光精漫談 | 光與電的異曲同工：從雞兔同籠說起

作者：焦述銘

導(dǎo)讀

如今電子計(jì)算機(jī)盡管性能越來越強(qiáng)大，但處理某些復(fù)雜計(jì)算問題時(shí)，仍然難于應(yīng)對(duì)，無法發(fā)揮出最高的效率。比如當(dāng)一個(gè)線性方程組十分龐大時(shí)，無論從輸入到輸出的正向向量矩陣相乘，還是從輸出到輸入的反向求解，都是一個(gè)挑戰(zhàn)。近年來，一些跳出思維定勢的新型計(jì)算模式被嘗試，不再依賴現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)算法和芯片，而是另起爐灶，直接通過簡單的電路模擬方程組來快速求解，由于光與電之間的相似性，光學(xué)系統(tǒng)也可以通過類似方式去完成任務(wù)，展示出異曲同工之妙。

現(xiàn)有電子計(jì)算機(jī)如何求解？

我們從一個(gè)很簡單的小學(xué)數(shù)學(xué)題說起：籠子里有10只雞和5只兔子，問籠子里一共有多少只動(dòng)物？很簡單，一共有15只。那籠子里的動(dòng)物一共有多少只腳呢？雞有2只腳，兔子有4只腳，一共有10×2+5×4=40只腳。如果反過來，已知籠子里雞和兔共15只，共有40只腳，問雞和兔各有幾只？這就是一個(gè)經(jīng)典的“雞兔同籠”問題。

有人的解法是假設(shè)雞和兔都訓(xùn)練有素，吹一聲哨，每只動(dòng)物就會(huì)抬起一只腳，一聲哨響后，籠子里落地的腳剩下40-15=25只，再吹一聲哨，剩下25-15=10只腳，此時(shí)所有雞的兩只腳都抬起來了，于是“一屁股坐下了”，雙腿站著的都是兔子，所以兔子有10/2=5只，雞有15-5=10只。

更廣義來說，上面兩個(gè)問題其實(shí)分別是正向和反向求解兩個(gè)二元一次方程組成的方程組，x1和x2分別是雞和兔的數(shù)量，y1和y2是動(dòng)物總數(shù)及腳總數(shù)。如果用2×2 矩陣表示，正向是向量矩陣相乘，反向則需要矩陣求逆。

圖1：雞兔同籠問題背后的線性方程組數(shù)學(xué)關(guān)系

如果改一下問題，有蜘蛛、蜻蜓、蟬三種動(dòng)物共9只，共有腿58條，翅膀10對(duì)(蜘蛛有8條腿，沒有翅膀；蜻蜓有6條腿，2對(duì)翅膀；蟬有6條腿，1對(duì)翅膀)，問蜘蛛、蜻蜓和蟬各有多少只？（答案：2只、3只和4只。）還是同樣類型的問題，矩陣大小由2×2 擴(kuò)大為了3×3。

圖2：線性方程組中矩陣尺度由2×2 變成3×3

當(dāng)然你會(huì)說，計(jì)算一共有多少只腿，猜籠子里的雞兔數(shù)量，是比較無聊的問題，有什么意義和用處呢？這類假想的題目本身可能有些脫離實(shí)際，不過背后所代表的通用數(shù)學(xué)模型，線性方程組正向和反向求解，或者說向量矩陣相乘以及矩陣求逆，確是應(yīng)用非常廣泛。在人工智能與機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理與計(jì)算機(jī)視覺、運(yùn)籌學(xué)和最優(yōu)化、機(jī)器人控制、信息與通信工程、數(shù)據(jù)挖掘、經(jīng)典及量子物理等領(lǐng)域都是不可或缺的。矩陣的尺度也可以不只2×2、3×3，可以是任意的正整數(shù)N×N ，成百上千上萬甚至更大都有可能。

圖3：更通用的正向向量矩陣相乘和反向矩陣求逆用于求解方程組(矩陣尺度為N×N)

相比較而言，正向向量矩陣相乘計(jì)算（由X獲得Y ）比較直截了當(dāng)，可以轉(zhuǎn)化為很多次的對(duì)應(yīng)元素之間乘法和加法。而反過來求解方程組（由Y獲得X），會(huì)更加繁瑣和復(fù)雜，像“吹哨抬腿法”那樣，可以使用高斯消元法、LU分解法、雅可比迭代法等算法，將計(jì)算分解為很多步驟，最終仍然是很多次的最基本加減乘除。

當(dāng)然在現(xiàn)有的電子計(jì)算機(jī)中，加減乘除還不是最基本的運(yùn)算形式，更底層的機(jī)制依賴于二進(jìn)制和邏輯門。每次要運(yùn)算的數(shù)字都使用二進(jìn)制表示，計(jì)算機(jī)的底層世界中只有很多個(gè)0和1，比如，每只雞有10（二進(jìn)制中的2）只腳，每只兔有100（二進(jìn)制中的4）只腳，然后利用與門、或門、異或門等各種邏輯門完成這些0和1比特之間的運(yùn)算。每一次簡單的乘法和加法，都需要相當(dāng)數(shù)量邏輯門齊心協(xié)力才能完成。不過不用擔(dān)心，邏輯門只是現(xiàn)代計(jì)算機(jī)或者芯片中最基本的單元，一塊芯片上或者一個(gè)處理器中有數(shù)以億計(jì)這樣的“基層員工”，動(dòng)用其中幾十幾百個(gè)都是很小的比例。

模擬電子計(jì)算：另辟蹊徑

以上介紹的是現(xiàn)有電子計(jì)算機(jī)正向和反向求解線性方程組的工作方式，當(dāng)矩陣的尺度非常大的時(shí)候，計(jì)算負(fù)擔(dān)不可小視，特別是反向求解的時(shí)候，計(jì)算機(jī)也往往需要較長運(yùn)算時(shí)間才能給出結(jié)果。而研究者也在另辟蹊徑，嘗試通過一些物理系統(tǒng)模擬計(jì)算過程，以自然的方式直接展現(xiàn)出答案[1]，不必像現(xiàn)有計(jì)算機(jī)那樣，將求解過程在算法上分解為繁瑣復(fù)雜的步驟，再通過眾多數(shù)量的二進(jìn)制比特和邏輯門在底層實(shí)現(xiàn)。

兩個(gè)數(shù)字相乘或相加的數(shù)學(xué)關(guān)系隨處可見，比如電路里，兩個(gè)支路的電流匯合到一起，總的電流強(qiáng)度就會(huì)是支路電流之和，是一種天然的相加關(guān)系；再比如歐姆定律表示了電流、電壓和電阻（或電導(dǎo)）三者之間的關(guān)系，是一種天然的相乘關(guān)系。隨著憶阻器等新型電子器件的發(fā)展，電阻的數(shù)值大小可以方便地調(diào)節(jié)和設(shè)定。這樣一來，比如要計(jì)算兩個(gè)數(shù)值相乘，只要將電壓值大小和電導(dǎo)值大小分別設(shè)定為這兩個(gè)輸入數(shù)值，測量一下輸出電流大小，就知道了相乘結(jié)果的答案。

圖4：電流定律與歐姆定律

對(duì)于正向的向量矩陣相乘，以輸入端口的電壓值模擬輸入向量，以各個(gè)電阻的電導(dǎo)值模擬要相乘的矩陣，然后測量輸出端口的電流值，就可以得到向量矩陣相乘后的結(jié)果。以下分別是2×2和3×3矩陣情況下的電路。

圖5：模擬電路用于向量矩陣相乘運(yùn)算（左：2×2 矩陣；右：3×3 矩陣）

而反向求解方程組，同樣可以通過類似的電路來模擬，需要額外使用運(yùn)算放大器(OPA)器件建立輸入和輸出之間的反饋連接。根據(jù)輸入的恒定電流，測量電路在穩(wěn)定狀態(tài)后的輸出電壓，即可以得到方程組的解。以2×2 矩陣對(duì)應(yīng)的“雞兔同籠”問題為例，兩個(gè)輸入電流I1=15，I2=40分別表示籠子里中共有15只動(dòng)物，共有40只腳，四個(gè)電阻的電導(dǎo)值還是對(duì)應(yīng)于矩陣中各個(gè)系數(shù)，比如G21=2和G22=4分別表示雞有2只腳和兔有4只腳，最后測量得到的兩個(gè)電壓值V1=10和V2=5，就告訴了我們雞和兔各有10只和5只。整個(gè)過程不需要設(shè)計(jì)詳細(xì)的計(jì)算規(guī)則，電路直接給出了答案，這種稱為模擬電子計(jì)算的方式，相比于現(xiàn)有計(jì)算機(jī)利用二進(jìn)制和邏輯門的方式，具有高效率和低能耗的潛在優(yōu)勢。

圖6：包含反饋連接的模擬電路用于線性方程組反向求解（左：2×2 矩陣；右：3×3 矩陣）

光與電的異曲同工

由于光和電之間的諸多相似之處，模擬電路也可以變身為“光路”。在電的世界中，電流是在金屬導(dǎo)線中流動(dòng)的，而在光的世界中，一束光也可以在光波導(dǎo)中傳播，光纖就是一個(gè)常見的例子。光以振幅或強(qiáng)度大小，表示光的強(qiáng)弱明暗程度，對(duì)應(yīng)于不同的數(shù)值。

如同兩條河的支流，匯合到一條更加寬廣的干流，河水融為一體，在電的世界中，主干電流滿足分支電流相加的規(guī)律。在光的世界中，兩列光波導(dǎo)中光波相匯合，適當(dāng)條件下，也可以滿足疊加的關(guān)系，比如對(duì)于非相干光，匯合后的光強(qiáng)度是各分支光強(qiáng)度的相加。

對(duì)于電路世界中的歐姆定律，“光路”世界中也有相對(duì)應(yīng)的相乘關(guān)系。很多物體都是半透明的，既不會(huì)完全遮擋住光，也不會(huì)讓光完全透過，以一定的比例讓一部分光的能量透過，類似電路中的電阻器件，在光學(xué)系統(tǒng)中，利用相變(PCM)、鈮酸鋰薄膜、液晶等材料，可以加工出透光率可調(diào)節(jié)的器件，建立起一個(gè)類似于歐姆定律的出射光強(qiáng)、入射光強(qiáng)和透射率之間乘法的關(guān)系。

圖7：光的世界中與電的世界中歐姆定律相類似的乘法關(guān)系

更進(jìn)一步，利用以上提到的所有這些組件，可以參照用于計(jì)算向量矩陣相乘的電路，搭建一個(gè)具備類似功能的光學(xué)系統(tǒng)[2]。下圖8右側(cè)系統(tǒng)中，淺藍(lán)色為氮化硅光波導(dǎo)，橘黃色為相變材料器件。

圖8：向量矩陣相乘的模擬運(yùn)算比較：電路方式（左）和光學(xué)方式（右）

可以看到，兩者之間非常相似，簡直異曲同工，不謀而合。事實(shí)上，光學(xué)中完成這種向量矩陣相乘的模擬計(jì)算，方式也不唯一，還有利用其它光學(xué)原理的方式，比如級(jí)聯(lián)馬赫·曾德爾干涉儀(MZI)網(wǎng)絡(luò)，結(jié)構(gòu)編碼的光傳播介質(zhì)，波分復(fù)用微環(huán)濾波，光衍射神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[3]。最近，微軟研究院在Nature期刊上發(fā)表的一篇論文中[4]，也以光學(xué)方式實(shí)現(xiàn)了向量矩陣相乘，并與電子計(jì)算相結(jié)合，可應(yīng)用于金融結(jié)算和醫(yī)療成像，其中所采用的方式簡單說是將不同空間位置的入射光強(qiáng)度進(jìn)行編碼，并根據(jù)反射光強(qiáng)度=入射光強(qiáng)度×反射率，也對(duì)空間光調(diào)制器上的反射率分布進(jìn)行編碼，并利用透鏡的光會(huì)聚過程進(jìn)行光強(qiáng)度疊加，最終完成所需的乘法和加法運(yùn)算。

與電路反饋的方式類似，向量矩陣相乘的光學(xué)系統(tǒng)也可以通過光波導(dǎo)的反饋連接，用于線性方程組的反向求解[5-7]。比如圖9右邊的光學(xué)系統(tǒng)中，如果要求解的方程組是AX=Y ，將要相乘的矩陣設(shè)置為(I－A) ，I為單元矩陣，首先在右側(cè)各端口注入向量Y 對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)度信號(hào)，最終系統(tǒng)穩(wěn)定后，只有左側(cè)各端口光強(qiáng)度等于要求解的

X

X

圖9：反向求解線性方程組的模擬運(yùn)算比較：電路方式（左）和光學(xué)方式（右）

模擬電子計(jì)算和光計(jì)算都屬于現(xiàn)有主流計(jì)算機(jī)和芯片技術(shù)之外的新興技術(shù)模式，和量子計(jì)算、生物DNA計(jì)算等方向一起，近年來都得到了越來越多的關(guān)注，未來有望取得更多突破性進(jìn)展。

相關(guān)文獻(xiàn)

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