上海
High-Dimensional Probability
高維概率
https://www.math.uci.edu/~rvershyn/papers/HDP-book/HDP-2.pdf
注記
本節我們舉例說明概率方法，即利用隨機性構造有用對象。書籍 [17] 主要從組合數學角度提供了該方法的諸多示例。
B. Maurey 在本節介紹的經驗方法最初發表于 [271]，此后已發現許多應用。B. Carl 曾用它推導覆蓋數的界 [76]，正如我們在推論 0.0.3 中所做的那樣。
近似 Caratheodory 定理（定理 0.0.2）的一個較弱版本——不要求凸組合的所有權重相等——仍非平凡。它可不借助概率證明，而改用 Frank-Wolfe 算法的一種版本——一種確定性的、迭代的貪心算法，參見 [43, 引理 2.6]。
與 Caratheodory 定理類似，組合幾何中若干其他結果可通過允許其為近似而非精確的形式，實現維度無關化 [10]。
定理 0.0.4 及其在習題 0.9 中的加強版最初由 B. Carl 和 A. Pajor [77] 證明。N. Dafnis、A. Giannopoulos 和 A. Tsolomitis [90] 通過考慮隨機多面體，表明習題 0.9 中的界在整個有趣范圍 n ≤ N ≤ e n
內是最優的。
注記
本節我們舉例說明概率方法，即利用隨機性構造有用對象。書籍 [17] 主要從組合數學角度提供了該方法的諸多示例。
B. Maurey 在本節介紹的經驗方法最初發表于 [271]，此后已發現許多應用。B. Carl 曾用它推導覆蓋數的界 [76]，正如我們在推論 0.0.3 中所做的那樣。
近似 Caratheodory 定理（定理 0.0.2）的一個較弱版本——不要求凸組合的所有權重相等——仍非平凡。它可不借助概率證明，而改用 Frank-Wolfe 算法的一種版本——一種確定性的、迭代的貪心算法，參見 [43, 引理 2.6]。
與 Caratheodory 定理類似，組合幾何中若干其他結果可通過允許其為近似而非精確的形式，實現維度無關化 [10]。
定理 0.0.4 及其在習題 0.9 中的加強版最初由 B. Carl 和 A. Pajor [77] 證明。N. Dafnis、A. Giannopoulos 和 A. Tsolomitis [90] 通過考慮隨機多面體，表明習題 0.9 中的界在整個有趣范圍 n ≤ N ≤ e n
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原文鏈接：https://www.math.uci.edu/~rvershyn/papers/HDP-book/HDP-2.pdf
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