希爾伯特第十問題與計算的局限性——HLF海德堡桂冠論壇

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數學中存在大量的不可判定性問題，即使AI加持下也難以突破計算的本質極限，例如希爾伯特第十問題，且聽本屆HLF海德堡桂冠論壇上數學家們的見解。

作者：Benjamin Skuse（HLF海德堡桂冠論壇科學記者）2025-11-26

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-11-27

數學或許可以改名為冰川科學。125年前，備受尊敬的德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）列出了他認為值得數學界在未來一個世紀集中精力解決的23個問題，但至今只有10個問題被普遍認為已經解決。

1907年的大衛·希爾伯特

圖源：公共領域 JSTOR

在這些已解決的問題中，最有趣的一個，尤其是在第十二屆海德堡桂冠論壇（HLF）的主要討論議題背景下，是希爾伯特的第十個問題，希爾伯特大致是這樣表述的：

給定一個具有任意數量未知量和有理整數系數的丟番圖方程，設計一個涉及有限次運算的過程來確定該方程是否有有理整數解。

簡單來說，希爾伯特本人并沒有使用如下方法：

設計一個算法，判斷給定的整系數多項式方程 p(x?,...,xn)=0 是否有整數解 x?,...,xn∈?。

更簡單地說，希爾伯特想知道是否存在一種普遍的方法，可以判斷一個具有整數系數的多項式方程是否總是有整數解；例如，是否存在某種基本規律，使得 3x+6y=18（有多個解，例如x=4, y=1）與 2x+10y=17（無解）可以區分開來？

計算機科學來幫忙

直到20世紀五六十年代計算機科學發展成熟，能夠為數論提供幫助之后，這個問題才取得進展。美國數學家和計算機科學家馬丁·戴維斯（Martin Davis）是第一個取得突破性進展的人。1950年代初，他提出一個集合是丟番圖集的當且僅當它是遞歸可枚舉的。

馬丁·戴維斯，攝于1996年

圖源：George Bergman CC-BY-SA-4.0

這里，“丟番圖集”（Diophantine set）是指可以用丟番圖方程或方程組定義的整數集合；而“遞歸可枚舉”（recursively enumerable）則意味著可列舉。重要的是，遞歸可枚舉集合是描述算法的另一種方式；或者更準確地說，它是算法在無限時間內可以列舉的輸出或元素的集合。

大約在戴維斯提出這一普遍結果的同時，美國數學家朱莉婭·羅賓遜（Julia Robinson）從1948年開始研究希爾伯特第十問題，她正在研究丟番圖關系的特殊情況，并建立了一個猜想，這個猜想后來被稱為朱莉婭·羅賓遜猜想，或簡稱JR（Julia Robinson hypothesis）。

Robinson的工作重點是構建滿足快速增長性質的丟番圖關系：

• J(a,b) 蘊含 a

• 對于每個正整數 k，存在 a 和 b，使得 J(a,b) 且 a>b?

并證明，如果這種關系存在（正如她所懷疑的那樣），那么指數關系也是丟番圖關系。

1975年的朱莉婭·羅賓遜（Julia Robinson）

圖源：George Bergman CC-BY-SA-4.0

時間快進將近十年，馬丁·戴維斯和他的合作者、美國分析哲學家希拉里·普特南（Hilary Putnam）與羅賓遜——她后來成為第一位當選美國國家科學院院士的女性數學家，以及第一位AMS美國數學會女主席——攜手取得了另一項重大突破。1961年，他們發表了一篇論文，揭示了可列舉集和指數丟番圖集合本質上是同一概念。

如果JR猜想最終被證明是正確的，也就是說冪運算是丟番圖的，那么這篇新論文就意味著可列舉集合也是丟番圖的，因此希爾伯特第十問題將無法解決。可惜的是，證明JR定理非常棘手。

生日許愿成真

“我們家有個習俗，就是每個家庭成員過生日的時候都要聚在一起，”羅賓遜在1990年出版的《更多數學人》

More Mathematical People

羅賓遜的愿望在1970年實現了。俄羅斯數學家尤里·馬蒂亞謝維奇（Yuri Matiyasevich）同樣癡迷于希爾伯特第十問題。1969年，他受邀審閱羅賓遜的一篇論文，羅賓遜在論文中提出了一個關于著名的丟番圖方程（稱為
佩爾Pell方程，x2–ny2=1，其中 n 是一個非平方的正整數）的解序列周期性的新想法。

這項工作啟發他將這一思想應用于另一個數列：斐波那契數列（0,1,1,2,3,5,8,… 滿足x_{n+2}=x_{n+1}+x_n）。當他這樣做時，一切都迎刃而解了。通過證明斐波那契數列是丟番圖數列，他進而證明了 JR 定理的正確性、可列舉集合是丟番圖集，以及希爾伯特第十問題是無解的。

尤里·馬蒂亞塞維奇 (Yuri Matiyasevich)，攝于1969年

圖源：Yuri Matiyasevich CC-BY-3.0

你可能會問，希爾伯特第十問題的不可判定性——這個問題早在55年前就已解決——與第十二屆海德堡桂冠論壇的熱門話題有何關聯？事實上，在講座和茶歇期間，與會者花費了大量時間探討諸如以下問題：隨著AI人工智能的進步，計算機和人類數學家的角色究竟會發生怎樣的變化？以及究竟有多少數學問題可以由機器解決？

證明一個容易理解的數學難題——確定每個限制在整數范圍內的丟番圖方程是否有解——無法通過機械方法解決，這是一個生動的例子，表明了計算機和人工智能在數學方面的局限性。

但這也很令人費解。如果允許丟番圖方程有復數解而不僅僅是整數解，那么希爾伯特第十問題實際上就變得非常簡單，并且總能用通用算法求解，即使整數可以表示為復數；整數是復數的子集！那么，是否也存在其他數集，使得希爾伯特第十問題無解呢？

超越整數

曼朱爾·巴爾加瓦（Manjul Bhargava，2014年菲爾茲獎得主）原計劃在今年的論壇上就此問題提出新的見解。可惜他最終未能出席，因為最近他和他的合作者在 arXiv 上發表了一篇預印本 https://arxiv.org/abs/2501.18774 ，詳細介紹了他們發現的這類特殊集合之一； 彼得·科伊曼斯（Peter Koymans）和卡洛·帕加諾（Carlo Pagano）https://arxiv.org/abs/2412.01768 幾乎在同一時間也獨立發現了這類集合。

Manjul Bhargava

2014年第二屆海德堡桂冠論壇期間，曼朱爾·巴爾加瓦訪問一所高中。

? HLFF / Flemming

兩支團隊使用完全不同的方法，都證明了希爾伯特第十問題對于任何整數環都是無解的。數域 K 的整數環? 是包含于數域 K 內的所有整數的集合，而數域 K 是有理數域的有限擴張。關鍵在于，? 的大小始終等于或大于普通整數集合，并且通常包含無窮多個不在普通整數集合中的數。這一結果使得機器數學家（未來的超人人工智能數學家 https://youtu.be/q9MJWfo3DCE?si=Ni7ltzbb-HXu6ArE ）的潛在解空間略微縮小了一些。

下一個挑戰被廣泛認為是數論中不可判定性領域最大的未解問題之一：證明希爾伯特關于有理數域?的第十問題是否也是不可解的。

無論以何種方式解決這個問題，都將意義深遠。它要么意味著對于有理多項式方程，我們所能確定的內容存在固有的算法限制，這將進一步限制機器求解數學問題的能力；要么意味著存在一種算法可以求解所有有理丟番圖方程。與此同時，它還將使數論學家更接近于理解數學不可判定性的根本根源。

無論如何，尋求答案無疑將引入全新的框架和技術來研究有理解，從而開啟計算理論和數論探索的新時代。

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/hilberts-10th-problem-and-the-limits-of-computation/

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Robinson_Hilbert_10th/

https://arxiv.org/abs/2501.18774

https://arxiv.org/abs/2412.01768

https://youtu.be/q9MJWfo3DCE?si=Ni7ltzbb-HXu6ArE

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