【小樂數學科普薦書】數學科普名家伊恩·斯圖爾特力作《數學巨人傳》——圖靈教育

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本期zzllrr小樂推薦適合廣大數學愛好者（也適合送給孩子）的一本新書《數學巨人傳——思考、創造的奇趣故事》

Significant Figures: The Lives and Work of Great Mathematicians

1阿基米德（公元前287年—公元前212年）：

別碰我的圓

Archimedes

2劉徽（約225年—約295年）：

得道之人

Liu Hui

3花拉子米（ 約780年—約850年）：

誠如大師所言

Mu?ammad ibn Mūsā al-Khwārizmī

4瑪大瓦（約1340年—約1425年）：

無限創新者

Madhava of Sangamagrama

5卡爾達諾（卡丹，1501—1576）：

好賭的占星師

Gerolamo Cardano

6費馬（1601—1665）：

最后的定理

Pierre de Fermat

7牛頓（1643—1727）：

宇宙的體系

Isaac Newton

8歐拉（1707—1783）：

大師中的大師

Leonhard Euler

9傅里葉（1768—1830）：

熱的掌控者

Joseph Fourier

10高斯（1777—1855）：

看不見的腳手架

Johann Carl Friedrich Gauss

11羅巴切夫斯基（1792—1856）：

改變規則

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

12伽羅瓦（1811—1832）：

熱血革命者

évariste Galois

13埃達·金（埃達·洛夫萊斯，1815—1852）：

數之魔女

Augusta Ada King, Countess of Lovelace, Ada Lovelace

14布爾（1815—1864）：

思考的章法

George Boole

15黎曼（1826—1866）：

質數音樂家

Georg Friedrich Bernhard Riemann

16康托爾（1845—1918）：

探索無窮

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

17索菲亞·柯瓦列夫斯卡婭（1850—1891）：

第一奇女子

Sofya Vasilyevna Kovalevskaya

18龐加萊（1854—1912）：

靈感涌現

Jules Henri Poincaré

19希爾伯特（1862—1943）：

我們必須知道，我們終將知道

David Hilbert

20艾米·諾特（1882—1935）：

顛覆傳統

Amalie Emmy Noether

21拉馬努金（1887—1920）：

公式奇人

Srinivasa Ramanujan Iyengar

22哥德爾（1906—1978）：

不完備與不確定

Kurt Friedrich G?del

23圖靈（1912—1954）：

當機器停止

Alan Mathison Turing

24芒德布羅（曼德爾布羅，1924—2010）：

分形之父

Benoit Mandelbrot

25威廉·瑟斯頓（1946—2012）：

大翻轉

William Paul Thurston

以上圖源Mathigon，以下正文選摘：

來源 | 《數學巨人傳 : 思考、創造的奇趣故事》

作者 | [英] 伊恩·斯圖爾特（Ian Stewart）

譯者 | 張憬

文摘 | 數學家們

我們這些故事的主人公都是具有開創性發現、為數學打開新視野的數學家。從這些巨人身上，我們能總結出什么呢？

最明顯的一點是，數學家是一個豐富多彩的群體。數學開拓者們來自各個歷史時期，有各不相同的文化背景和階層。我為這本書選取的故事跨越了 2500 年。

我們的主人公們生活在古希臘、古埃及、中國、波斯、古印度、意大利、法國、瑞士、德國、俄國、英國、愛爾蘭和美國。有些人像費馬、埃達·金、柯瓦列夫斯卡婭一樣天生富足，有些人家境不上不下，有些人像高斯和拉馬努金一樣起點貧寒。

有些人像卡爾達諾和芒德布羅一樣出身書香門第；有些人像高斯、拉馬努金、牛頓和布爾一樣，是家中罕見的職業學者。歐拉、傅里葉、伽羅瓦、柯瓦列夫斯卡婭、哥德爾和圖靈生活在動蕩年代；瑪大瓦、費馬、牛頓和瑟斯頓則較為幸運地處在比較安穩的社會中，或者應該說，至少他們棲身的環境是比較穩定的。

有些人如傅里葉、伽羅瓦和柯瓦列夫斯卡婭，積極參與政治，前兩位還曾因此入獄；歐拉和高斯等人則更想明哲保身。

這里即便存在規律，也只在一定的范圍內起作用。書中許多人成長于知識分子家庭。有些人很懂音樂，有些人動手能力很強，有些人則連自行車都不會修。

許多人幼年早慧，在很小的時候就表現出非同尋常的天賦，稀松平常的巧合，比如臥室墻紙上的字、一次偶然的談話、一本借來的書，都會引發他們對數學的興趣，進而改變他們的人生。許多人一開始試圖從事其他職業，做律政和神職工作的偏多。

有些人的父母為他們驕傲并鼓勵他們繼續研究，有些人曾被禁止學習數學，有些人為了追求理想要先突破阻礙、獲得許可。

有人性格古怪，有人行事無賴，有人瘋瘋癲癲。大多數人十分正常，和我們普通人一樣。大多數人組建了自己的小家庭，但也有牛頓、諾特這樣終身未婚的。

書中提到的數學家大多數是男性，這背后隱藏著偏見。直到近些年，還有不少人認為女性在生理和心理上不適合學習數學，也不適合學習任何理科。

從前的觀念認為，女性真正應該研修的是家務技能：與其弄懂微積分，不如用好毛線針。偏見盛行的社會又反過來強化偏見，就連女性自己也常常和男性一樣，表示她們不適合追求數學理想。

曾經有一段時期，即使女性想要學習數學，她們也會被攔在教室和考場門外，被禁止修得學位、進入學術界。我們的女性開拓者們同時開辟了兩條道路：一條穿越的是數學叢林，另一條穿越的是男性主導的社會叢林。第二條路讓第一條路變得更加艱辛。即便有人教學，有書可看，有時間思考，在數學上獲得突破也是艱難的。

如果上述條件還要通過斗爭才能獲得，那就是難上加難。盡管存在這些障礙，依然有一些偉大的女數學家打破束縛，為后人開辟了先例。時至今日，頂尖的女數學家和女科學家總的來說依然不多，但社會恐怕要讓一部分男性精英失望了，我們不再將這種現象簡單歸咎于女性自身的能力和心態。沒有任何證據支持這種偏見。

人們很喜歡為不尋常的數學天賦尋找神經學上的解釋。早年顱相學盛行的時候，弗朗茨·加爾（Franz Gall）提出，某些重要的能力與大腦的某個特定區域有關，可以通過測量頭骨的形狀來評估。如果你擅長數學，你的頭部就會有一個“數學凸”。

現在我們已經知道了，顱相學是一種偽科學，不過大腦的特定區域有時確實發揮著特定的作用。如今，遺傳學和 DNA 正流行，人們自然想知道是否存在“數學基因”。然而，人類思考數學只有幾千年的歷史，這樣的時間跨度應該還不足以讓生物機制完成篩選，就好比駕駛戰斗機的能力不會是自然演化出來的。

也許數學能力源自某些有利于生存的特點，比如敏銳的視覺、持久的記憶力、在樹木間攀爬跳躍時用到的技巧。有時數學天賦似乎源自家族遺傳，伯努利家就是個例子，但這類情形不占多數。

而且，家庭影響的關鍵往往不是血脈，而是教養環境，比如家里有一位熱愛數學的叔叔，臥室里貼著數學墻紙。就連遺傳學家也逐漸意識到了，DNA 并不能決定一切。

先驅數學家確實有一些共同點。他們富有創造力和想象力，敢于打破固有觀念。他們尋求規律，樂于解決棘手的問題。他們密切關注邏輯要點，但也會沉溺于創造性的邏輯跳躍，即使暫時得不到支持，他們也堅信某些觀點值得積極捍衛。

他們有很強的專注力，但正如龐加萊認為的那樣，過度沉迷于研究會讓人一遍遍走入死胡同。他們需要給自己的潛意識留出思考和整理的時間。他們往往記憶力超群，但也有一些人和希爾伯特一樣，并不擅長背誦東西。

他們可以是高斯和歐拉那樣的速算天才。歐拉給兩位數學家做過一次“裁判”，他們爭論的焦點是一個復雜級數求和的小數點后第50位，最終，歐拉在頭腦中完成了計算。他們也可以是缺乏相關能力、在計算上不占明顯優勢的人（多數速算天才并不具備比做算術更高級的能力，不過高斯是個例外）。他們擅長大量吸收前人的研究，提煉其中的精華并完成內化；但他們也可以完全忽略傳統的探索路徑。

齊曼就曾說過，在開始研究一個問題之前閱讀文獻是錯誤的，因為這樣做會讓你的思維陷入與其他人相同的窠臼。拓撲學家斯梅爾在職業生涯的早期解決了一個在別人眼中相當可怕的問題，恰恰是因為沒有人告訴他這個問題很難。

幾乎所有數學家都有強烈的直覺，可能是形式上的，可能是視覺上的。這里的視覺指的是頭腦中思考圖形、圖像的區域，而不是眼神——歐拉失明后工作效率不降反升。

在《數學領域中的發明心理學》

Psychology of Invention in the Mathematical Field

舉例來說，想到歐幾里得關于質數有無窮多個的證明，阿達馬的頭腦中浮現的不是代數公式，而是這樣一幅圖：已知的質數就像一堆亂糟糟的點，新的質數則遠在它們之外。模糊的隱喻圖像很常見，歐氏幾何那樣明確的圖形倒是不多。

這種激發可視（可感觸）圖像的傾向早在花拉子米的《代數學》中就已有所顯露，原書名中出現了本意為“平衡”的詞語。現在的數學老師也經常使用圖像思路教學。等式的兩邊被看作放置在天平兩個托盤中的物體總和，必須保持平衡。對等號兩側進行的操作要符合代數規則，將平衡維持下去。

最終，一個托盤中只剩未知數，另一個托盤中則出現一個具體的數，這就是答案。數學家解方程時經常想象符號在移動（這就是為什么他們依然愛用黑板和粉筆：擦擦寫寫之間，符號仿佛真的動了起來）。花拉子米的《代數學》中也有更明顯的幾何思維，包括通過補全正方形來解二次方程的示意圖。

據傳，曾有一位數學家在一堂技術性很強的代數幾何課上用畫在黑板上的一個點來表示“一般點”。他經常提到這個點，從而使這堂課變得更易理解。這世上不知有多少黑板和白板上畫滿了雜亂無章的神秘符號和奇怪的小涂鴉，這些涂鴉還會出現在餐巾紙上，有時甚至能在桌布上看到。從十維流形到代數數域，一切都在這些涂鴉里了。

阿達馬估計，大約 90% 的數學家借助圖形思考，大約 10% 的數學家以形式化的方式思考。據我所知，至少有一位著名的拓撲學家是不太擅長想象三維圖形的。這世上不存在通用的“數學思維”，數學界也沒有萬能膏藥。

在多數情況下，數學思維并不會嚴格遵循邏輯推理的步驟，只有在針對結果整理嚴謹的證明時，數學家才會這樣做。通常來講，第一步是獲得正確的想法，這往往意味著通過模糊地思考結構問題形成某種戰略構想；下一步是想出實現它的策略；最后一步是用形式化的術語重寫一切，呈現一個簡潔、合乎邏輯的故事（也就是高斯移除腳手架的步驟）。

在實踐中，大多數數學家會交替使用兩種思維：在不清楚如何推進時，或是在試圖獲得概況時，他們會求助于圖像；而在知道該怎么做但不確定會引出什么結果時，他們會求助于符號計算。然而，有些人似乎不管不顧，只用符號來思考。

超強的數學能力與其他任何因素都沒有必然聯系，它似乎是隨機出現的。有些人和高斯一樣，3 歲就“開竅”；有些人和牛頓一樣，小時候沒什么正經事，卻在后來的人生中綻放光彩。年幼的孩子一般都喜歡數字、形狀和圖案，但隨著年齡的增長，很多人對這些失去了興趣。

我們中的大多數人能通過受教育達到高中程度的數學水平，但繼續提高的人是少數，有些人甚至從未真正入門。許多職業數學家有一種強烈的印象，那就是在數學天賦面前，并沒有人人平等這一說。如果你平日里總覺得學校里教的數學簡單明了，卻又經常發現有人在為基礎知識頭疼，你自然會有這種看法。

當你發現自己教導的一部分學生對簡單的概念感到困惑，另一部分學生卻能立即掌握復雜的概念時，這種感覺就會更加強烈。

也許這種趣聞似的證據并不可靠，很多教育心理學家有不同看法。心理學界一直流行一種關于兒童心智的“白板”觀點。任何人可以做任何事情，他們需要的只是接受訓練并大量練習。

只要你足夠想干一件事，你就能干成它。（如果你沒有干成，那就說明你自己動力不足……真是巧妙的循環論證，體育評論員就非常喜歡這個。）如果真是這樣那就太好了，但史蒂文·平克（Steven Pinker）在《白板》

The Blank Slate

此外，許多教育工作者還發現了一種疾病，叫作計算障礙（discalculia），它對學習數學的影響就像閱讀障礙對閱讀和寫作的影響一樣。我們能否既贊同白板觀點，又透徹地理解差異？我不確定。

從生理上講，人總是會有先天差異的。但出于某種原因，很多人似乎想象（或者說想要想象）我們在心智上起點相同。這并沒有多大的意義。大腦結構對心智能力的影響，恰如身體結構對身體素質的影響。

有些人記憶力超群，能詳細記住所有事情。這種記憶力是任何人都可以通過訓練和練習獲得的嗎？好像不太可能。白板觀點經常給出的論據是，在人類活動的某個領域取得巨大成功的人基本都進行過大量練習。

這是事實，但這并不意味著每一個在人類活動的某個領域進行過大量練習的人都會取得巨大成功。亞里士多德和布爾都知道，“從A 可以推出 B”與“從 B 可以推出 A”是兩碼事。

先別急著惱火，我并不是要反對向大家平等地教授數學或其他知識。幾乎所有人都會在良好的教學和大量的練習中得到提高，任何領域都是如此，這就是我們為教育事業努力的意義。

喬治·波利亞（George Pólya）在《怎樣解題》

How to Solve It

同樣，即使掌握了波利亞教授的訣竅，你也不大可能成為新的高斯，這和努力程度無關。高斯這樣的人不需要別人傳授他們特殊技巧，他們躺在搖籃里的時候就有自己的獨門訣竅了。

總的來說，如果不是真的熱愛自己的工作，人們不會努力奮斗、取得成功。數學巨人也會認真練習，即使是天生奇才，也需要一定的鍛煉強度來保持狀態，因為你必須不斷練習才能發揮天賦，但更主要的原因是他們樂意。就算遇到了困難、陷入了枯燥，他們也能以某種奇特的方式樂在其中。

天生的數學家只要不被關起來，就一定會研究數學；哪怕真的身陷囹圄，他們也要在墻上劃寫方程。

歸根結底，這才是數學巨人們身上一脈相承的共同點。他們熱愛數學。他們癡迷于數學。他們別無所求。他們可以放棄收入更高的職業，可以不顧家人的勸告，即使許多同事認為他們瘋了，他們也義無反顧地堅持下去，甚至能接受默默無聞地死去。他們可以授課多年卻分文不取，只為在行業里站穩腳跟。巨人之所以成為巨人，是因為他們有這樣的動力。

這樣的動力從何而來？

這是一個謎。

參考資料

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