自由度滿足 q(β)=q(0) （費米自由度滿足反周期邊界條 ψ(β)=-ψ(0)），于是 β 直接等同于 Euclidean 時間圓周的長度。這樣一來，量子場論在虛時間下的計算形式，會變得非常像統計物理里計算配分函數的方式。

到這里，我們其實完成了一次很樸素的“極限過渡”：從雙縫的兩條可能過程出發，逐步把“對離散選項求和”推到“對連續路徑求和”。技術上，它并沒有另起爐灶，仍從最標準的時間演化算符出發；直覺上，它只是把空間想象成被越來越密的“中間位置”填滿，再把這些中間位置的貢獻在極限意義下疊加起來。這樣，路徑積分既保留了量子疊加的核心，也提供了一種把量子動力學寫成“權重求和”的表達方式。

同時也應當看到，“對所有路徑求和”這句話之所以能落地，依賴一套明確的規則：離散化、短時傳播子的近似計算，以及在需要時通過 Wick 旋轉把振蕩權重變成更穩定的 Euclidean 權重。正因為這些步驟把形式主義變成了可操作的計算框架，路徑積分才能自然連接到傳播子、真空振幅 Z，并進一步與統計物理的配分函數結構對應起來。接下來若要繼續深入，關鍵問題就會從“它是什么”轉向“怎么用”：在具體體系里如何選取合適的近似、如何處理相互作用項，以及在場論中如何理解測度、算符排序與重整化等更細的技術環節。

參考文獻：

Zee, A. (2010). Quantum field theory in a nutshell (2nd ed.). Princeton University Press.

來源：集智俱樂部

編輯：77

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