希爾伯特第十問題與計算的局限性——HLF海德堡桂冠論壇

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數(shù)學中存在大量的不可判定性問題，即使AI加持下也難以突破計算的本質(zhì)極限，例如希爾伯特第十問題，且聽本屆HLF海德堡桂冠論壇上數(shù)學家們的見解。

作者：Benjamin Skuse（HLF海德堡桂冠論壇科學記者）2025-11-26

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2025-11-27

數(shù)學或許可以改名為冰川科學。125年前，備受尊敬的德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）列出了他認為值得數(shù)學界在未來一個世紀集中精力解決的23個問題，但至今只有10個問題被普遍認為已經(jīng)解決。

1907年的大衛(wèi)·希爾伯特

圖源：公共領(lǐng)域 JSTOR

在這些已解決的問題中，最有趣的一個，尤其是在第十二屆海德堡桂冠論壇（HLF）的主要討論議題背景下，是希爾伯特的第十個問題，希爾伯特大致是這樣表述的：

給定一個具有任意數(shù)量未知量和有理整數(shù)系數(shù)的丟番圖方程，設(shè)計一個涉及有限次運算的過程來確定該方程是否有有理整數(shù)解。

簡單來說，希爾伯特本人并沒有使用如下方法：

設(shè)計一個算法，判斷給定的整系數(shù)多項式方程 p(x?,...,xn)=0 是否有整數(shù)解 x?,...,xn∈?。

更簡單地說，希爾伯特想知道是否存在一種普遍的方法，可以判斷一個具有整數(shù)系數(shù)的多項式方程是否總是有整數(shù)解；例如，是否存在某種基本規(guī)律，使得 3x+6y=18（有多個解，例如x=4, y=1）與 2x+10y=17（無解）可以區(qū)分開來？

計算機科學來幫忙

直到20世紀五六十年代計算機科學發(fā)展成熟，能夠為數(shù)論提供幫助之后，這個問題才取得進展。美國數(shù)學家和計算機科學家馬丁·戴維斯（Martin Davis）是第一個取得突破性進展的人。1950年代初，他提出一個集合是丟番圖集的當且僅當它是遞歸可枚舉的。

馬丁·戴維斯，攝于1996年

圖源：George Bergman CC-BY-SA-4.0

這里，“丟番圖集”（Diophantine set）是指可以用丟番圖方程或方程組定義的整數(shù)集合；而“遞歸可枚舉”（recursively enumerable）則意味著可列舉。重要的是，遞歸可枚舉集合是描述算法的另一種方式；或者更準確地說，它是算法在無限時間內(nèi)可以列舉的輸出或元素的集合。

大約在戴維斯提出這一普遍結(jié)果的同時，美國數(shù)學家朱莉婭·羅賓遜（Julia Robinson）從1948年開始研究希爾伯特第十問題，她正在研究丟番圖關(guān)系的特殊情況，并建立了一個猜想，這個猜想后來被稱為朱莉婭·羅賓遜猜想，或簡稱JR（Julia Robinson hypothesis）。

Robinson的工作重點是構(gòu)建滿足快速增長性質(zhì)的丟番圖關(guān)系：

• J(a,b) 蘊含 a

• 對于每個正整數(shù) k，存在 a 和 b，使得 J(a,b) 且 a>b?

并證明，如果這種關(guān)系存在（正如她所懷疑的那樣），那么指數(shù)關(guān)系也是丟番圖關(guān)系。

1975年的朱莉婭·羅賓遜（Julia Robinson）

圖源：George Bergman CC-BY-SA-4.0

時間快進將近十年，馬丁·戴維斯和他的合作者、美國分析哲學家希拉里·普特南（Hilary Putnam）與羅賓遜——她后來成為第一位當選美國國家科學院院士的女性數(shù)學家，以及第一位AMS美國數(shù)學會女主席——攜手取得了另一項重大突破。1961年，他們發(fā)表了一篇論文，揭示了可列舉集和指數(shù)丟番圖集合本質(zhì)上是同一概念。

如果JR猜想最終被證明是正確的，也就是說冪運算是丟番圖的，那么這篇新論文就意味著可列舉集合也是丟番圖的，因此希爾伯特第十問題將無法解決。可惜的是，證明JR定理非常棘手。

生日許愿成真

“我們家有個習俗，就是每個家庭成員過生日的時候都要聚在一起，”羅賓遜在1990年出版的《更多數(shù)學人》

More Mathematical People

羅賓遜的愿望在1970年實現(xiàn)了。俄羅斯數(shù)學家尤里·馬蒂亞謝維奇（Yuri Matiyasevich）同樣癡迷于希爾伯特第十問題。1969年，他受邀審閱羅賓遜的一篇論文，羅賓遜在論文中提出了一個關(guān)于著名的丟番圖方程（稱為
佩爾Pell方程，x2–ny2=1，其中 n 是一個非平方的正整數(shù)）的解序列周期性的新想法。

這項工作啟發(fā)他將這一思想應(yīng)用于另一個數(shù)列：斐波那契數(shù)列（0,1,1,2,3,5,8,… 滿足x_{n+2}=x_{n+1}+x_n）。當他這樣做時，一切都迎刃而解了。通過證明斐波那契數(shù)列是丟番圖數(shù)列，他進而證明了 JR 定理的正確性、可列舉集合是丟番圖集，以及希爾伯特第十問題是無解的。

尤里·馬蒂亞塞維奇 (Yuri Matiyasevich)，攝于1969年

圖源：Yuri Matiyasevich CC-BY-3.0

你可能會問，希爾伯特第十問題的不可判定性——這個問題早在55年前就已解決——與第十二屆海德堡桂冠論壇的熱門話題有何關(guān)聯(lián)？事實上，在講座和茶歇期間，與會者花費了大量時間探討諸如以下問題：隨著AI人工智能的進步，計算機和人類數(shù)學家的角色究竟會發(fā)生怎樣的變化？以及究竟有多少數(shù)學問題可以由機器解決？

證明一個容易理解的數(shù)學難題——確定每個限制在整數(shù)范圍內(nèi)的丟番圖方程是否有解——無法通過機械方法解決，這是一個生動的例子，表明了計算機和人工智能在數(shù)學方面的局限性。

但這也很令人費解。如果允許丟番圖方程有復數(shù)解而不僅僅是整數(shù)解，那么希爾伯特第十問題實際上就變得非常簡單，并且總能用通用算法求解，即使整數(shù)可以表示為復數(shù)；整數(shù)是復數(shù)的子集！那么，是否也存在其他數(shù)集，使得希爾伯特第十問題無解呢？

超越整數(shù)

曼朱爾·巴爾加瓦（Manjul Bhargava，2014年菲爾茲獎得主）原計劃在今年的論壇上就此問題提出新的見解。可惜他最終未能出席，因為最近他和他的合作者在 arXiv 上發(fā)表了一篇預印本 https://arxiv.org/abs/2501.18774 ，詳細介紹了他們發(fā)現(xiàn)的這類特殊集合之一； 彼得·科伊曼斯（Peter Koymans）和卡洛·帕加諾（Carlo Pagano）https://arxiv.org/abs/2412.01768 幾乎在同一時間也獨立發(fā)現(xiàn)了這類集合。

Manjul Bhargava

2014年第二屆海德堡桂冠論壇期間，曼朱爾·巴爾加瓦訪問一所高中。

? HLFF / Flemming

兩支團隊使用完全不同的方法，都證明了希爾伯特第十問題對于任何整數(shù)環(huán)都是無解的。數(shù)域 K 的整數(shù)環(huán)? 是包含于數(shù)域 K 內(nèi)的所有整數(shù)的集合，而數(shù)域 K 是有理數(shù)域的有限擴張。關(guān)鍵在于，? 的大小始終等于或大于普通整數(shù)集合，并且通常包含無窮多個不在普通整數(shù)集合中的數(shù)。這一結(jié)果使得機器數(shù)學家（未來的超人人工智能數(shù)學家 https://youtu.be/q9MJWfo3DCE?si=Ni7ltzbb-HXu6ArE ）的潛在解空間略微縮小了一些。

下一個挑戰(zhàn)被廣泛認為是數(shù)論中不可判定性領(lǐng)域最大的未解問題之一：證明希爾伯特關(guān)于有理數(shù)域?的第十問題是否也是不可解的。

無論以何種方式解決這個問題，都將意義深遠。它要么意味著對于有理多項式方程，我們所能確定的內(nèi)容存在固有的算法限制，這將進一步限制機器求解數(shù)學問題的能力；要么意味著存在一種算法可以求解所有有理丟番圖方程。與此同時，它還將使數(shù)論學家更接近于理解數(shù)學不可判定性的根本根源。

無論如何，尋求答案無疑將引入全新的框架和技術(shù)來研究有理解，從而開啟計算理論和數(shù)論探索的新時代。

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/hilberts-10th-problem-and-the-limits-of-computation/

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Extras/Robinson_Hilbert_10th/

https://arxiv.org/abs/2501.18774

https://arxiv.org/abs/2412.01768

https://youtu.be/q9MJWfo3DCE?si=Ni7ltzbb-HXu6ArE

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