破解“熱點猜想”關鍵難題！華南理工成果再登世界四大頂尖數學期刊！

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華南理工大學數學學院姚若飛副教授

與西安交通大學陳紅斌教授

澳門大學桂長峰教授合作的論文

Uniqueness of critical points of the second Neumann eigenfunctions on triangles

被世界四大頂尖數學期刊之一的

Inventiones Mathematicae

（《數學新進展》）在線發表

論文截圖

這也是自2025年以來

數學學院教師高水平成果

第二次被四大頂刊接受發表

凸顯了學校和學院

在基礎研究領域的持續突破與深厚潛力

系統攻堅：解開三角形上的關鍵謎題

這項研究源于一個已有 50 年歷史、既經典又帶著“生活溫度”的數學猜想——“熱點猜想”。

想象一個絕熱的房間（墻壁既不吸熱也不放熱），若在某處短暫加熱，熱量便會從高溫向低溫擴散。隨時間推移，溫度逐漸趨于一致；但只要系統尚未完全均勻，房間內就仍會存在“最熱點”與“最冷點”。直覺上，人們傾向于認為：在時間足夠長但尚未達到平衡時，這些極熱或極冷點更可能出現在墻面邊緣，而非房間內部——這正是美國數學家 Rauch 于 1974 年提出的“熱點猜想”。

從數學視角看，溫度演化滿足帶有絕熱（Neumann）邊界條件的熱方程。在時間足夠長的情形下，溫度分布主要由“衰減最慢的首個非平凡模式”主導，即拉普拉斯算子的第二Neumann特征函數（第一特征函數為常數，對應完全均溫狀態）。

因此，在數學家的眼里，熱點猜想可等價表述為：對于平面上的凸區域，拉普拉斯算子的第二 Neumann 特征函數的最大值與最小值只能在區域邊界處取得。

半個多世紀以來，熱點猜想持續吸引著國際數學界的廣泛關注。菲爾茲獎得主 Wendelin Werner、陶哲軒，以及美國藝術與科學院院士、麻省理工學院 David Jerison 教授等多位頂尖學者，圍繞不同幾何區域和特殊情形取得了一系列重要進展。然而，作為最基本的凸多邊形之一，平面三角形雖結構簡明，其特征函數的精細行為分析卻長期被認為極具挑戰：它既是熱點猜想研究中的關鍵難點，也是檢驗相關理論與方法的重要基礎模型。

該論文聚焦三角形情形，開展了系統而深入的分析：不僅解決了菲爾茲獎得主陶哲軒于 2012 年在 Polymath Project 7 中提出的“最值精確位置”公開問題，還推進并完善了 Annals of Mathematics（2020）相關文章中提出的關于臨界點的公開問題及其主要結論（該文后續修訂指出原定理證明不完整），并對 David Jerison 教授提出的特征函數單調性問題給出了解答。此外，研究還就特征函數節點線位置、混合邊值問題的特征值不等式等若干公開問題給出了進一步解答。

在三角形這一基礎幾何模型中，作者們圍繞第二 Neumann 特征函數的一系列關鍵結構問題給出了系統且嚴格的結論；相關方法與結果可為譜幾何、偏微分方程及相關方向的后續研究提供參考。

厚積薄發：十余年磨一劍的學術旅程

一項重要成果的背后，往往是漫長而扎實的積累。姚若飛自博士階段初次接觸這一難題起，至論文最終發表，前后跨越約13年；而真正進入集中攻關、反復打磨并完成投稿錄用，則經歷了五年的深度投入。這段歷程并非一帆風順：中途有過停滯與焦慮，但團隊始終在一次次推演與修正中把問題向前推進。

在關鍵技術路線上，研究曾嘗試以復分析思路切入，但進展受阻。隨后，研究在團隊成員桂長峰教授 2018 年發表于 Inventiones Mathematicae 的相關工作啟發下，采用“直接證明對稱性”的思路推進，局面由此逐步打開。與此同時，在持續的文獻梳理中，團隊還從一篇 2016 年的論文里注意到一個與特征值不等式相關的公開問題；對該問題的解決，恰好補齊了剛性論證中的最后一塊關鍵拼圖。

團隊成員還分享了一個細節：關鍵證明的突破并非偶然，而是在一次需要長時間保持專注的間隙里，經由反復推演逐步貫通的——“當時我們就在腦海里一遍遍把思路過一遍，忽然將幾個看似不相關的知識點串聯起來，關鍵的證明路徑也隨之清晰浮現。”而這種“豁然開朗”，背后離不開前期大量文獻的系統整理，以及團隊長期的交流討論與持續打磨。

論文的發表過程亦充滿挑戰。文章歷經三次修改，審稿人的意見極為嚴苛，甚至要求仔細對比并論述與俄羅斯學者前期工作的具體差異。“頂級期刊的審稿非常嚴格，要求文章幾乎完美無瑕。這個過程雖然痛苦，卻極大提升了研究的嚴謹性與完整性。”姚若飛感慨。這段艱辛而充實的學術旅程，最終凝結為一項扎實而深刻的數學貢獻。

學校、學院關心青年教師成長，為其創造優質且寬松的學術研究環境，也是姚若飛此次科研攻關成功的因素之一。長期以來，數學學院支持青年教師進行國內外學術交流與合作，常態化邀請知名學者指導青年教師開展科學研究、教育教學、項目申報等工作，助其迅速成長為學院學科骨干。

國際數學界公認的四大頂刊為Acta Mathematica（《數學學報》）、Annals of Mathematics（《數學年刊》）、Inventiones Mathematicae（《數學新進展》）、Journal of the American Mathematical Society（《美國數學會雜志》）。

其中

Inventiones Mathematicae

（《數學新進展》）創刊于 1966 年

被認為是全球最負盛名的數學期刊之一

自創刊以來

以在國際純數學領域的頂尖影響力著稱

同時

以極其嚴格的審稿標準

與對原創性和突破性的高要求聞名

論文錄用率長期處于較低水平

通常僅接收具有重要理論創新

與實質性推進的研究成果

人|物|簡|介

姚若飛

姚若飛，西安交通大學博士，中南大學博士后，2020年12 月入職華南理工大學，被聘為準聘副教授。研究方向為偏微分方程理論及其應用。相關論文在Inventiones Mathematicae、Mathematische Annalen、SIAM Journal on Mathematical Analysis、Calculus of Variations and Partial Differential Equations、Journal of Differential Equations等期刊發表。

論文鏈接

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-025-01398-x

黨委宣傳部（融媒體中心）

信息來源：數學學院

采寫：李一粲 王榮鑫

微信編輯：鮑恩

初審：鮑恩

復審：盧慶雷

終審：夏正林

華工原創，版權所有

若需轉載，敬請聯絡

郵箱：hgxcb@scut.edu.cn

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