一生窮困潦倒，26歲早亡，他卻讓數學家忙碌上百年

本文是挪威數學家 ?ystein Ore為《科學家傳記辭典》（Dictionary of Scientific Biography）撰寫Abel的傳記條目，他1957年出版的Niels Henrik Abel: Mathematician Extraordinary被公認為是了解阿貝爾的經典之作。這篇傳記條目則是Abel生平的高度濃縮，包括Abel最重要的成就，也用冷靜的筆觸描繪了他貧困、疾患，被法國科學家忽視的經歷。

“Abel 留下的工作，足夠讓數學家們忙碌500年。”

——Charles Hermite

撰文 | ?ystein Ore

翻譯 | 馮緒寧

Niels Henrik Abel（1802-1829）

Niels Henrik Abel 1802年8月5日生于挪威的 Finnoy (Stavanger附近的一個小島)，1829年4月6日死于挪威的 Froland。

Abel 的祖父和父親都是路德派牧師。他的父親 Soren Georg Abel 是一個有才能、有抱負的神學家。受教育于哥本哈根大學——當時丹麥—挪威聯合王國中僅有的一所高等學府。Abel 的母親 Ane Marie Simonson 是南海岸Risor 城一個富商和船主的女兒。Abel 牧師的第一個教區是 Finnoy，這是一個由幾個小島組成的忙忙碌碌的小地方。Abel 夫婦生了七個孩子：六個兒子和一個女兒。Niels Henrik 是他們的第二個孩子。1804年，Soren Geory Abel 作為繼承人接替了他父親在 Gjerstad（在Risor附近）教區的職務。當時挪威的政治局勢很緊張。由于和丹麥的聯盟，挪威不得不站在法國一邊投入拿破侖發動的戰爭。英國封鎖了挪威的海岸，造成了廣泛蔓延的饑荒。Abel 牧師在民族運動中表現杰出。他為了日后的獨立，便致力于建立挪威自己的一些機構，特別是建立一所大學和一個國家銀行。Kiel 和約簽訂之后，丹麥將挪威割讓給瑞典，挪威人對 Bernadotte 領導下的瑞典發起武裝反抗并起草出自己的憲法，但很快就戰敗了，他們不得不接受休戰條約，和瑞典并成聯邦。1814年秋，Abel 的父親成為臨時議會的議員，奉命對新憲法進行必要的修訂。

Abel 和他的弟兄們的啟蒙教育得自于他們的父親。1815年，Abel 和哥哥被送進奧斯陸的 Christiania 教會學校。這是一個老學校，本省很多官員過去都送自己的子女到這個學校，有的人還可以得到獎學金。Christiania 教會學校曾經是個很不錯的學校，但在這時由于不少好的教師都接受了在1813年新成立的大學的聘請而離開了，因此學校顯得蕭條冷落。Abel 離開家時只有十三歲，看來是家道的逐漸變壞促使他更早離開。最初兩年，他的功課還算滿意，但后來成績下降。他哥哥情況更糟，開始顯現出智力缺欠的跡象，最后只好被送回家去。

1817年，學校里發生的一件事改變了 Abel 一生的命運。數學老師虐待一個小學生，在一次殘酷懲罰之后，這個學生很快死了。這個老師立刻被解雇，由 Bernt Michael Holmboe 接任。Holmboe 只比 Abel 大七歲，他也是Christoffer Hansteen 的助教，后者是個天文學教授，大學里的一流科學家。

很快，Holmboe 就發現了 Abel 不尋常的數學才能。起初，他給Abel一些數學題并推薦一些課外參考書。然后，兩人一起學習 Euler 的微積分教科書，后來再一起學習法國數學家特別是 Lagrange 和 Laplace 的著作。Abel的進步十分神速，很快他成了實際上的老師。從奧斯陸大學圖書館中所保留的筆記中人們可以看出，這時的 Abel 已經對代數方程論有濃厚的興趣，在他畢業時，他已經熟悉了大多數重要的數學文獻。Holmboe 對自己所發現的數學天才是這樣喜愛，以至于學校的校長讓他克制一下在成績簿中關于 Abel 的評價。然而大學的教授們已經由 Holmboe 處了解了這個有前途的少年并且結識了他。在大學中，Hansteen 也教應用數學。除了他以外，只有一個數學教授 Soren Rasmussen，他原來是教會學校的老師。這是一個好人，但不是多產的學者，因為他的大部分時間都被由政府派給他的事務所占據，特別是挪威新銀行經理這一職務花去了他很多時間。

Abel 在學校最后一年時間里，以初生牛犢不怕虎的姿態猛攻著五次方程的根式解的問題。這個問題從十六世紀前半葉，del Ferro，Tartaglia，Cardano及 Ferrari 等人的時代以來一直很著名。Abel 自信他已經找到了方程解的形式，但在挪威沒人能懂得他的證明過程，也沒有一個科學刊物可以出版它。Hansteen 把這文章寄給丹麥數學家 Ferdinand Degen，請求他是否可由丹麥科學院出版。

Degen 沒有發現文章中的任何錯誤，但要求Abel用例子解釋他的方法。Degen 覺得在這個題目上可做的文章不多，建議Abel將注意力轉到另一個題目：“我主張搞橢圓函數，它的發展將對分析及力學有重大影響。有適當資格搞這類研究的人絕不僅僅局限于這種最值得注意的函數的美妙的性質，而是能夠發現一個通向廣大無垠的分析海洋中的麥哲倫海峽”（給 Hansteen 的信）。

Abel 開始構造一個五次方程解的例子，但結果，他狼狽地發現自己的方法是錯誤的。另一方面，他接受了 Degen 關于搞橢圓函數的建議，大概在不多幾年內他就基本完成了他關于橢圓函數的理論。

Abel 牧師在1816年曾經歷了一次失敗的競選，但1818年他又重被選入了議會。然而，他的政治生涯結束得很悲慘。由于他對其他代表進行了激烈而又無根據的指控，從而受到彈劾的威脅。這些，再加上酗酒，使他成為報界嘲笑的對象。他帶著恥辱回家，夢想都破滅了。他和妻子又都酗酒，作為自己所在教區的牧師來說，這又是一件丑聞。因此人們普遍認為他在1820年的死去是一個解脫。他的遺孀被留在十分窘迫的狀況里，一筆微薄的年金無法維持她及其眾多子女的生計。

分文不名的 Abel 在1821年秋進入了大學。他在學校宿舍得到一間免費的房間，并獲準讓他的弟弟Peder與他同住。這所新大學沒有獎學金，一些教授用自己的薪金支持這個年輕的數學家，這是很不平常的舉動。Abel 成了這些教授家的座上客，特別為 Hansteen 的家及他的妻子和妻妹所吸引。

Abel 在大學的第一個任務是達到最初等的學位，一年后這個任務一完成，他就全靠自己來學習了。這里沒有高等數學和物理課程，然而看來這也并非是壞事。稍后些，在一封從巴黎的來信中，Abel 說他實際上已經讀了數學中的所有東西：重要的和不重要的。

Abel 把自己的時間都用來搞進一步的研究。這時 Hansteen 開始出版一個刊物：Magazin for Naturvidenskaben，這又給了 Abel 以強大的動力。1823年，這個刊物出版了Abel第一篇用挪威語寫的關于函數方程研究的論文。這篇論文及下一篇短文，在數學上不是太重要。那時，讀者們被允許公開評論他們的雜志。大概在遭到一些非議之后，Hansteen 感到有必要為 Abel 的文章的性質作些講解：“我相信《雜志》除了提供科學索材之外還應該進一步提供用于分析這些素材的工具，現在我們已經給博學的公眾一個機會去認識一個有才能、有技巧的作者的著作，這將被認為是我們的光榮。”

Abel 的下一篇文章在數學史上很重要，它的題目是《用定積分解某些問題》，這是第一次解積分方程，文章討論的是質點在重力作用下在一個曲線上運動的力學問題。此文在當時未引起人們的注意，部分原因大概是因為它是用挪成文寫的。在1822一1823年的冬季，Abel 還寫了一篇關于函數表達式的積分的長篇論文。這篇文章被提交給大學委員會，希望它能支持文章發表，現在手稿已經找不到了，但看來可能其中的某些結果包括在Abel后來的一些文章中。1823年初夏，Abel 從 Rasmussen 教授那兒得到一筆資助，用作旅費到哥本哈根去會見 Degen 及其他數學家。他從哥本哈根寫信給 Holmboe，告訴他自己得到的數學上的啟示，他住在他叔叔家，并在這兒結識了 Christine Kemp，他的未婚妻。

從返回奧斯陸的歸途開始，Abel 重新考慮起五次方程解的問題。這次他采取了相反的觀點，并取得了成功。他證明了一般的五次以上的代數方程不可能有根式表達式的解，從而解決了幾個世紀以來的老問題。Abel 深知他的結果之重要，決定自己出經費，由一個地方出版商出版它。為了有更多的讀者，他用法語寫這篇文章，題為“Memoire sur les equations algebriques ou on demontre I'impossibilitede la resolution de 1'equation generale du cinquieme degre”。為了節省開支，這個小冊子被壓縮到六頁。敘述之簡化，大概使它變得十分難懂。總而言之，從任何一位外國數學家那兒都沒有得到反應，包括偉大的 Gauss一一Abel 也寄了一份給他。很清楚，Abel 不能再靠教授們養活他。他的經濟困難由于和 Christine Kemp 訂婚而變得更嚴重。眼下 Christine 已經到了挪威，在奧斯陸附近做家庭教師。Abel想申請經費出國。在經過一段拖延后，政府決定 Abel 可以得到一筆小小的薪金，在大學里學習兩年語言，以備出國旅行。這樣，Abel 得到了600臺拉（Daler）。

Abel 對于出國被延期感到很掃興，但他還是很守本分地學習外語，尤其是法語。同時在這段時間他寫了數量可觀的一批論文，打算給外國數學家看。1825年夏，他和四個朋友一起離開挪成。這四個人也是打算將來從事科學事業的，后來一個成了醫學教授，另外三個是地質學家。這幾個人都打算去柏林，而按照 Hansteen 的勸告，Abel 這段時間應該去巴黎——當時的世界數學中心。但Abel不愿意孤單一人，便也決定去柏林，盡管他十分了解這可能會引起他的保護人的不快。

其實，Abel決定去柏林是很幸運的。在途經哥本哈根時，Abel 聽說 Degen 已經去世了，但 Abel 從另一個丹麥數學家那兒得到一封推薦信，將他介紹給德國樞密顧問官 August Leopold Crelle。此人是一個很有影響的工程師，自己雖不是個很強的數學家，但對數學有濃厚的興趣。

當第一次被引見給Crelle時，Abel沒有馬上被他理解。但過了不久，Crelle看出了他的年輕客人的非凡能力。兩個人后來成了終身的朋友。Abel將自己關于五次方程的小冊子拿給 Crelle 看，Crelle 坦白地承認這對他來說是很難懂的，他建議 Abel 把這篇文章寫詳細點。他們還談到德國數學的可憐狀況，Abel 在1825年12月5日從林寫給 Hansteen 的信中說：

“當我對德國不像法國那樣有數學刊物這件事表示驚訝時，他說他很長時期以來就想編輯一個期刊，很快他就要將這個計劃付諸實施。現在這個雜志已在創辦，我非常高興，因為我將有一個地方能出版我的文章。我已經準備了四篇文章，它們將發表在第一期上。”

Journal fir die reine wnd angewandte Mathematik, 或按一般人所說的 Crelle 的雜志，是十九世紀最有影響的德國數學刊物。它的第一卷全登的是 Abel 的文章，共七篇。以后各卷又登了更多的，其中絕大多數都在數學史上占有突出的重要地位，其中首屈一指的是關于一般五次方程根式解的不可能性的詳述文章。在這兒，Abel 發展了包括代數域的擴張等必要的代數基礎。此時，Abel 并不知道他有一個先驅一一意大利數學家 Paolo Ruffini。在一篇 Abel 死后才出版的關于方程的根式可解性的文章中，他說，“如果我沒弄錯的話，在我之前，只有一個人，他試圖證明一般方程的代數解（根式解）的不可能性，這就是數學家 Ruffini。但是他的文章復雜得使人們難以判定他的推理是否正確，我想這是不能令人太滿意的。”通常這個結果被引用時叫作Abel—Ruffini 定理。

在 Abel 離開挪威后發生的一件事引起他很大注意，Rasmussen 感到他的公共事務加上數學教授職位使他負擔過重，就辭去了教授職務。之后不久，教員們推選出了 Holmboe 填補這個空缺，Abel 的幾個挪威朋友認為這個行動極不公正，Abel 自己大概也有同感。雖然如此，他還是寫了一封熱烈祝賀的信給他以前的老師，而且他們一直是好朋友。但顯然 Abel 從這時起就為他的前途和他未來的婚姻而憂慮，他感到在他的祖國里科學是沒有地位的。

在柏林的整個冬季，Abel 都在給 Crelle 的雜志寫稿。其中值得注意的文章有關于二項式的推廣和平方根表達式的積分等，但在數學上 Abel 最關心的東西之一是當時的數學缺乏嚴密性，在給 Holmboe 的信中，他屢次提到這點，1826年1月16日他寫道：

“我非常驚訝地看到下列事實，如果除開最簡單的情況，那么在全部數學中沒有一個無窮級數它的和是被嚴格定義的。換句話說，數學中最重要的部分是沒有根基的。誠然，微積分學的大部分是正確的，而這正是令人驚訝的地方，我要努力找出這個道理，這是一個十分有趣的題目。”

這個努力的結果是關于冪級數的經典論文，其中包括了很多一般定理，作為一個應用，Abel 寫了對任意實或復指數的二項式級數和的嚴格定義。

1826年早春，Abel 覺得還必須到他原來的目的地——巴黎去。Crelle 原來答應陪他去，并且一起繞道 Gottingen 去拜訪 Gauss，但不幸，公務的壓力使Crelle無法離開柏林。與此同時，Abel 的挪威朋友正在計劃一個通過中歐的地質旅行，Abel 還是因為不愿意離開他們，便參加了這次旅行。他們坐著馬車經過了波希米亞、奧地利、意大利北部及阿爾卑斯山。一直到7月，Abel才到達巴黎，這時他已被這昂貴的旅行搞得所剩無幾了。到巴黎的訪問是令人失望的，Abel 到達時，學校的假期剛開始，數學家都離開了城市。當他們回來時，Abel 覺得他們避開他，很難接近。他僅僅在路上遇見過 Legendre。在年邁之時，Legendre 的主要興趣是橢圓積分，這也正是 Abel 的專長。Abel 保留了一篇他認為是自己的杰作的文章提交給法國科學院。這篇文章是討論一個給定的代數函數積分的和，Abel 定理說對任何一個這種和，存在一個固定數，使得該和可以用這類積分表達出來，其中積分變量是原來積分變量的代數函數，最小的數是原給定的代數函數的虧格，這是虧格這個概念第一次出現，Abel 的定理是橢圓積分的歐拉公式的極大推廣。

Abel 在巴黎的頭幾個月用來完成這篇大論文，這是他最長的文章之一，包括一個廣泛的定理及其應用，文章于1826年10月30日交給法國科學院，題是“一類極為廣泛的超越函數的一個一般性質”。Cauchy 和 Legendre 是指定的審稿人，Cauchy 是主席。當時有不少年輕人一旦其論文被科學院接受就很快出名，Abel 等待著審稿人的報告，但一直沒有音訊。事實上，這篇論文直到Abel 死后才不得不出版。看來當時 Cauchy 受到了責備，他后來還說這手稿太難讀。

Abel 在巴黎后兩個月的生活是慘淡的，沒有錢也沒有很多熟人。他曾遇到 P. G. L. Dirichlet，后者比他小三歲，但由于一篇經 Legendre 推薦到法國科學院的文章后已經是著名數學家了。另一個相識者是 Frederie Saigty，是科學評論 Fellusac’s Bulletin 的編輯，Abel 寫了不多幾篇文章給他，主要講自己在 Crelle 的雜志上發表的論文。圣誕節后，他花光了最后一點積蓄到了柏林。

回到柏林不久，Abel 病了。這是他的肺結核病的第一次發作，后來 Abel 就死于結核病。他向 Holmboe 借了些錢，大概 Crelle 也幫助了他。Abel 很想回到挪威去，但他又覺得必須在外國住滿獎學金的期限，Crelle 想留他住在柏林，直到他能在一所德國大學為 Abel 謀個位置。他還讓 Abel 擔任他的期刊的編輯。Abel 又在刻苦工作，寫一篇新的文章 《關于橢圓函數的研究》，這是他最長的文章 (在《論文全集》中占了125頁)。在這篇著作中，他借助于橢圓函數的反函數把圓積分理論根本上歸結為橢圓函數的理論，在最基本的情形下，這相應于對偶性:

于是，橢圓函數就成為三角函數的廣泛和自然的推廣。在Abel 的工作啟示下，橢圓函數就構成了十九世紀數學中最好的研究課題之一。Abel 在奧斯陸當學生時就發展了這個理論的大部分，所以能夠用十分豐富的內容解釋橢圓函數的理論，如雙周期性、無窮級數和無窮乘積的展開、加法定理等。這個理論導致將變量倍數的函數用相應定出的分式變量方程來表示。而這個方程有根式解，這十分類似高斯對分圓方程的處理方法。Abel 在1826年12月從巴黎及1827年3月4日從柏林寫給 Holmboe 的信中表示，他特別熱衷于確定用圓規和直尺將雙紐線二等分的條件的問題，這和高斯構造正多邊形相類似。文章的最后一部分討論了所謂復乘理論，這后來在代數數論中是十分重要的。

1827年6月20日 Abel 回到奧斯陸，發現在他的家鄉，條件正如他所擔心的那樣差。他沒有找到職位的希望，沒有獎學金，有的只是大量的債務。他申請延長獎學金的期限，被財政部拒絕。學校為了使他不致極端貧困，鼓足勇氣給他一份很少的薪金。為此，財政部批評了學校，并且保留從Abel將來可能得到的薪金中扣除這些錢的權力。Abel 的未婚妻在他們朋友家那里找了個新工作，這個朋友是在 Froland 的一個鐵工廠的廠主。整個秋季，Abel 在奧斯陸靠做家庭教師以及朋友的接濟來彌補生計。新年時，情況變得好些，地磁學研究的開拓者 Hansteen 得到一大筆資金，用于對未開發的西伯利亞進行為期兩年的地磁場考察。在此期間，將由 Abel 代替他在大學和挪威軍事科學院的職務。

“Recherches”的第一部分于1827年9月登在 Crelle 雜志上。冬天時，Abel完成了第二部分。他在奧斯陸與世隔絕地過活，一冬天沒有任何郵件。他一點也不知道，歐洲的數學家已對他的研究報告產生了興趣。他同樣也不知道，在橢圓函數領域的一個競爭者已經出現。直到1828年初，Hansteen 給他看9月份的《天文報告》，那上面有一個年輕的德國數學家 K. G. J. Jacobi，不加證明地宣稱了關于橢圓函數變換理論的某些結果。Abel 趕緊在他的“Recherches”的第二部分的手稿上加了一個注記，說明如何將Jacobi的結果當作他自己的推論。

Abel 敏銳地覺察到一場競賽就在眼前。他趕快停下正在寫的一篇關于方程理論的長文章——這篇文章討論方程的根式可解性的判定，已經出版的部分包括了目前稱之為 Abel 方程的理論。Abel 以極快的速度寫下了一系列關于橢圓函數的文章，第一篇文章“Solution d'un probleme general concernant la transformation desfonctions elliptigues”是直接回應 Jacobi 的, 也登在 《天文報告》上。另一篇登在Crelle雜志。此外，Abel 還寫了像書一樣長的論文“Precisd'une theorie des fonctions elliptiques”，在他死后這篇著作才得以出版。而站在另一方的 Jacobi 只寫了一篇簡短的注記，但沒有透露他所用的方法，這些方法包括在1829年出版的他的書中（Fundamenta nova theoriae functionum ellipticaram）。

關于橢圓函數早期理論的很多東西都已寫出，看來沒有多大疑問。Abel 的想法比 Jacobi 早出現幾年。另一方面，同樣確鑿的事實是，Gauss 雖然沒有出版什么東西，但是他在 Abel 和 Jacobi 之前很久就發現了橢圓函數的原理。

歐洲的數學家們著迷般注視著這兩個年輕數學家的競賽。Legendre 注意到Jacobi 宣稱的結果，也收到他的來信。1827年11月在法國科學院的一次會議上，他贊揚了這顆數學新星。報紙上刊載了這篇講話，Legendre 將報紙剪下來寄給了 Jacobi。Jocobi 在回信中向他表示了感謝，之后指出 Abel的“Recherches”和他的結果。Legendre 回答說：“通過這些工作，你們兩人都將躋身于當代第一流分析學家之列。”他同時也對 Jacobi 沒有發表他的方法表示失望。當 Jacobi 承認為了推導他的某些結果他必須借助于 Abel 的文章時，Legendre 有點氣惱。與此同時，Abel 也開始和 Legendre 通信，把自己的想法傾吐給他。

歐洲數學家們所知的關于 Abel 在挪威的情況是，他僅僅有一個臨時性職位，而不得不靠做家庭教師來維生。這些消息的主要來源是 Crelle。他一直試圖利用自己的影響為Abel在柏林一個新辦的科學研究所謀個職位，但是進展很慢。1828年9月，四名重要的法國科學院的院士，采取了非常步驟。他們一直上書向 Bernadotte——當時的挪威—瑞典國王查理十四請愿，提請他注意 Abel，極力主張為他創造一個適宜的科學研究位置。在1829年2月25日科學院會議上，Legendre 也對 Abel 及其工作，特別是關于方程理論的結果加以稱贊。

在這期間，Abel 不顧健康情況的惡化，廢寢忘食地寫著幾篇新文章。1828年他和未婚妻一起在 Froland 過了暑假。圣誕節時，Abel 又不顧在嚴寒中旅行幾天的困難，堅持要去看她。在到達時，Abel 發著高燒，但還很有興致地參加了家庭圣誕慶祝。Abel已經預感到自己時日不多了，他眼下最擔心的是提交給法國科學院的論文以后會遺失。因此他寫了一個短文 “Demonstration d’une propriete generaled une certaine classe de fonctions transcendantes”，其中他給出一個主要定理的證明，1829年1月6日他將它寄給了 Crelle。

在等待回奧斯陸的雪橇時，Abel突然大量嘔血。醫生診斷他是肺結核，要他長期臥床休息。4月份，他死了，時年26歲。在大風雪中，他被埋葬在Froland教堂旁邊。墓上豎著朋友們給他立的紀念碑。Baltazar Keilhau 寫信Christine Kemp，向她求婚 (雖然他還未見過她)，她答應了。在 Abel 死了兩天后，Crelle 很高興地寫信通知他在柏林的職位已經謀到了。

1830年6月28日，法國科學院把它的大獎授予 Abel 和 Jacobi，表彰他們杰出的數學發現。經過在巴黎全面地尋找，Abel 的偉大的著作終于找到了。在1841年 Abel 提交它的十五年之后，它才得以出版。在印刷過程中它又不見了，直到1952年才在 Florence 被發現。

Crelle 在他的雜志上，為 Abel 寫了篇很長的悼詞：

“Abel的全部著作鐫刻著無比的創造天才和非凡的、有時是驚人的思維力量。如果考慮到這位作者的年齡，則更是令人驚嘆不已了。我們看到，他能夠以一種不可抵抗的力量，透過一切障礙，向下深入到問題的本質上，以不可想象的能量向它進攻；又能夠從上面來考慮問題，高高地翱翔于問題的目前狀態之上，所有的困難在這個天才的無敵的攻擊之下，都化為烏有。.....然而，Abel 贏得人們的尊敬和無限懷念，不僅是因為他的偉大的才能，而且由于他純潔的品質和高尚的心靈，以及少有的謙虛。這些非凡的品德，使得他作為一個人來說，也像他的天才一樣，被人們所珍愛。”

本文轉自數學縱貫線公眾號，原標題“Abel傳”，原載《數學譯林》1982年第1期；

原文可參見：

https://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/mathematics-biographies/niels-henrik-abel?

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