我從幼兒園小朋友那里學到的關于多邊形的一切知識——AMS美國數學會專欄

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今年秋天，我一覺醒來發現自己經受了一場突如其來的綜合考試，考官竟然是我家剛剛蹣跚學步的小屁娃，考試第一題就是畫一個非凸正多邊形。當時是凌晨4點半，我還沒喝咖啡呢。

作者：Courtney Gibbons（漢密爾頓學院，數學副教授）2025-12-1

她研究交換代數和同調代數，主研方向是無限自由分解，通常以Boij-Soderberg理論為視角。

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-12-3

“媽媽，再來點多邊形！”這成了我家娃的口頭禪。對于我這個幾何直覺如同平面國居民般的代數學家來說，有個癡迷于形狀的孩子確實是個挑戰，但同時也是一次有趣的冒險。

家長（或童心未泯的大人）小貼士：有一首很棒的適合兒童的歌曲以及配套的音樂視頻，叫做《九邊形》Nonagonhttps://www.youtube.com/watch?v=z5m8BWk5LoQ ，是

They Might Be Giants

樂隊（該名字取自一部電影名）演唱的。

我還為三四年級的學生制作了一份練習題，用“No Triangles”的游戲（誰先連線得到三角形的人輸） https://github.com/CRGibbons-Lab/galois-goofballs/blob/main/For-Kids/No-Triangles/wrapper.pdf 來講解形狀和計數！

作為一名數學家最棒的事情之一（也是為人父母的共同之處）就是你永遠不知道自己會需要什么知識。我在研究生時期接觸到的多面體讓我掌握了足夠的知識，足以跟上孩子的步伐。

本專欄文章將帶你踏上一段從多邊形polygon到多面體polyhedra再到多胞形（polytope，有界凸多面體）以及更遠領域的探索之旅。

多邊形

我家孩子對多邊形的癡迷可以追溯到我第一次把停車標志叫做八邊形octagon的時候。16個月大的時候，他就開始想要更多“邊形”。我最早了解到的一件事是，古希臘人對邊數達到數億甚至更多的多邊形都有專門的命名。“polygon”多邊形這個詞源于古希臘語，“poly”的意思是“多”（比如“polynomial”多項式或“許多數字”），“gon”指的是角。

想要一個有1億條邊的多邊形嗎？我想它應該叫“億邊形”myriakismyriagon。想要一個有無限多條邊的多邊形嗎？那就是“無限邊形”（apeirogon，它和圓不一樣！）。

五邊形pentagon準備參加多邊形派對。

我的默認涂鴉是一個凸（convex）正n邊形，其中3≤n≤7。

多邊形的定義就是由若干線段通過它們的頂點依次連接起來，形成一個閉合的環路。嚴格來說，構成多邊形的線段可以相交，但我的孩子只能識別出不相交的簡單多邊形simple polygon。

在將討論范圍限定在簡單多邊形之后，我的孩子發現了非正則（irregular）多邊形（邊長不相等或角度不相等的多邊形），然后又發現了非凸（nonconvex）多邊形——可以從多邊形內部的兩點畫出一條線段，這條線段會穿過多邊形的邊界線段。

不是非正則的多邊形稱為正多邊形regular，不是非凸的多邊形稱為凸多邊形convex！最近，我三歲的孩子定義了“矩形非凸五邊形”，并將其推廣為“矩形非凸多邊形”，他指的是凸包為矩形的非凸多邊形。

什么是凸包convex hull？如果你在平面上取一個任意形狀，用橡皮筋將其拉伸，然后松開，橡皮筋會彈回一個包含原形狀的最小凸形。這個橡皮筋形狀就是凸包。形式上，點集 S 的凸包是包含 S 的最小凸集，或者等價地，是 S 中的點所有凸組合的集合。

對于非凸多邊形，用我孩子的話來說，凸包就是“填滿缺口”后得到的圖形。所以，我孩子所說的“矩形非凸多邊形”恰好是指那些缺口可以填滿形成矩形的多邊形。

我喜歡這個定義，但我期待他能發現關于凸性convexity的另一種視角，這種視角能讓“填補缺口”的想法在數學上更加精確。?? 中的一個（閉）半空間是超平面的一側：形如 {x : ?(x) ≥ c} 的集合，其中 ? 為某個線性泛函，c 為常數。我所指的定理指出，凸集有兩種互補的描述。

一方面，你可以通過取生成點集的所有凸組合來構造一個凸包。另一方面，同一個凸集也可以描述為包含它的所有半空間的交集。在二維空間中，這就是我們熟知的凸多邊形是由其支撐線（supporting line）確定的半平面的交集；在高維空間中，它是多面體幾何的基石。我喜歡它，因為它允許你根據哪個視角能使問題更容易處理，在“點生成形狀”和“不等式勾勒形狀”之間切換。

排除自相交多邊形會帶來一些尷尬的后果。今年秋天，我一覺醒來發現自己被突如其來的綜合考試難住了，而監考老師竟然是我的孩子，考試第一題就是要我畫一個非凸正（簡單）多邊形。當時是凌晨4點半，我還沒喝咖啡。在歐幾里得空間里，這根本不可能，我把它看作是我們共同提出的第一個猜想。

瑣碎的想法 -- 圖釋一下給定n的不同正n邊形的角度

這些問題常常讓我夜不能寐（如果它們沒有把我從睡夢中喚醒的話），我在腦海中不停地畫著幾何圖形。歐幾里得也遇到過同樣的問題嗎？！

非歐幾里得雙曲空間中的正多邊形是埃舍爾（M. C. Escher）的靈感來源。多麗絲·沙茨施奈德（Doris Schattschneider）重建了考克斯特Coxeter對埃舍爾圓極限的一些注釋 https://www.ams.org/notices/201006/rtx100600706p.pdf 。比爾·卡塞爾曼（Bill Casselman）也在他2010年的專欄文章《埃舍爾是如何做到的？》

How Did Escher Do It?

中談到了埃舍爾的作品。 https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-circle-limit

一個拋物面（parabolic plane）的局部，另一側有幼娃涂鴉。

作者試圖繪制一個用六邊形鋪砌的拋物面（即使看起來不像，但它是凸的！），但她被她最年輕的合作者打斷了。

我和孩子目前正在一起閱讀《多邊形圖解》

A Panoply of Polygons

https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=DOL/58 （ 悲傷的是，該書合著者之一是數學家兼科普作家克勞迪·阿爾西納Claudi Alsina，上月逝世，享年73歲，他警告人們不要相信基于數學公式的愛情預測：“關于愛情預測的定理都是騙局。”他還強調，“嚴謹的數學是用頭腦完成的，而優美的數學是用心傳授的。” https://en.ara.cat/society/claudi-alsina-mathematician-and-popularizer-dies-at-age-73_1_5563813.html 譯者注）。他很沮喪，因為一個給定的多邊形不一定能鋪滿整個平面，但我們在學習五邊形方面取得了一些令人興奮的進展，以跟上最新的文獻 https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/06/01/hat-tricks/ 。

我最喜歡的多邊形是十七邊形heptadecagon，它在《多邊形全集》

Panoply

中得到了充分的闡述。 高斯證明了正17邊形可以用圓規和直尺構造出來（這是我迄今為止對“代數”幾何理解最接近的一次） https://www.scientificamerican.com/article/why-this-great-mathematician-wanted-a-heptadecagon-on-his-tombstone/ 。具體來說，他證明了 cos(2π/17) 是代數的（即代數數），這意味著它可以由整數通過加法、乘法、n次冪及其逆運算構造出來。

更一般地，高斯證明了正n邊形可以用直尺和圓規構造，當且僅當 n 是 2 的冪與不同的費馬素數的乘積。費馬素數是形如 F_k = 2^{2^k} + 1 的數；目前已知的費馬素數只有五個（3, 5, 17, 257, 65537），而 17 是五邊形之外第一個“非平凡”的費馬素數。因此，正十七邊形是第一個不能從歐幾里得幾何中直接構造出來的正多邊形。（雖然據說高斯從未畫過正十七邊形，但我認為我畫過很多正十七邊形，所以很可能至少無意中畫過。）

媽媽眼中的多邊形：多邊形錐（polygonal cone）。

當代數學家看到一個多邊形時，他們首先想到的就是讓它生成一個錐：取其所有頂點（或者邊，取決于你的心情）的非負線性組合，就能得到一個多面體錐（polyhedral cone）。在二維空間中，這就像用手電筒從原點照射多邊形，然后觀察光線如何填充一個楔形區域。錐體讓多邊形開始展現出“長大”的一面：它們可以在任何維度中自由生長，它們可以用不等式自然地描述，而且它們也是后文中出現的扇（fan）的素材。

我的孩子曾經喜歡過很多多邊形，但他目前最喜歡的是正五邊形和正三角形——哦，不，我是說等邊三角形。為什么呢？

第三維度

等邊三角形向 19 位朋友解釋如何制作二十面體。

這個正二十面體（icosahedron）由20個等邊三角形組成。和19個朋友一起拍集體照是個好主意嗎？

你最近仔細觀察過足球嗎？它的表面是由六邊形hexagon和五邊形組成的；事實上，它由12個五邊形和20個六邊形構成。想象一下，一個由20個等邊三角形組成的正二十面體，然后切掉一個頂點。每個頂點都是五個三角形的頂點，所以切掉一個頂點后，就得到了一個五邊形。對每個頂點都重復這個操作，你會發現截角二十面體其實就是一個形狀緊湊的足球（或者說，足球就像一個略微膨脹的截角二十面體）。因此，在我孩子眼里，足球就是連接正五邊形和等邊三角形的神奇紐帶。

我本無意承認多邊形可以推廣到多面體，但我偶然得到了一本溫寧格Wenninger的《多面體模型》

Polyhedral Models

https://www.cambridge.org/core/books/polyhedron-models/10671EF05A56A5697C670A4C0E973ACF ，于是我們突然開始探討截角（truncation）、星形化（stellation）以及最終構造“均勻非凸立體”的種種細節。

對我而言，歐拉示性數（Euler characteristic）是計算代數不變量的工具。但我的孩子對著名的歐拉示性數公式（頂點數V - 棱數E + 面數F）有著直觀的理解，并且明白對于任何凸多面體，這個公式都等于二。每個凸多面體也都有一個“內部空間”和一個“外部空間”，這就是我對“二”的理解。

我的孩子最終會明白，如果你拿一個凸多面體，忽略它的棱是直線，它的表面在拓撲學上就是一個球面。對于任何表面是球面的物體，歐拉示性數都是 2；這才是公式真正度量的。神奇之處不在于數字 2 本身——而在于無論你有多少個面，或者你如何奇特地組合它們，只要保持凸性，這個交替計數就不會改變。（我和孩子用磁力片發現，小星形十二面體small stellated dodecahedron的歐拉示性數大約是6 ；他現在還不認識負數，事實上是-6）

面、棱和頂點是構成我最喜歡的組合定義凸形狀——單形（simplex，復數為simplices）——的基本單元。對于每個維度，都存在一個標準單形：頂點是零維單形；棱是一維單形，它的余維數為1的面由兩個頂點構成；等邊三角形是二維單形，它的余維數為1的面由三條棱構成，余維數為2的面由三個頂點構成；正四面體是三維單形，具有四個三角形面、六條棱和四個頂點。

在維度d中，標準單形有d+1個頂點，并且這些頂點的每個子集都構成一個面。因此，一個4維單形有5個頂點、10條棱、10個三角形面和5個四面體面。你不能像想象四面體那樣想象它，但你仍然可以把它視為該維度中“最簡單的多胞體”，并對其進行計數和推理。單形是多胞體委婉地向世人介紹自我的方式。

多胞體（polytope）是有界多面體；等價地，它是有限個點的凸包。雖然有些人認為多面體是多邊形的三維對應物，但齊格勒Ziegler的《多胞形講義》

Lectures on Polytopes

https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-8431-1 將多面體描述為（超）半空間的潛在無界交集。多胞體與多邊形一樣，是有界的。

所有這些概念之間的聯系是什么？對我來說，它被稱為單純扇（simplicial fan）。錐（cone）是一個在正（positive）縮放下封閉的集合：如果 x在錐中，那么對于所有 λ≥ 0，λx 也都在錐中。扇是由有限的、沿公共面拼接在一起的多面體錐組成的集合，就像一塊以原點為共同頂點的幾何拼接的被子。

當你不再問“形狀是什么？”，而是開始問“形狀在哪些方向上表現相同？”時，扇就出現了。如果扇中的每個錐都由線性無關的射線生成，則該扇是單純的（simplicial）——因此每個錐看起來都像是高維三角形楔形的類似物。

具有五邊形正包絡（positive hull）的單純扇。它也是五個半空間的交集。

一切都回到了原點。凸包是半空間的交集？這就好比多胞形及其正規扇用同一種語言的兩種方言表達。多邊形錐？那是扇的基本構成單元。單純形？某種意義上，單純扇就是你用三角剖分方向空間得到的結果，就像我孩子把二十面體稱為鑲嵌橢球體一樣。如果我的孩子繼續要求“更多多邊形”，我估計他接下來會要求“更多錐”，之后，必然會要求“更多扇”。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2025/12/01/everything-i-need-to-know-about-polygons-i-learned-from-my-pre-kindergartner/

https://www.youtube.com/watch?v=z5m8BWk5LoQ

https://github.com/CRGibbons-Lab/galois-goofballs/blob/main/For-Kids/No-Triangles/wrapper.pdf

https://www.ams.org/notices/201006/rtx100600706p.pdf

https://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fcarc-circle-limit

https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=DOL/58

https://en.ara.cat/society/claudi-alsina-mathematician-and-popularizer-dies-at-age-73_1_5563813.html

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/06/01/hat-tricks/

https://www.scientificamerican.com/article/why-this-great-mathematician-wanted-a-heptadecagon-on-his-tombstone/

https://www.cambridge.org/core/books/polyhedron-models/10671EF05A56A5697C670A4C0E973ACF

https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-8431-1

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