兩百年前：阿貝爾對五次方程問題的破解

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兩百年前，阿貝爾1826年著名的五次方程代數不可解性證明，阿貝爾原始論證采用的方法與現代方法截然不同，他是怎么做到的呢？

作者：Adrian Rice（阿德里安·賴斯教授）美國數學會通告 2026-01

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-12-21

1. 引言

任何在學校學過數學的人，都會將“代數”一詞與方程研究，尤其是方程求解方法聯系起來。然而，那些在大學深造代數的人會發現，這門學科與中學階段截然不同——方程求解完全被群、環及其他更抽象的結構研究所取代。大多數本科生都未曾了解，約1800年之前本質上等同于代數的“方程理論”，是如何演變為如今的現代代數的。

兩百年前，這一變革尚處于起步階段，一位名不見經傳的挪威數學家尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802–1829）發表了一項證明，指出一般五次方程無法通過純代數方法求解。這一證明不僅解決了困擾數學界近三個世紀的難題，還為埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）的開創性工作奠定了基礎，催生了群論，并最終促成了現代抽象代數的誕生。

阿貝爾的名字在數學領域早已不朽：阿貝爾求和公式、冪級數的阿貝爾極限定理、阿貝爾積分、阿貝爾簇，以及近些年設立的阿貝爾獎——該獎項每年授予一位或多位杰出數學家。在本科生群體中，阿貝爾的名字最常見于群論領域：若群運算滿足交換律，則該群被稱為“阿貝爾群”。

頗具諷刺意味的是，群的概念在阿貝爾1829年去世后才由伽羅瓦于1830年代初正式引入數學界；更具諷刺意味的是，阿貝爾1826年著名的五次方程代數不可解性證明，如今通常以群論語言呈現，而讀過阿貝爾原始論證的數學家卻相對寥寥——他采用的方法與現代方法截然不同。

本文將以阿貝爾的表述風格概述其證明，展現這一成果既是數學史上一段漫長探索的終點，也是一個全新時代的起點。

圖1 尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802–1829）

2. 1545年之前的代數方程

一次方程和二次方程的求解方法可追溯至古代。事實上，公元前兩千年的楔形文字泥板顯示，美索不達米亞人使用的算法，在實踐中與二次方程求根公式的特殊情形等價?【參考資料6：20–31頁】

x=(-b± √{b2-4ac})/(2a)

當然，當時并不存在這樣的符號表達式，問題及其求解方法均完全通過文字描述。（可識別的代數符號直至17世紀才出現【參考資料6：249–252, 264頁】）盡管如此，通過希臘數學家丟番圖（Diophantus，約公元250年）、伊斯蘭博學家花拉子米（Al-Khwārizmī，約公元820年）等學者的努力，一次方程和二次方程的構造、分類及求解技巧得以創立和完善。

盡管花拉子米在早期數學史著作中被譽為“代數之父”，但其關于方程的研究卻存在一些出人意料的特點——尤為突出的是，他完全未認可負數（及復數）的存在。盡管奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyam，1048–1131）等多位中世紀學者付出了努力，但三次方程等高階方程的一般代數求解公式仍遲遲未能問世【參考資料6：165–172頁】。

1545年，意大利數學家吉羅拉莫·卡丹（Girolamo Cardano，1501–1576）發表了求解一般三次方程的首個通用方法，取得了突破性進展：

ax3+bx2+cx+d=0

通過巧妙的代換x=y-b/(3a)，該方程可簡化為如下形式：

y3+py+q=0

其解可通過新的三次方程求根公式得出：

y=?{-q/2+√(q2/4+p3/27)}+?{-q/2-√(q2/4+p3/27)}

盡管卡丹成功推廣并發展了這一發現，但該方法并非由他首創。這一方法的誕生及其最終發表過程中的權謀紛爭，是數學史上最引人入勝且頗具爭議的篇章之一（詳見【參考資料6：215–219頁】）。

盡管如此，卡丹在三次方程方面的工作仍帶來了諸多積極影響：其一，推動了負數和復數逐漸被主流數學思想認可和接受；其二，直接促使其學生洛多維科·費拉里（Lodovico Ferrari，1522–1565）發現了四次方程的求解方法。

至此顯而易見的是，對于所有次數n≤4的代數方程，都能找到日益精密的一般公式，將解表示為僅包含原方程系數通過加、減、乘、除及開方運算組合而成的表達式。這類方法被稱為“根式求解”。接下來的明確目標，便是尋找一般五次方程的根式求解公式。

3. 對五次方程的探索

在隨后的250年里，代數學取得了巨大發展。1629年，阿爾伯特·吉拉德（Albert Girard）提出了后來被稱為“代數基本定理”的命題，該定理最終由高斯（Gauss）于1799年證明；1637年，笛卡爾（Descartes）引入了至今仍在使用的x,y,z式符號表示法。盡管韋達（Viète）、奇恩豪斯（Tschirnhaus）、貝祖（Bézout）、歐拉（Euler）等學者在方程理論方面做出了重要貢獻，但截至18世紀中葉，一般五次方程的代數求解公式仍毫無頭緒。

1770年，約瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736–1813）在一篇極具里程碑意義的論文中，對過去兩個世紀以來用于求解三次和四次方程的所有方法進行了精湛綜述。這篇論文標志著數學界對五次方程的態度發生了根本性轉變——盡管拉格朗日成功梳理并系統化了求解次數不超過4的方程的關鍵技巧，但他同時證明，這些技巧無一能應用于五次方程【參考資料6：295–298頁】。由此，“一般五次方程可能不存在代數求解公式”的想法首次浮出水面。

圖2 約瑟夫-路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736–1813）

1799年，意大利數學家保羅·魯菲尼（Paolo Ruffini，1765–1822）發表了《方程的一般理論》，首次嘗試證明一般五次方程無法通過根式求解。該書全稱意為“方程的一般理論——證明次數高于四次的一般方程不存在代數解”。

魯菲尼的證明異常復雜冗長，盡管他隨后兩次修訂并重版了該著作，卻未能說服廣大數學界。尤為重要的是，該證明遭到了當時被公認為數學界中心的巴黎科學院的拒絕。如今人們普遍認為，盡管魯菲尼的論證略顯晦澀，但本質上是正確的，只是存在一些漏洞【參考資料4】。

圖3 保羅·魯菲尼（Paolo Ruffiin，1765–1822）

然而，他的證明成功說服了一位法國頂尖數學家。著名分析學家奧古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789–1857）認可了魯菲尼的工作，并受其啟發，對其中一個方面進行了更深入的研究。魯菲尼在證明中運用了拉格朗日1770年論文中的一個關鍵思想，即方程的代數可解性與根的置換密切相關。當時人們已知道，一般首一（monic，首項系數為1）方程：

x? +an?? x??1 +? + a? x2 + a?x + a?=0

的系數可表示為其根x?,x?,...,xn的函數。例如：

x??x??? +xn=-an??

以及 x? x?? xn=(-1)? a?

此外，由于實數域上的加法和乘法滿足交換律，這些函數具有對稱性——換句話說，交換或置換根的位置，函數值保持不變。柯西隨后深入研究了置換理論，并于1815年發表了一篇重要論文。在該論文中，他證明了：若n個對象的有理函數在這n個量被置換時，取值個數少于小于n的最大素數，則其最多只能取兩個不同的值?【參考資料5：第9頁】。

置換理論被證明是群論早期發展的關鍵——在伽羅瓦的工作中，所考慮的群正是代數方程根的置換群。當然，如今證明五次方程不可根式求解，通常采用群論和伽羅瓦理論的語言。對于任意方程，可定義其對應的伽羅瓦群G。若存在如下子群序列：

{e}=G? ? G? ? G? ? ? ? Gn??? Gn= G

其中每個G?是G???的正規子群，且每個商群G???/G?均為阿貝爾群，則稱該（有限）群為“可解群”。若一個方程的伽羅瓦群是可解群，則該方程可通過根式求解。

對于一般三次方程，其伽羅瓦群為S?（三個對象的所有置換構成的群），其正規子群為A?（偶置換構成的交錯群），而A?唯一的正規子群是僅含單位元的平凡群{e}。由于：

{e}? A? ? S?

且S?/A?與A?/{e}=A?均為阿貝爾群，因此S?是可解群，進而一般三次方程可通過根式求解。

對于一般四次方程，可構造如下正規子群鏈：

{e}? ?g? ? K?? A?? S?

其中K?={e,g,h,gh}為克萊因四元群。同樣，S?/A?、A?/K?、K?/?g?及?g?/{e}均為阿貝爾群，因此一般四次方程可通過根式求解。

然而，當研究一般五次方程時，這一過程便會中斷。S?（五個對象的所有置換構成的群）唯一的真正規子群是交錯群A?，而A?唯一的正規子群是平凡群{e}，由此僅能得到如下唯一的子群鏈：

{e}? A?? S?

但在此情形下，A?/{e}=A?是非阿貝爾群，這意味著S?不是可解群，因此一般五次方程無法通過根式求解。

盡管這正是阿貝爾1826年證明的結果，但他采用的方法卻截然不同——很大程度上是因為當時群的概念尚未出現。那么，他是如何證明五次方程的代數不可解性的呢？

4. 阿貝爾的證明

頗具諷刺意味的是，阿貝爾最初是從相反方向著手研究這一問題的。他起初認為自己找到了一般五次方程的求解公式，但在被要求提供更多細節時，他意識到了自己的錯誤，于是轉而嘗試證明其不可解性。1824年，阿貝爾發表了首個證明版本，指出一般五次方程無法通過根式求解【參考資料1】。

該證明以小冊子形式自費出版，他希望將其作為“名片”，吸引歐洲頂尖數學家的關注，從而躋身其中。然而，印刷成本高昂，為節省開支，阿貝爾僅提煉了核心論點，部分內容未能在有限篇幅內完整證明。

幸運的是，他很快獲得了德國數學家奧古斯特·利奧波德·克雷勒（August Leopold Crelle，1780–1855）的友誼與支持。1826年，克雷勒在其創辦的《純粹與應用數學雜志》（即廣為人知的《克雷勒雜志》）第一卷中，發表了阿貝爾論文的大幅擴展版本，其中包含了完整的證明，詳細闡釋了所有細節【參考資料2】。

盡管仍存在一些微小漏洞（后來均被補齊），但這一證明最終獲得了數學界的廣泛認可。以下是阿貝爾核心論證的概述（關于阿貝爾證明的更詳盡分析，參見【參考資料7】；【參考資料8】則以域論語言對其核心思想進行了更現代的呈現）：

阿貝爾首先假設一般五次方程可通過根式求解，這意味著在最一般的情形下，所有根互不相同。對于次數為素數n（因此無法因式分解）的一般n次方程：

（1） an x? + an?? x??1 +? + a?x2 + a?x + a? = 0

他證明了其所有代數解均可表示為如下形式：

x=p+p?R^{1/n}+p?R^{2/n}+? +pn??R^{(n-1)/n}

其中p, p?, p?, ..., pn??是根式與多項式的有限和，且R的n次方根是原方程系數的無理函數。不過，阿貝爾將其改寫為如下形式：

（2） x=p+R^{1/n}+p?R^{2/n}+? +pn??R^{(n-1)/n}

即通過改寫定義用新的R代替原來的p?? R形式，從而使得p?被融合到新的函數R中。

隨后，他將上述形式的x代入原方程（1）等式左邊，并將結果化簡為（2）中的形式，得到形式：

（3） P=q+q?R^{1/n}+q?R^{2/n}+? +qn??R^{(n-1)/n}

由于方程（1）等于0，因此這個形式P也等于0。阿貝爾通過一個巧妙的論證證明，要使該等式成立，所有q?必須均為0。由此他得出結論：任何形式為（2）的解x，均可只用根的有理函數表示。這一需要證明的事實，在魯菲尼的早期證明中被直接假設，成為其主要缺陷之一。

此時，讀者可能需要一個簡單示例，不妨考慮二次方程：

（4） x2 + bx+c=0

阿貝爾聲稱其解可表示為x=p+√R ，我們來驗證這一點。將x=p+√R 代入（4），得到：

(p2+R+bp+c)+(2p+b)√R=0

要使該等式成立，兩項系數必須均為0，因此首先有：

p=-b/2

其次有：

R=b2/4 -c

由二次方程求根公式可知，方程（4）的所有解為：

x=(-b± √{b2 - 4c})/2

若將其改寫為：

x=-b/2± √{(b2 - 4c)/4}

則確實驗證了二次方程的解可表示為x=p+√R的形式。

那么，這如何能說明此類形式的解可只用根的有理函數表示呢？尤其是√R 項（畢竟它是原方程系數的無理函數），為何能成為根的有理函數？

考慮我們剛剛得到的兩個根：

x? =-b/2+ √{(b2 - 4c)/4}

x? =-b/2- √{(b2 - 4c)/4}

它們顯然是x=p+ √R形式的函數。逐一分析x的各個組成部分：

首先，p=-b/2=(x? + x?)/2，這顯然是根的有理函數；

其次，x? - x?=√{b2 - 4c}，因此：

(x? - x?)2=b2-4c=4(b2/4-c)=4R

進而有：

√R=(x? - x?)/2

由此可見，任何形式為x=p+√R 的解，均可表示為原二次方程根x?和x?的有理函數。

對于五次方程，根據形式（2），其解應表示為：

（5） x=p+R^{1/5}+p?R^{2/5}+p?R^{3/5}+p?R^{4/5}

根據阿貝爾已證明的結論，這意味著其所有組成部分——p, p?, p?, p?以及R^{1/5}的各整數次冪——都必須是五次方程根的有理函數。

接下來是阿貝爾的神來之筆。他借鑒了柯西1815年關于置換的定理，考慮了n=5的特殊情形，得出如下結果【參考資料2：第77頁】：

若五個量的有理函數在這五個量被置換時取值個數少于五個，則其要么取兩個不同值，要么取一個值。

在1824年的著作中，他僅引用了柯西1815年的論文，但在1826年的擴展論文中，他給出了完整證明，并恰當致謝柯西。隨后，他將注意力轉向一般五次方程的假設解（5），其每個部分都是根的有理函數。根據代數基本定理，該解最多有五個值。他選取其中一個組成部分R^{1/5}，分析了五個根被置換時的情況。

圖4 奧古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy，1789–1857）

一般而言，R^{1/5}不可能僅取一個值——否則將導致方程只有一個解，而非他所假設的五個不同解。根據柯西定理，R^{1/5}只能取兩個或五個值。若取五個值，阿貝爾證明這將導致一個矛盾：等式一側有五個可能值，而另一側有120個不同值，這顯然不可能。僅剩R^{1/5}取兩個值的情形，但阿貝爾證明，此時根被置換后，會出現另一個矛盾：等式一側有120個可能值，而另一側僅有10個。

因此，無論哪種情況，矛盾都不可避免。阿貝爾由此得出結論：“一般五次方程無法通過根式求解。”?【參考資料2：第84頁】他在文末補充道：“由該定理可直接推出，次數高于五次的一般方程同樣無法通過根式求解。”

這一推論的證明留給讀者作為簡單練習。

5. 后續發展

與數學史上許多著名問題一樣，一個問題的成功解決往往會開啟新的研究方向，阿貝爾的證明也不例外。如今人們已知，對于次數為n≥5的一般方程無法通過根式求解。這引發了兩個進一步的問題：如何找到給定次數的所有代數可解方程；以及對于任意n次方程，如何判斷其是否可通過根式求解。這些正是阿貝爾著手解決的問題。

他早已知道，若一個方程可通過根式求解，則其任意兩個根之間存在有理函數關系，因此所有根均可表示為彼此的有理函數。在1829年的一篇論文中【參考資料3】，他研究了復合次數的方程，發現若x?是某方程的一個根，且另外兩個根可表示為θ?(x?)和θ?(x?)（其中θ?和θ?是x?的兩個可能不同的有理函數），則該方程可解當且僅當：

θ?(θ?(x?))=θ?(θ?(x?))

換句話說，阿貝爾發現了方程的代數可解性與函數復合的交換律之間的明確聯系。這也正是運算滿足交換律的群被稱為“阿貝爾群”的原因。

令人遺憾的是，阿貝爾未能親眼見證這一認可。他解決了當時最重大的數學難題之一，卻未能獲得他所追求的數學聲譽或學術職位。1829年4月，他因肺結核去世，年僅26歲【參考資料10】。

直到他去世后，其開創性工作——以及另一位同樣英年早逝的天才數學家的工作——才最終得到認可。14年后的1843年7月4日，在巴黎科學院的一次會議上，數學家約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）宣布：“在埃瓦里斯特·伽羅瓦的論文中，我發現了對這一優美問題——即[多項式方程]是否可通過根式求解——的精準而深刻的解答……”?【參考資料9：xxiii】

這標志著伽羅瓦關于方程理論的開創性著作開始被世人知曉，群的概念被引入數學界，并最終將代數從一系列分析和求解方程的方法，轉變為如今對抽象結構的現代研究。

而這，便是另一段故事了……

原文參考文獻

[1] N. H. Abel, Mémoire sur les équations algébriques où on démontre l’impossibilité de la résolution de l’équation générale du cinquième dégré (French), Facsimile edition, University of Oslo, Faculty of Science, The Librarian, Oslo, 1957. MR81258

[2] N. H. Abel, Beweis der Unm?glichkeit, algebraische Gleichungen von h?heren Graden als dem vierten allgemein aufzul?sen (German), J. Reine Angew. Math. 1 (1826), 65–84, DOI 10.1515/crll.1826.1.65. MR1577598

[3] N. H. Abel, Mémoire sur une classe particulière d’équations résolubles algébriquement (French), J. Reine Angew. Math. 4 (1829), 131–156, DOI 10.1515/crll.1829.4.131. MR1577723

[4] Raymond G. Ayoub, Paolo Ruffini’s contributions to the quintic, Arch. Hist. Exact Sci. 23 (1980/81), no. 3, 253–277, DOI 10.1007/BF00357046. MR606270

[5] Augustin-Louis Cauchy, Mémoire sur le nombre des valeurs qu’une fonction peut acquérir, lorsqu’on y permute de toutes les manières possibles les quantités qu’elles renferme, Journal de l’école Polytechnique 10 (1815), no. 17, 1–28.

[6] Victor J. Katz and Karen Hunger Parshall, Taming the unknown: A history of algebra from antiquity to the early twentieth century, Princeton University Press, Princeton, NJ, 2014, DOI 10.1515/9781400850525. MR3237138

[7] Peter Pesic, Abel’s proof: An essay on the sources and meaning of mathematical unsolvability, MIT Press, Cambridge, MA, 2003. MR1980425

[8] Michael I. Rosen, Niels Hendrik Abel and equations of the fifth degree, Amer. Math. Monthly 102 (1995), no. 6, 495–505, DOI 10.2307/2974763. MR1336636

[9] Ian Stewart, Galois Theory, 3rd ed., Chapman & Hall/CRC Mathematics, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2004. MR2008456

[10] Arild Stubhaug, Niels Henrik Abel and his times: Called too soon by flames afar, Springer-Verlag, Berlin, 2000. Translated from the second Norwegian (1996) edition by Richard H. Daly, DOI 10.1007/978-3-662-04076-8. MR1762652

本文作者：阿德里安·賴斯（Adrian Rice）

倫道夫-麥肯學院多蘿西與馬斯庫·加內特數學教授

文章DOI：10.1090/noti3264

參考資料

https://www.ams.org/journals/notices/202601/noti3264/noti3264.html

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