一座新橋梁：連接無窮之奇的數學與計算機科學——Quanta Magazine

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描述集合論（descriptive set theory）學者致力于研究無窮領域的小眾數學。如今，他們發現這些抽象問題竟能以具象的算法語言重新詮釋。

圖源：Valentin Tkach / Quanta Magazine

作者：Joseph Howlett（量子雜志撰稿人）2025-11-21

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2025-11-22

所有現代數學都建立在集合論的基礎之上 —— 這門學科研究如何組織抽象對象的集合。但通常，研究型數學家在解決自身問題時無需刻意考量集合論：他們只需默認集合的行為符合預期，便可繼續開展研究。

描述集合論學者卻是例外。這個小眾的數學家群體從未停止探索集合的本質 —— 尤其是那些被其他數學家忽視的、奇特的無窮集合。

而他們的領域如今不再孤立。2023年，數學家安東?伯恩斯坦（Anton Bernshteyn）發表了一項重大發現 https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-023-01188-3 ，揭示了描述集合論這一遙遠的數學前沿與現代計算機科學之間令人意外的深層關聯。

他證明，所有關于特定無窮集合的問題，都可轉化為計算機網絡通信相關的問題。這座連接兩大領域的橋梁讓雙方研究者都倍感震驚：集合論學者使用邏輯語言，計算機科學家則依賴算法語言；集合論探討無窮，計算機科學聚焦有限。從常理來看，兩者的問題本無關聯，更不用說等價了。

“這太不可思議了，” 布拉格查理大學的計算機科學家瓦茨拉夫?羅茲洪（Václav Rozhoň）表示，“按理說，這種關聯根本不該存在。”

自伯恩斯坦的成果發表以來，同行們紛紛探索如何利用這座 “橋梁” 在兩大領域間雙向推進，證明新定理，并嘗試將橋梁延伸至更多類別的問題。部分描述集合論學者甚至開始借鑒計算機科學的洞見，重構自身領域的知識體系，并重新思考對無窮的理解。

安東·伯恩斯坦一直在發掘和探索集合論與更偏向應用的領域（如計算機科學和動力系統）之間的重要聯系。

圖源：Siiri Kivimaki

“長期以來，我們一直在研究極為相似的問題，卻從未有過直接交流，” 卡內基梅隆大學的描述集合論學者克林頓?康利（Clinton Conley）說，“這一發現為所有新的合作打開了大門。”

破碎的集合

伯恩斯坦本科時首次聽聞描述集合論 —— 當時有教授稱這是一個曾有價值但如今已沒落的領域。一年多后，他才發現這位教授的說法有誤。

2014年，作為伊利諾伊大學的一年級研究生，伯恩斯坦選修了阿努什?采魯尼揚（Anush Tserunyan）的邏輯課程（后者后來成為他的導師之一）。采魯尼揚糾正了他的誤解。“我能進入這個領域全歸功于她，” 伯恩斯坦說，“她讓我意識到，邏輯與集合論就像膠水，連接著數學的各個不同分支。”

描述集合論可追溯至格奧爾格?康托爾（Georg Cantor）。1874年，康托爾證明了無窮存在不同的 “大小”（參閱 ）：例如，整數集（0、1、2、3……）與所有分數組成的集合大小相同，但小于實數集的大小。

阿努什?采魯尼揚認為描述性集合論是將數學不同部分連接在一起的連接組織。

圖源：Anush Tserunyan（阿努什?采魯尼揚）

當時，數學家們對這種 “無窮的多樣態” 深感困惑。“這很難讓人理解，” 如今任職于加州大學洛杉磯分校的伯恩斯坦說。

為回應這種困惑，數學家們提出了一種新的 “大小” 概念 —— 描述集合所占據的長度、面積或體積，而非其包含的元素數量。這種 “大小” 被稱為集合的 “測度”measure（與康托爾提出的 “基數” cardinality相對）。最簡單的測度類型之一是勒貝格測度，用于量化集合的長度。例如，0 到 1 之間的實數集與 0 到 10 之間的實數集都是無窮集，且基數相同，但前者的勒貝格測度為 1，后者為 10。

為研究更復雜的集合，數學家們會使用其他類型的測度。集合越 “不規則”，可用于測量它的方法就越少。描述集合論學者的核心問題是：哪些集合能通過不同的 “測度” 定義進行測量？他們根據答案將集合劃分為不同層級：層級頂端是構造簡單、可通過任意測度定義研究的集合；層級底端則是 “不可測集”—— 這些集合過于復雜，根本無法測量。“人們常用‘病態’pathological來形容它們，” 伯恩斯坦說，“不可測集非常特殊，違背直覺且行為反常。”

這種層級分類不僅幫助集合論學者梳理領域版圖，還為其他數學分支的研究者提供了工具選擇的依據。動力系統、群論、概率論等領域的數學家需要了解其研究對象集合的大小，而集合在層級中的位置決定了他們可使用的解題工具。

因此，描述集合論學者就像圖書管理員，打理著一個收藏著各類無窮集合（及對應測量方法）的巨大書架。他們的工作是：接收一個問題，判斷其解所需集合的復雜程度，然后將問題歸置到合適的 “書架” 上，供其他數學家參考。

格奧爾格?康托爾發現數學的無限可以有許多不同的形態和大小。

圖源：Emilio Segre Visual Archives

做出選擇

伯恩斯坦所屬的研究群體專注于整理與 “圖” 相關的無窮集合問題 —— 圖是由節點和連接節點的邊組成的結構。他尤其關注具有無窮多個獨立分支、且每個分支包含無窮多個節點的圖。大多數圖論學者不研究這類圖，而是聚焦于有限圖。但這類無窮圖能表征動力系統及其他重要集合的信息，因此成為描述集合論學者的主要研究方向之一。

以下是伯恩斯坦及其同事研究的一類無窮圖示例：

從一個包含無窮多個點的圓開始，選取一個點作為第一個節點；

沿著圓周移動固定距離，得到第二個節點（例如移動圓周的五分之一），用邊連接這兩個節點；

繼續移動相同距離得到第三個節點，與前一個節點連接，依此類推。

如果每次移動的距離是分數（如五分之一），則經過有限步后會回到起點，節點形成閉合回路；

但如果移動距離無法表示為分數，則這個過程會無限進行，形成無窮多個相互連接的節點。

圖源：Mark Belan / 編譯：zzllrr小樂

但這只是圖的第一個分支。即便包含無窮多個節點，它也未覆蓋圓上的所有點。要生成其他分支，只需從圓上未被包含的點出發，按相同距離移動，即可形成第二個無窮節點序列，且與第一個分支完全獨立。

對圓上所有可能的起點重復這一過程，最終會得到一個由無窮多個獨立分支組成的圖，每個分支都包含無窮多個節點。

數學家們會探討這類圖的著色問題：例如，僅用兩種顏色，能否為所有節點著色，使得任意兩個相鄰節點顏色不同？表面上看，解決方案很簡單：

對第一個分支，任選一個節點染藍色，其余節點按 “黃 - 藍 - 黃 - 藍” 的交替模式著色；

對所有其他分支重復此操作，最終僅用兩種顏色即可完成著色。

但這個著色過程依賴于一個隱含假設 —— 集合論中的 “選擇公理”。這是構建所有數學命題的九大基本公理之一，其核心是：給定任意多個集合，即使集合數量無窮，也能從每個集合中選出一個元素組成新集合。選擇公理十分有用，能幫助數學家證明各類重要命題，但也會導致奇特的悖論，因此描述集合論學者通常會回避它。

在上述著色問題中，圖的無窮多個分支對應無窮多個集合，而從每個分支中選擇第一個染藍色的節點，本質上就是在運用選擇公理。當后續按交替模式著色時，每個節點（長度為零）都是被單獨處理的，我們無法理解來自不同分支的節點之間的關聯 —— 這意味著，所有藍色節點組成的集合和所有黃色節點組成的集合都無法用長度來描述，即這些集合是不可測的，數學家們無法從中獲取有用信息。

這讓描述集合論學者感到不滿意。他們希望找到一種 “連續” 的著色方式 —— 不依賴選擇公理，且能得到可測集合。具體方法如下：

回顧第一個分支的構建過程：

從圓上一點出發，按固定距離連接下一個節點；

給第一個節點染藍色，第二個節點染黃色，并將兩者之間的弧段也染藍色；

第二個節點與第三個節點之間的弧段染黃色，第三個弧段染藍色，依此類推。

很快，著色會幾乎覆蓋整個圓，僅剩一小段未著色的區域。假設最后一段著色的弧是黃色，那么這段剩余區域該如何著色？既不能用藍色（因為這些節點與藍色弧段的節點相鄰），也不能用黃色（因為與黃色弧段的節點相鄰）—— 必須使用第三種顏色（如綠色）才能完成著色。

最終，藍色、黃色和綠色節點組成的集合都是圓周的一部分，而非運用選擇公理時那種分散的點集。這些集合的長度可以計算，是可測的。

因此，描述集合論學者將 “兩色著色問題” 歸置到層級的最底層（對應不可測集），而 “三色著色問題” 則被歸置到更高層級 —— 這類問題可通過多種測度定義進行研究。

伯恩斯坦在研究生階段一直致力于研究這類著色問題，并逐一將它們歸類。獲得學位后不久，他偶然發現了一種可一次性歸類所有這類問題的方法，并意識到這些問題蘊含著比人們此前認知更深層、更具數學意義的結構。

一輪又一輪

伯恩斯坦偶爾會參加計算機科學講座。在計算機科學中，圖是有限的，通常用于表征計算機網絡。

2019年，一場關于 “分布式算法” 的講座改變了他的職業生涯。分布式算法是指在網絡中的多臺計算機上同時運行的指令集，無需中央協調器即可完成任務。

舉個例子：一棟建筑中有多臺 Wi-Fi 路由器，相鄰路由器若使用相同通信信道會產生干擾，因此每臺路由器需選擇與相鄰路由器不同的信道。

計算機科學家可將其轉化為圖著色問題：

每個路由器視為一個節點，相鄰路由器用邊連接；

僅用兩種顏色（代表兩種信道），為所有節點著色，使得相鄰節點顏色不同。

但這里有個關鍵限制：節點只能通過 “局部算法” 與直接相鄰的節點通信。具體流程為：

每個節點運行相同算法，為自己分配一個顏色；

與相鄰節點通信，了解周邊小范圍區域內其他節點的著色情況；

再次運行算法，決定保留或更改自身顏色；

重復上述步驟，直至整個網絡完成合規著色。

計算機科學家關注的是特定算法所需的步驟數。例如，僅用兩種顏色解決路由器著色問題的局部算法效率必然極低，但如果允許使用三種顏色，則能找到高效的局部算法。

在伯恩斯坦參加的這場講座中，演講者討論了不同問題的 “閾值”（如著色所需的最少顏色數）。他突然意識到，其中一個閾值與描述集合論中的某個閾值極為相似 —— 即給特定無窮圖進行可測著色所需的最少顏色數。

對伯恩斯坦而言，這絕非巧合：

計算機科學家也像 “圖書管理員”，根據算法效率為問題分類；

兩類問題都可通過圖和著色來表述。

他猜想，這兩個 “書架” 的共性遠不止于此 —— 兩大領域的關聯可能遠比想象中更深層。或許，所有的 “書籍” 和 “書架” 本質上都是相同的，只是用不同語言書寫，亟需一位 “翻譯者”。

打開大門

伯恩斯坦著手將這種關聯具象化。他希望證明：每一種高效的局部算法，都能轉化為對無窮圖的勒貝格可測著色方式（滿足一些額外的重要性質）。也就是說，計算機科學中最重要的 “書架” 之一，與集合論中最重要的 “書架” 之一（層級頂端）是等價的。

他從計算機科學講座中提到的網絡問題類別入手，聚焦其核心規則：無論圖有一千個還是十億個節點，任意節點的算法僅需利用其局部鄰域的信息。

算法要正常運行，只需為給定鄰域內的每個節點分配唯一編號，以便記錄相鄰節點的信息并發出指令。在有限圖中，這很容易實現 —— 只需給每個節點分配不同的編號。

計算機科學家瓦茨拉夫·羅茲洪（Václav Rozhoň）利用集合論與網絡科學之間新發現的聯系來解決他感興趣的問題。

圖源：托馬什·普林克（Tomá? Princ），查理大學

如果伯恩斯坦能在無窮圖上運行相同的算法，就意味著他能以可測方式為無窮圖著色，從而解決集合論中的圖著色問題。但問題在于：這些無窮圖是 “不可數” 的無窮集，無法為所有節點分配唯一編號。

伯恩斯坦面臨的挑戰是找到更巧妙的編號方式。他知道必須重復使用編號，但只要相鄰節點的編號不同即可。那么，是否存在一種方法，能在不重復使用鄰域內編號的前提下分配標簽？

伯恩斯坦證明了這種方法始終存在 —— 無論使用多少個標簽，無論局部鄰域包含多少個節點。這意味著，計算機科學中的算法總能安全地推廣到集合論領域。“我們框架中的任何算法，都對應著描述集合論框架中對任意圖的可測著色方式，” 羅茲洪說。

這一證明讓數學家們倍感意外：它揭示了計算與可定義性、算法與可測集之間的深層聯系。如今，數學家們正積極利用伯恩斯坦的發現：例如，在今年發表的一篇論文中，羅茲洪及其同事通過計算機科學的視角，解決了一類特殊圖（樹）的著色問題 https://drops.dagstuhl.de/entities/document/10.4230/LIPIcs.ITCS.2022.29 。該結果還闡明了數學家可用于研究樹對應的動力系統的工具。“在一個連基本定義都不懂的領域證明結果，這是一種非常有趣的體驗，” 羅茲洪說。

數學家們也在嘗試反向 “翻譯” 問題。例如，他們利用集合論，對某類問題的求解難度得出了新的估算。 https://arxiv.org/abs/2111.03683

伯恩斯坦搭建的 “橋梁” 不僅提供了一套解決單個問題的新工具，還讓集合論學者能更清晰地審視自身領域。此前，許多問題無法分類，如今情況發生了改變 —— 集合論學者可以借助計算機科學家更系統的 “書架” 來指導分類。

伯恩斯坦希望這一新興研究領域能改變職業數學家對集合論研究的看法 —— 不再將其視為脫離現實數學世界的遙遠領域。“我正努力改變這一點，” 他說，“我希望人們能習慣思考無窮。”

參考資料

https://www.quantamagazine.org/a-new-bridge-links-the-strange-math-of-infinity-to-computer-science-20251121/

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-023-01188-3

https://drops.dagstuhl.de/entities/document/10.4230/LIPIcs.ITCS.2022.29

https://arxiv.org/abs/2111.03683

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